Leçon 12

ANALYSE/DIFFERENTIELLES
Exercice
Équations différentielles du second ordre à coefficients
constants avec second membre
y ′′ + by ′ + cy = q(x)
Les solutions de l’équation y ′′ + by ′ + cy = q(x) (1), avec q(x) fonctions de x, sont les fonctions
y = yg + y0 , k ∈ R où yg sont les solutions de l’équation correspondante sans second membre
ay ′′ + by ′ + cy = 0 (2) et y0 est une solution particulière quelconque de l’équation (1) qu’il s’agit
de trouver par la méthodes expliquée ☞ ici.
Exemple
Énoncé
Trouver les solutions de l’équation y ′′ − 3y ′ + 2y = ex (1)
Réponse
• Équation caractéristique : r2 − 3r + 2 = 0, solutions : α = 2 et β = 1
• Solution de y ′′ − 3y ′ + 2y = 0 (2) : yg = k1 e2x + k2 ex , k1 , k2 ∈ R
• u′ − 2u = ex donne p.ex. u(x) = −ex
v ′ − v = −ex donne p.ex. v = y0 = −xex
• D’où la solution générale de (1) :y = yg + y0 = k1 e2x + k2 ex − xex , k1 , k2 ∈ R
☞ Exercices
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Exercice
ANALYSE/DIFFERENTIELLES
Exercices :
Trouver toutes les solutions de :
y ′′ − 4y ′ + 3y = 1
(1)
y ′′ − 4y = 5
(2)
y ′′ − 6y ′ + 9y = e2x
(3)
y ′′ + y ′ − 2y = 2(1 + x − x2 )
(4)
y ′′ − y = 4xex
(5)
y ′′ − y = sin2 x
(6)
y ′′ − y = (1 + e−x )−2
(7)
y ′′ + 9y = xcosx
(8)
☞ Réponses
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ANALYSE/DIFFERENTIELLES
Exercice
Réponses :
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
1
y = k1 ex + k2 e3x + , k1 , k2 ∈ R
3
5x
y = k1 + k2 e4x + , k1 , k2 ∈ R
4
y = k1 e3x + k2 xe3x + e2x , k1 , k2 ∈ R
y = k1 ex + k2 e−2x + x2 , k1 , k2 ∈ R
y = k1 ex + k2 e−x + ex (x2 − x), k1 , k2 ∈ R
1
1
y = k1 ex + k2 e−x − + cos2x, k1 , k2 ∈ R
2 10
x
−x
y = k1 e + k2 e − 1 + e−x ln(1 + ex ), k1 , k2 ∈ R
1
1
y = k1 cos3x + k2 sin3x + xcosx + sinx, k1 , k2 ∈ R
8
32
Remarque : Dans le dernier cas, le polynôme caractéristique possède les racines α = 3i et
ix
−ix
β = −3i, en remplaçant xcosx par x e +e
, on arrive à faire les intégrations nécessaires pour
2
1 eix −e−ix
1
x eix +e−ix
+ 32 2
= 18 xcosx + 32
sinx etc..
trouver la solution particulière 8
2
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ANALYSE/DIFFERENTIELLES
Exercice
Méthode pour trouver une solution particulière de y ′′ + by ′ + cy = q(x) :
– On cherche les solutions α et β (éventuellement doubles ou complexes !) de l’équation caractéristique : r2 + br + c = 0
– On cherche une solution u de u′ − αu = g(x) (voir équations différentielles du premier ordre)
– On trouve ensuite la solution particulière y0 recherchée comme solution particulière de l’équation différentielle du premier ordre v ′ − βv = u(x)
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