File : Eq-Different-Totales-Factor-Integrant
(p 42 PISKOUNOV II)
Equation aux differentielles totales avec facteur integrant
Supposer que dans l’équation aux differentielles
totales « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 », l’expression « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy » ne
soit pas une differentielle totale ;
Dans ce cas, il est parfois possible de choisir une fonction « u (x, y) » telle que
l’expression « d (x, y) u (x, y) . P (x, y) . dx + u (x, y) . Q (x, y) . dy » soit une
differentielle totale ;
La fonction « u (x, y) » constitue le facteur intégrant de l’équation aux differentielles
totales « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 » initiale ;
La solution générale de la nouvelle equation
« d (x, y) u (x, y) . P (x, y) . dx + u (x, y) . Q (x, y) . dy = 0 », coïncide avec la
solution générale de l’équation aux differentielles totales « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy =
0 » initiale ;
Le facteur integrand « u (x, y) » de l’équation aux differentielles
totales « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 », est obtenu en résolvant l’équation
différentielle aux dérivées partielles :
{ ln (u (x, y)) } - P (x, y) .
Dans des conditions déterminées, on démontre que cette équation
« Q (x, y) .
{ ln (u (x, y)) } - P (x, y) .
{ ln (u (x, y)) }
(P (x, y)) -
(Q (x, y)) » possède une infinité de solutions => alors, l’équation aux
differentielles totales « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 » possède un facteur intégrant ;
Mais dans le cas général, il est beaucoup plus difficile de trouver une solution de cette
équation « Q (x, y) .
{ ln (u (x, y)) } - P (x, y) .
{ ln (u (x, y)) }
(P (x, y)) -
(Q (x, y)) » => dans ce cas, il vaut mieux essayer de résoudre
directement l’équation iniatiale « P (x, y) . dx + Q (x, y) . dy = 0 » ;
En fait, ce que dans des cas particuliers que l’on est capable de trouver le facteur
intégrant « u (x, y) » ;
Démonstration
On part de l’expression « d (x, y) u (x, y) . P (x, y) . dx + u (x, y) . Q (x, y) . dy