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File : Eq-Different-Totales-Factor-Integrant
(p 42 PISKOUNOV II)
Equation aux differentielles totales avec facteur integrant
Supposer que dans l’équation aux differentielles
totales « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 », l’expression « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy » ne
soit pas une differentielle totale ;
Dans ce cas, il est parfois possible de choisir une fonction « u (x, y) » telle que
l’expression « d (x, y)  u (x, y) . P (x, y) . dx + u (x, y) . Q (x, y) . dy » soit une
differentielle totale ;
La fonction « u (x, y) » constitue le facteur intégrant de l’équation aux differentielles
totales « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 » initiale ;
La solution générale de la nouvelle equation
« d (x, y)  u (x, y) . P (x, y) . dx + u (x, y) . Q (x, y) . dy = 0 », coïncide avec la
solution générale de l’équation aux differentielles totales « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy =
0 » initiale ;
Le facteur integrand « u (x, y) » de l’équation aux differentielles
totales « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 », est obtenu en résolvant l’équation
différentielle aux dérivées partielles :
Q (x, y) .




{ ln (u (x, y)) } - P (x, y) . { ln (u (x, y)) }  (P (x, y)) (Q (x, y))
x
x
y
y
Dans des conditions déterminées, on démontre que cette équation


{ ln (u (x, y)) } - P (x, y) . { ln (u (x, y)) } 
x
y


 (P (x, y)) (Q (x, y)) » possède une infinité de solutions => alors, l’équation aux
x
y
« Q (x, y) .
differentielles totales « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 » possède un facteur intégrant ;
Mais dans le cas général, il est beaucoup plus difficile de trouver une solution de cette
équation « Q (x, y) .



{ ln (u (x, y)) } - P (x, y) . { ln (u (x, y)) } 
x
y


(P (x, y)) (Q (x, y)) » => dans ce cas, il vaut mieux essayer de résoudre
x
y
directement l’équation iniatiale « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 » ;
En fait, ce que dans des cas particuliers que l’on est capable de trouver le facteur
intégrant « u (x, y) » ;
Démonstration
On part de l’expression « d (x, y)  u (x, y) . P (x, y) . dx + u (x, y) . Q (x, y) . dy 
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u (x, y) . P (x, y) . dx + u (x, y) . Q (x, y) . dy » où :
 P⋁ (x, y)  u (x, y) . P (x, y) ;
 Q⋁ (x, y)  u (x, y) . Q (x, y) ;

Puisque cette expression « d (x, y)  u (x, y) . P (x, y) . dx + u (x, y) . Q (x, y) . dy » est
censée être la différentielle totale de la fonction «  (x, y) », ou encore, puisque
l’équation « u (x, y) . P (x, y) . dx + u (x, y) . Q (x, y) . dy = 0 » est censée être une
l’équation aux differentielles totales => cela implique que :


(Q⋁ (x, y))  (P⋁ (x, y))
x
y
c-à-d :


(u (x, y) . Q (x, y))  (u (x, y) . P (x, y)) 
x
y


(u (x, y)) . Q (x, y) + u (x, y) . (Q (x, y)) 
x
x


 (u (x, y)) . P (x, y) + u (x, y) . (P (x, y)) 
y
y


(u (x, y)) - P (x, y) . (u (x, y)) 
x
y


 u (x, y) . { (P (x, y)) (Q (x, y)) } 
x
y
Q (x, y) .
Q (x, y) . (1/ u (x, y)) .



(u (x, y)) - P (x, y) . (1/ u (x, y)) . (u (x, y)) 
x
y


(P (x, y)) (Q (x, y)) 
x
y
Q (x, y) .




{ ln (u (x, y)) } - P (x, y) . { ln (u (x, y)) }  (P (x, y)) (Q (x, y)) ;
x
x
y
y
C.Q.F.D
***********************************************************************
***********************************************************************
Cas particulier ;
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 1°) On suppose que l’équation aux differentielles totales
« P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 » possède un facteur intégrant « u (x, y) » qui ne dépend
que de « x », c-à-d qu’on a le facteur intégrant « u* (x) » => dans ce cas, ce le facteur
intégrant « u* (x) » est donné par la solution de l’équation différentielle :

d

{ ln (u* (x)) }  (1/ Q (x, y)) . { (P (x, y)) (Q (x, y)) }
dx
x
y
Celtte équation différentielle

d

{ ln (u* (x)) }  (1/ Q (x, y)) . { (P (x, y)) (Q (x, y)) } »
dx
x
y


suppose que l’expression « (1/ Q (x, y)) . { (P (x, y)) (Q (x, y)) } » ne dépend pas
x
y
«
de « y » ;
Démonstration
On suppose que l’équation aux differentielles totales
« P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 » possède un facteur intégrant « u (x, y) » qui ne dépend
que de « x », c-à-d le facteur intégrant « u** (y) » => dans ce cas, le
terme «


{ ln (u (x, y)) } » devient « { ln (u* (x)) } » et ce terme est
y
y
identiquement nul :

{ ln (u* (x)) }  0 ;
y
Donc, dans ce cas, l’équation différentielle aux dérivées partielles


{ ln (u (x, y)) } - P (x, y) . { ln (u (x, y)) } 
x
y


 (P (x, y)) (Q (x, y)) » devient :
x
y
« Q (x, y) .
Q (x, y) .

d

{ ln (u* (x)) }  (P (x, y)) (Q (x, y)) 
dx
x
y

d

{ ln (u* (x)) }  (1/ Q (x, y)) . { (P (x, y)) (Q (x, y)) } ;
dx
x
y
C.Q.F.D
***********************************************************************
***********************************************************************
Cas particulier ;
 2°) On suppose que l’équation aux differentielles totales
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« P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 » possède un facteur intégrant « u (x, y) » qui ne
dépend que de « y », c-à-d qu’on a le facteur intégrant « u** (y) » => dans ce cas, ce le
facteur intégrant « u** (y) » est donné par la solution de l’équation différentielle :

d

{ ln (u** (y)) }  - (1/ P (x, y)) . { (P (x, y)) (Q (x, y)) }
x
dy
y
Celtte équation différentielle

d

{ ln (u** (y)) }  - (1/ P (x, y)) . { (P (x, y)) (Q (x, y)) } »
x
dy
y


suppose que l’expression « (1/ P (x, y)) . { (P (x, y)) (Q (x, y)) } » ne dépend pas
x
y
«
de « x » ;
Démonstration
On suppose que l’équation aux differentielles totales
« P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 » possède un facteur intégrant « u (x, y) » qui ne dépend
que de « y », c-à-d le facteur intégrant « u** (y) » => dans ce cas, le
terme «


{ ln (u (x, y)) } » devient « { ln (u** (y)) } » et ce terme est
x
x
identiquement nul :

{ ln (u** (y)) }  0 ;
x
Donc, dans ce cas, l’équation différentielle aux dérivées partielles


{ ln (u (x, y)) } - P (x, y) . { ln (u (x, y)) } 
x
y


 (P (x, y)) (Q (x, y)) » devient :
x
y
« Q (x, y) .
- P (x, y) .

d

{ ln (u** (y)) }  (P (x, y)) (Q (x, y)) 
x
dy
y

d

{ ln (u** (y)) }  - (1/ P (x, y)) . { (P (x, y)) (Q (x, y)) } ;
x
dy
y
C.Q.F.D
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