Feuille d`exercices no 6

Arithmétique LM 220, 2010–2011
Université Pierre et Marie Curie
Feuille d’exercices no 6
Théorie des groupes
Exercice 1 : Soit G un groupe de cardinal p, avec p un nombre premier. Quels sont les
sous-groupes de G? Quel est l’ordre des éléments de G? Démontrer que G est isomorphe
à Z/pZ.
Exercice 2 : Soit G un groupe cyclique d’ordre n. Montrer qu’il existe un unique
sous-groupe de G d’ordre d pour chaque diviseur positif d de n.
Exercice 3 : Les groupes
suivants, sont-ils isomorphes?
1. (R, +) et ]0, +∞[, × ;
2. (Z/4Z, +) et (Z/2Z × Z/2Z, +);
3. (Z/2Z, +) et (Z/3Z \ {0}, ×);
4. (Z/4Z, +) et (Z/5Z \ {0}, ×).
Exercice 4 : (a) Soit G un groupe fini de cardinal n. Montrer que G est cyclique si, et
seulement si, G est isomorphe à (Z/nZ, +). Montrer que deux groupes finis cycliques sont
isomorphes si, et seulement si, ils ont le même cardinal. (b) Construire un isomorphisme
entre le groupe cyclique Z/nZ et le groupe Rn = {z ∈ C× : z n = 1}.
Arithmétique modulaire
Exercice 5 : Montrer que
36523
36523
36523
36523
36523
36523
≡
≡
≡
≡
≡
≡
1
3
1
1
3
4
mod
mod
mod
mod
mod
mod
3
10
9
2
4
7
Exercice 6 : Soit ar ar−1 . . . a1 a0 l’écriture décimale d’un entier n. Montrer que
n≡
r
X
(−1)i ai [11].
i=0
En déduire un critère de divisibilité par 11 par analogie avec le critère de divisibilité par 9.
Les nombres 6435 et 7812 sont-ils divisibles par 11 ?
Pouvez-vous inventer un critère de divisibilité par 99 ?
Exercice 7 : Pierre fait une course de vélo de plusieurs jours. Il y a des étapes longues
de 169831m et des étapes courtes, de 87426m. A la fin il a parcouru 1363669m. Combien
a-t-il fait d’étapes longues? (Indication : on pourra raisonner modulo 9).
1
Exercice 8 :
1. Montrer que si n est impair alors n2 ≡ 1 [8].
2. Montrer de même que tout nombre pair n vérifie n2 ≡ 0 [16] ou n2 ≡ 4 [16].
3. Quels sont les entiens x et y tels que x2 + y 2 ≡ 2 [8]?
Exercice 9 (L’indicatrice d’Euler) :
On appelle indicatrice d’Euler le nombre:
ϕ(n) = #{a : 1 ≤ a ≤ n et pgcd(a, n) = 1}.
1)
2)
3)
4)
Rappelez le lien entre ϕ(n) et Z/nZ.
Montrer que, si p est un nombre premier, ϕ(p) = p − 1.
Calculer ϕ(12), ϕ(100), ϕ(108) et ϕ(pq) (avec p et q premiers).
Montrer que
X
ϕ(d) = n
d|n,d>0
(Indication: Considérer la partition
G
{x : pgcd(x, n) = d}
d|n
de {1, . . . , n}.)
5) Si n est impair, alors ϕ(n) = ϕ(2n).
6) Si n est pair, alors ϕ(2n) = 2ϕ(n)
7) ϕ(3n) = 3ϕ(n) si et seulement si n ≡ 0 mod 3.
8) ϕ(3n) = 2ϕ(n) si et seulement si n 6≡ 0 mod 3.
9) ϕ(n) = n/2 si et seulement si n = 2k avec k ≥ 1.
10) Soit n = pr11 . . . prss la décomposition de n en facteurs premiers. Exprimer ϕ(n) en
fonction des pi et des ri . Montrer que ϕ(n) divise n!.
11) En déduire que pour tout entier a premier à n, on a an! ≡ 1[n].
Exercice 10 :
1. La classe de 18 est-elle inversible dans Z/49Z ? Si oui, quel est son inverse ?
2. La classe de 38 est-elle inversible dans Z/77Z ? Si oui, quel est son inverse ?
3. La classe de 42 est-elle inversible dans Z/135Z ? Si oui, quel est son inverse ?
Exercice 11 :
1. Quel est le nombre d’inversibles dans Z/401Z?
2. Quel est le nombre d’inversibles dans Z/15Z?
2