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2023/2024 Pr O. Bourihane
Méthodes Numériques
TD 2 : Equations et systèmes non linéaires
Exercice 1 :
Soit une fonction continue et dérivable sur , en développant en série de Taylor, montrer que la
formule de récurrence de la méthode de Newton-Raphson s’écrit sous la forme :
Exercice 2 :
Soit . Montrer que la méthode de Newton-Raphson conduit à la formule d’itération
suivante :
Exercice 3 :
On souhaite approximer la valeur de avec 8 chiffres après la virgule.
1. Proposer une équation non linéaire dont la solution est
2. En utilisant la formule de récurrence de Newton-Raphson et en partant d’une valeur initial ,
donner la formule d’itération pour le présent problème
3. En donnant , trouver une série de fraction approximant
4. Vérifier que votre réponse est bien à 8 chiffres après la virgule d’exactitude.
5. Utiliser la méthode de Dichotomie pour la même fin. Commenter le résultat !
Exercice 4 :
Trouver, en utilisant la méthode de Newton-Raphson, toute solution de l’équation :
Exercice 5 :
Si votre calculatrice ne peut effectuer que des sommations-soustractions et des multiplications, trouver
la valeur de en utilisant la méthode de Newton-Raphson. Noter que est la solution de :
Exercice 6 :
Utiliser la méthode de Newton-Raphson pour résoudre les deux problèmes ci-dessous, avec une valeur
initiale de :
Utiliser 5 itérations dans le premier cas et 10 itérations dans le second. Discuter les résultats !
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Exercice 7 :
Le système d’équations suivant :
admet une solution au voisinage du point :
1- Donner l’opérateur Jacobien du système.
2- Utiliser deux itérations de la méthode de Newton-Raphson pour raffiner l'approximation.
Exercice 8 :
L’équation d’un cercle de rayon et de centre est donnée par :
Etant donné un tableau des coordonnées ci-dessous, on cherche une estimation de par la méthode de
Newton-Raphson.
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1- Donner un système non-linéaire qui permet la résolution du problème
2- Donner l’opérateur Jacobien du système.
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/
2
100%
