Probabilités - Prof Launay

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FICHE n°1
Probabilités
ProbabilitésProbabilités
Probabilités
I. L’objet des probabilités
« Le fait que des évènements se produisent au hasard n’implique pas une totale absence d’ordre ! »
Exemples
 Assurances : les responsables d’une compagnie d’assurances ne peuvent pas savoir qui, parmi leurs
clients, aura un accident de voiture, mais ils peuvent prévoir qu’environ 5 % d’entre eux seront victimes
d’un sinistre, ce qui permet de fixer le montant des primes.
 Production industrielle : Après avoir recensé les différents types de défaillance d’un système, on décrit
le comportement d’un système de production et on montre comment le dysfonctionnement de chaque
composant perturbe le fonctionnement général. Grâce à cette étude, on détermine le risque de panne du
système entier, à partir du risque de panne de chaque composant.
D’après Pour la Sciences, avril 1996.
II. Le vocabulaire des probabilités
1. Le langage des évènements
Définitions
 Expérience aléatoire : expérience soumise au hasard conduisant à plusieurs résultats ω
1
, ω
2
,…, ω
n
.
Un de ces résultats possibles est appelé éventualité ou issue.
 Univers : ensemble des éventualités ou issues possibles. On le note souvent Ω = { ω
1
, ω
2
, … , ω
n
}.
 Evènement élémentaire : toute partie de l’univers Ω composé d’une seule éventualité.
 Evénements incompatibles : deux évènements A et B d’intersection vide, c’est à dire tels que A et B
n’ont aucunes issues en commun : A ∩ B = ∅.
 Evènement contraire de A : évènement dont les issues sont exactement toutes les issues non comprises
dans A. Soit A un événement, on note A son complémentaire.
EXERCICE TYPE 1 Comprendre le vocabulaire des probabilités
On lance un dé cubique parfait et on note le numéro de la face supérieure.
 Il s’agit d’une expérience aléatoire. Les éventualités ou issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
 L’univers est Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }.
 La partie A = { 2 ; 4 ; 6 }correspond à l’événement « Obtenir un nombre pair ».
 { 3 } est un événement élémentaire.
 L’événement « obtenir un multiple de 3 » correspond à B = { 3 ; 6}.
 A ∩ B = { 6 } et A ∪ B = { 2 ; 3 ; 4 ; 6 } .
 Si C est l’événement « Obtenir 1 », alors A et C sont des événements incompatibles.
 L’évènement contraire de A est : « Obtenir un nombre impair » soit A = { 1 ; 3 ; 5 }
De la même manière, B = { 1 ; 2 ; 4 ; 5 } et C = { 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }

2. Définition d’une probabilité
Définitions Soit une expérience aléatoire, soit Ω l’univers associé.
A chaque événement élémentaire, on associe un nombre réel p
i
compris entre 0 et 1, appelé
probabilité de cet événement élémentaire, tel que p
1
+ p
2
+ … + p
n
= 1 .
La probabilité d’un événement A, notée p(A), est la somme des probabilités des évènements
élémentaires qui le composent.
Remarque Comme pour les fréquences en statistique, on a :
 La probabilité d’un événement quelconque est toujours comprise entre 0 et 1.
 p(∅
∅∅
∅) = 0 et p(Ω
ΩΩ
Ω) = 1.
EXERCICE TYPE 2 Etude d’un dé truqué
Un dé cubique a été truqué de telle manière que :
(i) le chiffre 6 apparaisse trois fois plus souvent que le 1,
(ii) les chiffres 3 et 4 ont deux fois plus de chance d’apparaître que le 1,
(iii) et les chiffres 1, 2 et 5 ont la même probabilité d’apparaître.
Déterminer la probabilité p de l’événement élémentaire « Obtenir le nombre 1 ».
Solution
Notons p la probabilité d’obtenir le nombre 1, alors :
- d’après (iii), la probabilité d’obtenir 2 et 5 est également p ;
- d’après (ii), la probabilité d’obtenir 3 et 4 est 2p ;
- d’après (i), la probabilité d’obtenir 6 est 3p ;
Comme la somme des probabilités doit toujours être égale à 1, on a :
p + p + p + 2p + 2p + 3p = 1, soit 10p = 1, d’où : p = 1
10 = 0,1 .
Définition Déterminer la loi de probabilité d’une expérience aléatoire, c’est déterminer la probabilité de
chaque événement élémentaire. On la présente souvent sous forme d’un tableau.
EXERCICE TYPE 2 (suite)
1. Donner la loi de probabilité de l’expérience aléatoire décrite à l’exercice type 2 ci-dessus.
2. Déterminer alors la probabilité de l’événement A : « Obtenir un nombre pair ».
Solution
1. On a déterminé ci-dessus que la probabilité d’obtenir 1 est p = 1
10 . D’près l’énonce de l’exercice type 2,
la loi de probabilité de cette expérience aléatoire est donc :
2. L’évènement « Obtenir un nombre pair » revient à : A = { 2 ; 4 ; 6 }.
On a donc : p(A) = 1
10 + 2 10 + 3 10 = 6 10 = 3 5 .
La probabilité de l’événement A : « Obtenir un nombre pair » est 3
5 .
Issues possibles 1 2 3 4 5 6
Probabilités
1
10
1
10
2
10
2
10
1
10
3
10

