Leçon 12

ANALYSE/DIFFERENTIELLES Exercice
Équations différentielles du second ordre à coefficients
constants avec second membre
y′′ +by′+cy =q(x)
Les solutions de l’équation y′′ +by′+cy =q(x)(1), avec q(x)fonctions de x, sont les fonctions
y=yg+y0, k ∈Roù ygsont les solutions de l’équation correspondante sans second membre
ay′′ +by′+cy = 0 (2) et y0est une solution particulière quelconque de l’équation (1) qu’il s’agit
de trouver par la méthodes expliquée ☞ici.
Exemple
Énoncé
Trouver les solutions de l’équation y′′ −3y′+ 2y=ex(1)
Réponse
•Équation caractéristique : r2−3r+ 2 = 0, solutions : α= 2 et β= 1
•Solution de y′′ −3y′+ 2y= 0 (2) : yg=k1e2x+k2ex,k1, k2∈R
•u′−2u=exdonne p.ex. u(x) = −ex
v′−v=−exdonne p.ex. v=y0=−xex
•D’où la solution générale de (1) :y=yg+y0=k1e2x+k2ex−xex,k1, k2∈R
☞Exercices
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ANALYSE/DIFFERENTIELLES Exercice
Exercices :
Trouver toutes les solutions de :
y′′ −4y′+ 3y= 1 (1)
y′′ −4y= 5 (2)
y′′ −6y′+ 9y=e2x(3)
y′′ +y′−2y= 2(1 + x−x2)(4)
y′′ −y= 4xex(5)
y′′ −y=sin2x(6)
y′′ −y= (1 + e−x)−2(7)
y′′ + 9y=xcosx (8)
☞Réponses
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ANALYSE/DIFFERENTIELLES Exercice
Réponses :
(1) y=k1ex+k2e3x+1
3, k1, k2∈R
(2) y=k1+k2e4x+5x
4, k1, k2∈R
(3) y=k1e3x+k2xe3x+e2x, k1, k2∈R
(4) y=k1ex+k2e−2x+x2, k1, k2∈R
(5) y=k1ex+k2e−x+ex(x2−x), k1, k2∈R
(6) y=k1ex+k2e−x−1
2+1 10cos2x, k1, k2∈R
(7) y=k1ex+k2e−x−1 + e−xln(1 + ex), k1, k2∈R
(8) y=k1cos3x+k2sin3x+1
8xcosx +1 32sinx, k1, k2∈R
Remarque : Dans le dernier cas, le polynôme caractéristique possède les racines α= 3iet
β=−3i, en remplaçant xcosx par xeix +e
−ix
2, on arrive à faire les intégrations nécessaires pour
trouver la solution particulière x
8
eix+e
−ix
2+1 32
eix−e
−ix
2=1 8xcosx +1 32 sinx etc..
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ANALYSE/DIFFERENTIELLES Exercice
Méthode pour trouver une solution particulière de y′′ +by′+cy =q(x):
– On cherche les solutions αet β(éventuellement doubles ou complexes !) de l’équation carac-
téristique : r2+br +c= 0
– On cherche une solution ude u′−αu =g(x)(voir équations différentielles du premier ordre)
– On trouve ensuite la solution particulière y0recherchée comme solution particulière de l’équa-
tion différentielle du premier ordre v′−βv =u(x)
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