2 Probabilités

2 Probabilités
Définition intuitive
Exemple On lance un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple
de 3?
1
2
3
4
5
6
Comme il y a deux multiples de 3parmi les six issues possibles, on a 2chances
sur 6d’obtenir un tel nombre. On a donc une probabilité de 2
6=1 3.
Exemple On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Calculer la
probabilité d’obtenir exactement deux fois pile.
P
PP
F
FP
F
F
PP
F
FP
F
Il y a huit cas possibles, dont trois cas favorables. La probabilité cherchée est
donc de 3
8= 0,375 = 37,5%.
La formule de Laplace définit intuitivement la probabilité d’un événement :
P = nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
Cette définition ne peut s’appliquer que si les cas possibles ont tous la
même probabilité de se produire. On dit alors qu’ils sont équiprobables.
On utilise souvent les méthodes de l’analyse combinatoire pour dénombrer les
cas favorables et les cas possibles.
Probabilités 2.1

Exemple On tire 5cartes d’un jeu de poker (52 cartes). Quelle est la pro-
babilité d’obtenir exactement deux rois ?
Le nombre de cas possibles est C52
5= 2 598 960.
Pour obtenir exactement deux rois, il faut en tirer 2parmi les 4et tirer 3autres
cartes parmi les 48 restantes. Il y a donc C4
2·C48 3= 103 776 cas favorables.
La probabilité recherchée vaut ainsi 103 776
2 598 960 ≈3,99 %.
2.1 Un sac contient trois objets rouges, quatre objets bleus et cinq objets jaunes.
On tire simultanément trois objets. Quelle est la probabilité des événements
suivants ?
1) les trois objets tirés sont jaunes
2) il y a un objet de chaque couleur
3) aucun objet n’est rouge
4) il y a au moins un objet rouge
5) il y a au moins un objet bleu
6) il y a au plus un objet bleu
2.2 On dispose de 26 jetons, gravés avec les 26 lettres de l’alphabet. On tire suc-
cessivement et sans remise trois jetons. Quelle est la probabilité d’obtenir :
1) un mot de 3 consonnes ?
2) un mot de 3 voyelles ?
3) le mot BAC ?
4) le mot BAC ou l’une de ses anagrammes ?
2.3 On tire simultanément 8 cartes d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité
des événements suivants ?
1) parmi les 8 cartes, il y a l’as de cœur
2) il n’y a aucun as parmi les 8 cartes
3) il y a au moins un as parmi les 8 cartes
2.4 On lance une pièce dix fois de suite. Calculer la probabilité d’obtenir quatre
fois pile et six fois face.
2.5 Un paquet de 12 cartes est composé de 4 rois, 4 dames et 4 valets. On tire
5 cartes simultanément. Quelle est la probabilité de tirer :
1) 2 rois, 2 dames et 1 valet ?
2) les 4 rois ?
2.6 On met 13 balles rouges et 9 vertes dans un sac. Quelle est la probabilité qu’en
tirant 5 boules, on en ait 3 rouges et 2 vertes ?
Probabilités 2.2

2.7 On tire simultanément 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité
de tirer :
1) 5 carreaux ?
2) 5 carreaux ou 5 cœurs ?
3) 5 cartes de la même famille ?
4) les 4 rois ?
5) 3 rois et 2 dames ?
6) aucun roi ?
7) au moins un roi ?
8) au plus un roi ?
9) 2 carreaux et 3 cœurs ?
10) 2 cartes d’une famille et 3 d’une autre famille ?
2.8 Calculer la probabilité de gagner quelque chose à la loterie à numéros (il faut
avoir 3, 4, 5 ou 6 numéros gagnants).
2.9 Calculer la probabilité qu’une main de 9 cartes tirées parmi 36 cartes contienne :
1) les 4 as ;
2) aucun cœur ;
3) au moins un cœur.
Diagrammes de Venn
Exemple Dans un groupe de 37 élèves, 19 font du volley, 22 du basket et
14 pratiquent les 2sports. En choisissant un élève au hasard, calculer :
1) la probabilité qu’il pratique les deux sports ;
2) la probabilité qu’il ne pratique aucun sport ;
3) la probabilité qu’il ne pratique que du volley ;
4) la probabilité qu’il pratique du basket ou du volley.
v
o
l
l
e
y
b
a
s
k
e
t
5 814
10
On peut désormais facilement répondre aux questions posées :
1) 14
37 2) 10 37 3) 5 37 4) 27 37
Probabilités 2.3

