Feuille d`exercices no 6

Arithm´etique LM 220, 2010–2011 Universit´e Pierre et Marie Curie
Feuille d’exercices no6
Th´eorie des groupes
Exercice 1 : Soit Gun groupe de cardinal p, avec pun nombre premier. Quels sont les
sous-groupes de G? Quel est l’ordre des ´el´ements de G? D´emontrer que Gest isomorphe
`a Z/pZ.
Exercice 2 : Soit Gun groupe cyclique d’ordre n. Montrer qu’il existe un unique
sous-groupe de Gd’ordre dpour chaque diviseur positif dde n.
Exercice 3 : Les groupes suivants, sont-ils isomorphes?
1. (R,+) et ]0,+∞[,×;
2. (Z/4Z,+) et (Z/2Z×Z/2Z,+);
3. (Z/2Z,+) et (Z/3Z\ {0},×);
4. (Z/4Z,+) et (Z/5Z\ {0},×).
Exercice 4 : (a) Soit Gun groupe fini de cardinal n. Montrer que Gest cyclique si, et
seulement si, Gest isomorphe `a (Z/nZ,+). Montrer que deux groupes finis cycliques sont
isomorphes si, et seulement si, ils ont le mˆeme cardinal. (b) Construire un isomorphisme
entre le groupe cyclique Z/nZet le groupe Rn={z∈C×:zn= 1}.
Arithm´etique modulaire
Exercice 5 : Montrer que
36523 ≡1 mod 3
36523 ≡3 mod 10
36523 ≡1 mod 9
36523 ≡1 mod 2
36523 ≡3 mod 4
36523 ≡4 mod 7
Exercice 6 : Soit arar−1. . . a1a0l’´ecriture d´ecimale d’un entier n. Montrer que
n≡
r
X
i=0
(−1)iai[11].
En d´eduire un crit`ere de divisibilit´e par 11 par analogie avec le crit`ere de divisibilit´e par 9.
Les nombres 6435 et 7812 sont-ils divisibles par 11 ?
Pouvez-vous inventer un crit`ere de divisibilit´e par 99 ?
Exercice 7 : Pierre fait une course de v´elo de plusieurs jours. Il y a des ´etapes longues
de 169831m et des ´etapes courtes, de 87426m. A la fin il a parcouru 1363669m. Combien
a-t-il fait d’´etapes longues? (Indication : on pourra raisonner modulo 9).
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Exercice 8 :
1. Montrer que si nest impair alors n2≡1 [8].
2. Montrer de mˆeme que tout nombre pair nv´erifie n2≡0 [16] ou n2≡4 [16].
3. Quels sont les entiens xet ytels que x2+y2≡2 [8]?
Exercice 9 (L’indicatrice d’Euler) :
On appelle indicatrice d’Euler le nombre:
ϕ(n) = #{a: 1 ≤a≤net pgcd(a, n) = 1}.
1) Rappelez le lien entre ϕ(n) et Z/nZ.
2) Montrer que, si pest un nombre premier, ϕ(p) = p−1.
3) Calculer ϕ(12), ϕ(100), ϕ(108) et ϕ(pq) (avec pet qpremiers).
4) Montrer que
X
d|n,d>0
ϕ(d) = n
(Indication: Consid´erer la partition
G
d|n
{x: pgcd(x, n) = d}
de {1, . . . , n}.)
5) Si nest impair, alors ϕ(n) = ϕ(2n).
6) Si nest pair, alors ϕ(2n) = 2ϕ(n)
7) ϕ(3n)=3ϕ(n) si et seulement si n≡0 mod 3.
8) ϕ(3n)=2ϕ(n) si et seulement si n6≡ 0 mod 3.
9) ϕ(n) = n/2 si et seulement si n= 2kavec k≥1.
10) Soit n=pr1
1. . . prs
sla d´ecomposition de nen facteurs premiers. Exprimer ϕ(n) en
fonction des piet des ri. Montrer que ϕ(n) divise n!.
11) En d´eduire que pour tout entier apremier `a n, on a an!≡1[n].
Exercice 10 :
1. La classe de 18 est-elle inversible dans Z/49Z? Si oui, quel est son inverse ?
2. La classe de 38 est-elle inversible dans Z/77Z? Si oui, quel est son inverse ?
3. La classe de 42 est-elle inversible dans Z/135Z? Si oui, quel est son inverse ?
Exercice 11 :
1. Quel est le nombre d’inversibles dans Z/401Z?
2. Quel est le nombre d’inversibles dans Z/15Z?
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