cours7

PROGRAMMATION
SCIENTIFIQUE EN C
PRO-1027
Résolution de système d’équations nonlinéaires (racines d’équations)
 Méthode
de Newton-Raphson
 Convergence de la méthode
 Méthode de la sécante
 Travail pratique 2 b)
Méthodes de Newton-Raphson
 Cette
méthode converge plus rapidement que la
méthode de bissection
 La méthode de Newton est basée sur l’utilisation
de la portion linéaire de la série de Taylor
df
f ( x1 )  f ( x0 )  x
dx
x  x1  x0
Méthodes de Newton-Raphson
 Nous
avons une racine quand f(x) = 0, alors
df
0  f ( x1 )  f ( x0 )  ( x1  x0 )
dx
f ( x0 )
x1  x0 
df / dx
df
f ' ( x0 ) 
dx
f ( x0 )
x1  x0 
f ' ( x0 )
Méthodes de Newton-Raphson
 Nous
pouvons alors estimer une nouvelle valeur de
la racine (x1) à partir d’une estimation initiale x0.
 Nous pouvons alors raffiner l’estimation de la
valeur de la racine (x1) de façon itérative
f ( xi )
xi 1  xi 
f ' ( xi )
Méthodes de Newton-Raphson
 Si
f(x) est linéaire nous obtenons la solution au
premier essai
 Si f(x) est non linéaire, la série de Taylor est
seulement valide pour de petits x
 Les termes non linéaires tronqués de la série de
Taylor influence la précision de la solution
Méthodes de Newton-Raphson
À
partir d’une estimation initiale d’une racine x0
nous calculons une nouvelle estimation x1 et ce
itérativement jusqu’à l’obtention de la solution
 La nouvelle estimation xi+1 est toujours estimée à
partir de la dernière estimation xi.
Méthodes de Newton-Raphson
0  f ( xi )
f ( xi )
f ' ( xi ) 

xi 1  xi
xi 1  xi
Méthode de Newton-Raphson
 Algorithme
de Newton
NEWTON_RAPHSON(float x0, int nbiterMAX, float delta, float eps)
v = f(x0)
nbiter = 0
imprimer nbiter,x0,v
deltax1x0 = MAXFLOAT
TANT QUE nbiter<nbiterMAX ET deltax1x0 > delta ET |v| > eps FAIRE
x1 = x0-v/f’(x0)
v = f(x1)
imprimer nbiter, x1,v
deltax1x0 = x1- x0
x0 = x1
nbiter = nbiter + 1
FIN TANT QUE
Convergence de la méthode
 Dans
certains cas l’algorithme de Newton ne
converge pas
f ’(xi) -> 0
Convergence de la méthode
 Dans
certains cas l’algorithme de Newton ne
converge pas
f (xi) / f’(xi) = -f (xi+1) / f’(xi+1)
Convergence de la méthode
 Dans
certains cas l’algorithme de Newton ne
converge pas
f (xi) / f’(xi) = -f (xi+1) / f’(xi+1)
Convergence de la méthode
 Dans
certains cas l’algorithme de Newton ne
converge pas (ou converge lentement)
f’(xi) >>> f(xi)
Méthode de la sécante
 La
seule différence avec la méthode de NewtonRaphson réside dans le calcul numérique de la
dérivée f’(x)
 Une nouvelle estimation de la racine xi+1 est déduite
à partir des valeurs de la fonction f(xi) et f(xi-1) et
des estimations précédentes des racines xi et xi-1.
Méthode de la sécante
 La
valeur de la pente f’(x) est alors donnée par
f ( xi )  f ( xi 1 )
f ' ( xi ) 
xi  xi 1
 La nouvelle estimation de la racine est donnée par


xi  xi 1
xi 1  xi  f ( xi ) 

 f ( xi )  f ( xi 1 ) 
Méthode de la sécante
Méthode de la sécante
 Algorithme
de la sécante
SECANTE(float x0, float x1, int nbiterMAX, float delta, float eps)
u = f(x0)
v = f(x1)
nbiter = 0
imprimer nbiter,x0,u
nbiter++
imprimer nbiter,x1,v
deltax1x0 = MAXFLOAT
TANT QUE nbiter<nbiterMAX ET deltax1x0 > delta ET |v| > eps FAIRE
SI |u| < |v| ALORS
Permuter x0 et x1 , u et v
FIN SI
Méthode de la sécante
 Algorithme
de la sécante
TANT QUE nbiter<nbiterMAX ET deltax1x0 > delta ET |v| > eps FAIRE
SI |u| < |v| ALORS /* POUR ÉVITER LA DIVERGENCE */
Permuter x0 et x1 , u et v
FIN SI
s = (x1-x0)/(v-u) /* = 1/f ’(x1) */
x0 = x1
u=v
x1 = x0-v*s
v = f(x1)
imprimer nbiter, x1,v
deltax1x0 = x1- x0
nbiter = nbiter + 1
FIN TANT QUE
Travail pratique 2 b
 Utilisation
des méthodes de Newton et de la sécante