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Sommes de Gauss sur un anneau fini
Références : notes de P.N. (5 Mai 1993). Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms,
exercice 9 de la section 2 du chapitre II, page 62 (l’exercice est partiellement corrigé).
Ribenboim, Classical Theory of Algebraic Numbers, en particulier (mais beurk) section 26.1, The Qua-
dratic Character Attached to the Quadratic Field.
Frölich & Taylor, Algebraic Number Theory. En particulier, chap. VI (Cyclotomic Fields), §3 (Quadratic
fields revisited).
Loïc Mérel, Nombres Algébriques et Nombres p-adiques (cours préparatoires aux études doctorale 2003-
04), TAN.pdf
W. Stein, Modular Forms, a Computational Approach, chap. 4, Dirichlet Characters
Contexte et notations
•On note (U,×)le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1.
Ici Rest un anneau commutatif fini ; il faut par exemple penser à R=Z/NZet/ou à un corps fini.
J’attaque bille en tête, de manière pas très pédagogique, par un lemme. Lemme que je trouve rassurant
en ce qui concerne les histoires de caractères (multiplicatifs) primitifs.
Lemme 1.
Pour tout idéal Ide R, le morphisme entre groupes multiplicatifs :
R×→(R/I)×
est surjectif de noyau R×∩(1 + I). En conséquence, on dispose d’un isomorphisme canonique :
(R/I)×can.
'R×
R×∩(1 + I)
Preuve.
IMontrons le d’abord pour R=Z/NZ. Soit N0un diviseur de N, ce qui permet de considérer
(Z/NZ)×→(Z/N0Z)×. Considérons k0∈Zinversible modulo N0que l’on doit relever en un inver-
sible modulo N. On pose (Landau’s trick)
k=k0+aN0avec a=Y
p|N
p6 |k0
p
Alors k≡k0mod N0. Montrons que kest inversible modulo Nen montrant qu’un diviseur premier p
de Nne divise pas kvia :
p6 | k0=⇒p|aN0
p|k0=⇒p6 | aN0donc, dans tous les cas, p6 | k=k0+aN0
En effet, dans le cas p6 | k0, on a p|a, a fortiori p|aN0. Dans le second cas p|k0, on a (par définition
de a)p6 | aet comme p6 | N0(k0, N0sont premiers entre eux), on obtient p6 | aN0.
Variante : on pourrait le montrer pour Dpuissance d’un premier (c’est alors facile car Z/DZest un
anneau local) puis vérifier que si c’est vérifié pour D1, D2premiers entre eux, alors c’est vrai pour le
produit D1D2.
IMontrons le pour un anneau semi-local i.e. ayant un nombre fini d’idéaux maximaux (cela s’applique
donc à un anneau fini). Soient m1,...,mkles idéaux maximaux tels que I6⊂ mj(k= 0 si I=R!).
Je dis qu’il n’existe pas d’idéal maximal mtel que I+m1···mk⊂mcar cela entraînerait I⊂met
l’existence d’un jtel que mj⊂mpuis mj=m, conduisant à I⊂mj, un tantinet contradictoire. Bref
I+m1···mk=R. Soit maintenant x∈Rinversible modulo I; alors, par le théorème chinois, il existe y
tel que :
y≡(xmod I
1 mod m1···mk
1