2.10 Un appareil, fabriqué en très grande série, peut être défectueux à cause de deux
défauts différents désignés par A et B. 10 % des appareils ont le défaut A, 8 %
le défaut B et 4 % les deux défauts simultanément. Un client achète l’un des
appareils produits. Calculer :
1) la probabilité que cet appareil ne présente aucun défaut ;
2) la probabilité que cet appareil présente le défaut A seulement ;
3) la probabilité que cet appareil présente le défaut B seulement.
2.11 Dans une classe de 15 élèves, 6 ont choisi l’option philosophie, 5 la chimie et 2
ont pris à la fois la philosophie et la chimie.
1) Calculer le nombre d’élèves qui n’ont choisi aucune option.
2) En prenant un élève au hasard, calculer la probabilité pour qu’il ait pris
exactement une des deux options.
2.12 Une agence de voyages fait un sondage statistique sur la connaissance de
trois pays A, B et C. On constate que parmi les personnes interrogées, 42 %
connaissent A, 55 % connaissent B, 34 % connaissent C, 18 % connaissent
A et B, 10 % connaissent A et C, 15 % connaissent B et C, 8 % connaissent
A, B et C. Un voyage est prévu pour l’une des personnes qui a répondu aux
questions posées à l’occasion de ce sondage. On tire au sort le nom du gagnant.
Tous les noms ont la même probabilité d’être tirés. Quelle est la probabilité
pour que le gagnant soit une personne :
1) connaissant au moins l’un de ces trois pays ?
2) ne connaissant aucun de ces trois pays ?
3) connaissant deux pays exactement ?
4) connaissant A, mais ne connaissant ni B ni C ?
5) connaissant A et B, mais ne connaissant pas C ?
2.13 Dans une assemblée de 500 personnes, 300 comprennent le français, 200 l’ita-
lien, 90 l’anglais, 160 à la fois le français et l’italien, 60 à la fois le français et
l’anglais, 40 à la fois l’italien et l’anglais et 20 comprennent les trois langues.
Si l’on choisit une personne au hasard dans cette assemblée, quelle est la pro-
babilité que cette personne comprenne :
1) exactement deux de ces trois langues ?
2) l’une au moins de ces trois langues ?
2.14 Un hôpital comporte deux salles d’opération qui ont la même probabilité d’être
occupées. La probabilité que l’une des salles au moins soit occupée vaut 90 %,
celle que toutes deux soit occupées 50 %. Quelle est la probabilité :
1) que la première salle soit libre ?
2) que les deux salles soient libres ?
3) que l’une des deux salles au moins soit libre ?
Probabilités 2.4

2.15 60 % des élèves d’une école ne portent ni bague ni collier. 20 % portent une
bague et 30 % ont un collier. Si un des élèves est choisi au hasard, quelle est
la probabilité qu’il porte :
1) une bague ou un collier ?
2) une bague et un collier ?
2.16 Une classe comporte 10 garçons et 14 filles. 4 garçons et 6 filles ont les yeux
bleus. On choisit un élève au hasard dans cette classe. Quelle est la probabilité
que cet élève
1) soit un garçon aux yeux bleus ?
2) ait les yeux bleus ?
3) soit un garçon ou ait les yeux bleus ?
2.17 Deux joueurs, Pierre et Paul, lancent chacun une seule fois un même dé dont
chacune des six faces, numérotées de 1 à 6, a la même probabilité de sortir.
Le joueur qui gagne est celui qui fait sortir un nombre strictement supérieur à
celui de l’autre. La partie est nulle si les deux joueurs sortent le même nombre.
Calculer la probabilité des événements suivants :
1) Pierre gagne.
2) Pierre perd.
3) La partie est nulle.
Diagrammes en arbre
Les diagrammes en arbre constituent une représentation souvent utilisée pour
décrire et étudier des expériences aléatoires se déroulant en plusieurs étapes.
Exemple Un sac contient 4billes rouges, 2billes bleues et 3billes vertes.
On tire successivement et sans remise deux billes. Calculer la probabilité des
événements suivants :
1) les deux billes tirées sont rouges ;
2) la première bille est bleue et la seconde est verte ;
3) une des billes tirées est rouge et l’autre est bleue.
Probabilités 2.5