Topologie algébrique

Topologie alg´ebrique
Programme d´etaill´e du cours. M1 printemps 2015.
1. Caract´eristique d’Euler.
2. Type topologique.
3. Hom´eomorphismes entre
—S1et l’espace projectif r´eel RP1.
—SO(3) et l’espace projectif r´eel RP2.
—S2et l’espace projectif complexe RP1.
—SU (2) et la sph`ere S3.
4. Homotopie entre deux applications.
5. Equivalence homotopique de deux espaces topologiques. Type homoto-
pique.
6. Equivalence homotopique entre
— Point, arbre, ensemble convexe, cˆone sur un espace topologique, sph`ere
de dimension infini.
— cercle, SL(2,R), bande de M¨obius, cylindre, plan priv´e d’un point.
— tore et compl´ement `a deux cercles entrelac´es dans S3.
— quadrique complexe et une sph`ere.
— Surface de genre gpriv´ee de spoints et un bouquet des cercles.
—SL(3,C) et S3.
7. Cˆone, suspension, bouquet, cylindre d’application, tore d’application.
8. R´etraction et r´etraction par d´eformation.
9. CW-complexe.
10. Structure de CW-complexe pour Snet Gr(n, k).
11. Groupe topologique. Groupe de composantes connexes. Action continue
d’un groupe topologique sur un espace topologique. Action proprement
discontinue d’un groupe discret.
12. Classification des surfaces compactes avec et sans bord.
13. Revˆetement d’un espace topologique. Fibre d’un revˆetement.
14. Th´eor`eme de rel`evement d’un chemin.
15. Th´eor`eme de rel`evement d’une homotopie des chemins.
16. Groupe fondamental. D´ependance du point de base.
17. Action du groupe fondamental de la base sur le fibre du revˆetement.
18. Calcul de groupe fondamental de :
— Sous-ensemble convexe d’un espace vectoriel.
— Cercle.
— Bouquet de ncercles.
— Graphe.
— Sph`ere Sn.
— Tore.
— Bouteille de Klein.
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— Espace projectif RPn.
— Espace de k-uples de points distincts dans le plan.
— Compl´ement d’un entrelas donn´e par son diagramme (pr´esentation
de Wirtinger).
— Surface de genre g.
— CW-complexe.
19. Propri´et´es fonctorielles du groupe fondamental.
20. Th´eor`eme : Tout sous-groupe d’un groupe libre est libre.
21. Th´eor`eme de Borsuk-Ulam en dimension 2.
22. Th´eor`eme de Brower en dimension 2.
23. Th´eor`eme de van Kampen.
24. Th´eor`eme : Groupe fondamental d’un groupe topologique connexe est
ab´elien.
25. Le revˆetement universel et le revˆetement universel ab´elien.
26. Espaces K(G,1).
27. Revˆetement galoisien. Revˆetement associ´e `a un revˆetement galoisien.
28. Classification des revˆetements connexes par des classes de conjugaison de
sous-groupes du groupe fondamental.
29. Classification des revˆetements par des classes d’homomorphismes du groupe
fondamental dans le groupe de permutations.
30. Revˆetements ramifi´es d´efinis par des applications polynomiaux C→C.
31. Formule de Riemann-Hurwitz.
32. Chaˆınes singuli`eres. L’op´erateur de bord ∂.
33. Groupes d’homologie singuli`eres. Propri´et´es fonctoriels.
34. Invariance homotopique des groupes d’homologie.
35. Suites exactes courtes. Lemme du serpent.
36. Homologie relative.
37. Degr´e d’une application Sn→Sn.
38. Homologie cellulaires.
39. Lien entre le groupe fondamental et le premier groupe d’homologie H1(X, Z).
40. Calcul de la caract´eristique d’Euler par l’homologie.
41. Th´eor`emes de Brower et de Borsuk-Ulam.
42. Non-existence d’un champ de vecteurs non-nuls sur S2n.
43. Homologie aux coefficients dans un anneau.
44. Formule de K¨unneth.
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