Chapitre 5 : Equations et systèmes d`équations non linéaires

Chapitre 5 : Equations et systèmes d’équations
non linéaires
1Equations et systèmes d’équations non linéaires : généralités
2Equations non linéaires : méthodes d’encadrement
Méthode de dichotomie
Méthode de la fausse position
3Equations non linéaires : méthodes de Newton
Méthode de Newton-Raphson
Newton-Raphson avec recherche linéaire
Méthode de Newton : variantes
4Systèmes d’équations non linéaires
Généralisation aux systèmes non linéaires
Méthode de Newton-corde
5Critères d’arrêt
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Généralités
Problème :
On entend par équation non linéaire d’une variable réelle l’égalité
f(x)=0,
où f(x) : [xmin, xmax]⊂R7→ R. Dans ce qui suit nous supposons que f(x)est
continue (dit autrement, f(x)∈C0).
Note : Le terme non linéaire constitue un léger abus de langage car f(x)
peut également être une fonction linéaire.
Plus généralement, on entend par système d’équations non linéaires avec n
équations et ninconnues (ou plus simplement système non linéaire) :
f1(x1, . . . , xn)=0
f2(x1, . . . , xn)=0
· · ·
fn(x1, . . . , xn)=0
avec fi:Rn7→ R,i= 1, ..., n , étant des fonctions continues.
Sous forme matricielle on a :
F(x) = 0,(1)
F:Rn7→ Rnétant une fonction continue.2 / 13

Généralités (suite)
Pour une équation
f(x)=0
ou un système d’équations
F(x) = 0(1)
on cherche à déterminer une ou plusieurs solutions (appelés encore zéros ou
racines) ; c’est-à-dire un ou plusieurs réels x(resp. vecteurs x) qui satisfont
f(x)=0(resp. F(x) = 0).
Cas particuliers :
système d’équations linéaires :F(x) = Ax−b
Iil y a soit aucune, soit une, soit une infinité de solutions
équations algébriques :f(x) = Pn
k=0 akxk
Isi on accepte des racines xcomplexes, alors l’équation possède exactement
nracines (comptant séparément les racines confondues)
Isi ak,k= 0, ..., n , sont réels, alors les racines sont soit réelles, soit
complexes conjuguées.
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Méthode de dichotomie
La méthode de dichotomie utilise le fait qu’une fonction continue sur
l’intervalle [a, b]et qui change de signe à ses extrémités doit avoir (au moins)
une solution à l’intérieur de cet intervalle ; en d’autres termes si f∈C0([a, b])
et
f(a)f(b)<0,
alors il y a une racine dans ]a, b[.
Algorithme :(entrées : f,a,b,εsortie : x(k))
% choisir a,btels que f(a)f(b)<0
répéter tant que |a−b|> ε
x(k):= (a+b)/2
si f(a)f(x(k))<0
b:= x(k)
si f(b)f(x(k))<0
a:= x(k)
si f(x(k))=0alors x(k)est une racine
x
y
024
0
2
4
a
b
x(1)
x(2)
x(3)
Exemple :[a, b] = [1,4]
f(x)=4sin(x)
x
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Méthode de la fausse position
La méthode de la fausse position est une modification de la méthode de
dichotomie qui utilise les valeurs f(a)et f(b)de la fonction aux extrémités de
l’intervalle pour calculer l’approximation suivante de la racine :
x(k)=a−f(a)b−a
f(b)−f(a),
au lieu de x(k)= (a+b)/2pour dichotomie.
Algorithme :(entrées : f,a,bsortie : x(k))
% choisir a,btels que f(a)f(b)<0
répéter jusqu’à l’arrêt
x(k):= a−f(a)b−a
f(b)−f(a)
si f(a)f(x(k))<0
b:= x(k)
si f(b)f(x(k))<0
a:= x(k)
si f(x(k))=0alors x(k)est une racine
x
y
024
0
2
4
a
bx(1)
Exemple :[a, b] = [1,4]
f(x)=4sin(x)
x
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