III. Situations d’équiprobabilité
Définition Lorsque tous les évènements élémentaires ont la même probabilité, on dit qu’il s’agit d’une
situation d’équiprobabilité ou encore d’un cas de loi équirépartie.
Exemples de situations d’équiprobabilité
¤ « Tirage dans une urne de boules indiscernables au toucher et de couleurs toutes différentes… »
¤ « Tirage d’un numéro à la loterie nationale… »
¤ « Lancer d’un dé cubique équilibré et non pipé… »
Propriété fondamentale de l’équiprobabilité
Dans un cas d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est : p(A) = Nombre d’issues favorables
Nombre d’issues possibles
EXERCICE TYPE 3 Situation d’équiprobabilité…
On considère une roue régulière divisée en 16 secteurs superposables et numérotées de 1 à 16.
On lance la roue une fois et après l’arrêt de la roue, on lit le numéro en face de la flèche.
Calculer la probabilité de l’évènement « Obtenir au moins 8 ».
Solution
La roue est régulière et les secteurs sont superposables : il s’agit donc d’une situation d’équiprobabilité.
Notons A, l’évènement « Obtenir au moins 8 ». On a alors : A = { 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16}.
D’après la propriété fondamentale de l’équiprobabilité, on a donc :
p(A) = Nombre d’issues favorables
Nombre d’issues possibles = 9 16 . La probabilité d’« Obtenir au moins 8 » est 9
16 .
IV.Quelques propriétés des probabilités
Remarque Si A et B sont incompatibles, alors p(A∪B) = p(A) + p(B).
Propriétés Soient A et B deux évènements d’un univers Ω, on a les deux propriétés suivantes :
p( A ) = 1 − p(A) et p(A∪B) + p(A∩B) = p(A) + p(B) .
EXERCICE TYPE 4 Arbre des probabilités…
On suppose qu’à la conception l’embryon a autant de chances d’être un garçon que d’être une fille
et on s’intéresse uniquement aux familles ayant exactement trois enfants.
1. a. A l’aide d’un arbre , déterminer la probabilité des évènements A et B suivants :
A : « La 2
ème
naissance est un fille. » et B : « Il y a au moins deux garçons. »
b. Déterminer , à partir de l’arbre, p(A∩B).
2. En déduire : a. la probabilité de l’évènement A∪B.
b. la probabilité de l’évènement « Le 2
ème
enfant est un garçon ».
Solution 1. D’après l’arbre ci-contre, on a :
p(A) = 4
8 = 1 2 ; p(B) = 4 8 = 1 2 ; p(A∩B) = 1 8.
2. a. p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B) = 4
8 + 4 8 − 1 8 = 7 8
b. L’évènement « Le 2
ème
enfant est un garçon » est A d’où :
p( A ) = 1 − p(A) = 1 − 1
2 = 1 2 .
Familles
obtenues
FFF
FFG
FGF
FGG
GFF
GFG
GGF
GGG
F
F
G
F
G
F
G
G
F
G
F
G
F
G

V. Simuler une expérience aléatoire
EXERCICE TYPE 5 Simulation d’une situation de probabilité
On lance de deux dés parfaitement équilibrés et on observe la somme des deux dés.
1. Vérifier que, lors d’une simulation d’un grand nombre de lancers sur tableur,
il semble que la probabilité d’obtenir la somme 9 est supérieure à celle d’obtenir la somme 10.
2. Vérifier cette conjecture en déterminant la probabilité d’obtenir la somme 9 puis celle d’obtenir 10.
Solution
1. Voir le TP « Simulation d’une situation de probabilité sur tableur ».
2. Pour déterminer la loi de probabilité de cette expérience aléatoire, on peut ici réaliser un tableau pour
mieux visualiser la situation :
Ainsi, la loi de probabilité correspondant à cette expérience est :
Somme des deux dés 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilité
1
36
2
36 =
1
18
3
36 =
1
12
4
36 =
1
9
5
36
6
36 =
1
6
5
36
4
36 =
1
9
3
36 =
1
12
2
36 =
1
18
1
36
Conclusion : la probabilité d’obtenir une somme égale à 9 est supérieure à celle d’obtenir 10.
Remarque Dans le TP « Simulation d’une situation de probabilité avec un tableur », on a pu observer que :
Si on effectue suffisamment de lancers ou quand le nombre de tirages simulés est grand,
les fréquences observées tendent à s’approcher de la probabilité théorique .
Cette remarque illustre par ailleurs conjointement la fiche « Echantillonnages » : à voir.
2
ème
dé
1
er
dé
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12