Interrogation orale - Espaces vectoriels Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Espaces vectoriels 1 1.1 Exercice 6 : La partie suivante de F (R, R) est-elle un sous-espace vectoriel {f : R → R | f vérie P} Sous-espaces vectoriels où P est une des propriétés : monotone, s'annule en 0, s'annule ou impaire. Généralités Exercice 1 : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E . Montrer que F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E ssi F ⊂ G ou G ⊂ F . 1.2 Supplémentaires Exercice 7 : Soient u = (1, . . . , 1) ∈ Kn et Exercice 2 : On dénit H = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Kn | x1 + x2 + · · · + xn = 0}. n F = (un ) ∈ RN | ∀n ∈ N, o un+2 = nun+1 + un . Montrer que F est un sous-espace vectoriel de RN . Exercice 8 : Soient a0 , . . . , an ∈ R distincts. Déterminer un supplémentaire au sous-espace-vectoriel Exercice 3 : On dénit n F = (un ) ∈ RN | ∃T ∈ N∗ , o un+T = un . ∀n ∈ N, Montrer que F est un sous-espace vectoriel de RN . Exercice 4 : On note C l'ensemble des fonctions croissantes de F (R, R) et E = f − g | (f, g) ∈ C 2 Montrer que H est un espace vectoriel et que Kn = H ⊕ Vect(u). . Montrer que E est un sous-espace vectoriel de F (R, R). Exercice 5 : La partie suivante de RN est-elle un sous-espace vectoriel F = {f : R → R | f (a0 ) = · · · = f (an ) = 0} dans l'espace vectoriel F (R, R). Exercice 9 : Déterminer un supplémentaire au sous-espace-vectoriel F = f ∈ C 1 (R, R) | f (0) = f 0 (0) = 0 dans l'espace vectoriel C 1 (R, R). Exercice 10 : Déterminer un supplémentaire au sous-espace-vectoriel F = n o (un ) ∈ RN | (un ) vérie P Z f ∈ C ([−1, 1] , C) 1 0 −1 où P est une des propriétés : bornée, monotone, convergente ou arithmétique ? dans l'espace vectoriel C 0 ([−1, 1] , C). 1/6 f (t) dt = 0 Interrogation orale - Espaces vectoriels Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Exercice 11 : Déterminer un supplémentaire au sous-espace-vectoriel F = f ∈ C 0 ([0, π] , R) | f (0) = f (π/2) = f (π) dans C 0 ([0, π] , R). Exercice 12 : Soit A ∈ R[X] \ {0}. On pose F = {P ∈ R[X] | A divise P }. 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R[X]. 2. Déterminer un supplémentaire de F dans R[X]. Exercice 13 : On désigne par F l'ensemble des polynômes paires de R[X] et G = {P ∈ R[X] | ∃Q ∈ R[X], P = (1 − X)Q(X 2 )}. 1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R[X]. 2. Montrer que R[X] = F ⊕ G. 2 Familles de vecteurs Exercice 16 : Montrer que (cos, sin, exp, Id) est une famille libre de F (R, R). Exercice 17 : La famille (t 7→ 1, t 7→ Arctant, t 7→ Arctan(1/t)) est-elle libre dans F (R∗ , R) ? dans F (R∗+ , R) ? Exercice 18 : Soit (a, b, c) ∈ R3 . Les fonctions de R dans R données par x 7→ sin(x + a), x 7→ sin(x + b), x 7→ sin(x + c) sont-elles linéairement indépendantes ? Exercice 19 : Soit P1 , . . . , Pn une famille de polynôme non nuls de C[X] de degré strictement croissant. Montrer que (P1 , . . . , Pn ) est une famille libre. Exercice 20 : Montrer que la famille ((X − a)−1 )a∈R de K(X) est libre. Exercice 14 : Soient E un espace vectoriel et F, G, H trois sous-espaces vec- Exercice 21 : Montrer que les familles de fonctions de l'espace vectoriel toriels de E . Démontrer que F , G et H sont en somme directe si et seulement F (R, R) suivantes sont libres. si F ∩ G = {0} et (F + G) ∩ H = {0}. a bt (i) (t 7→ |t − a|)a∈R , (iv) (t 7→ sin(at))a∈R∗ , (ii) (t 7→ t e )a∈R+ , b∈R , (iii) (t 7→ cos(at))a∈R+ , n (v) (t 7→ sin (t))n∈N∗ . + Exercice 15 : Soient F1 , F2 deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel. 1. Montrer que si F1 et F2 ont un supplémentaire commun alors ils sont isoExercice 22 : Montrer que la famille (t 7→ eλt )λ∈C de l'espace vectoriel morphes. F (R, C) sur C est libre. 2. Montrer que la réciproque est fausse. Exercice 23 : On dénit ϕa : R[X] → R, P 7→ P (a). Montrer que (ϕa )a∈R est une famille libre de L (R[X], R). 2/6 Interrogation orale - Espaces vectoriels Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Exercice 24 : Soit (v1 , . . . , vn ) une famille libre d'un espace vectoriel E sur R. Exercice 29 : Soit a0 , . . . , an ∈ K distincts. On pose On pose n ∀k ∈ J1, n − 1K, wk = vk + vk+1 ∀i ∈ J0, nK, et wn = vn + v1 . Étudier l'indépendance linéaire de la famille (w1 , . . . , wn ). Li (X) = Y j=0 j6=i X − aj ai − aj ∈ K[X]. Montrer que (L0 , . . . , Ln ) est une base de Kn [X]. Exercice 25 : Soient (u1 , . . . , un ) une famille libre de E et (α1 , . . . , αn ) ∈ Kn . Exercice 30 : Soit 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 des réels. On dénit On note v= n X F = {f ∈ F ([0, 1], R) | ∀k ∈ J0, n − 1K, αi ui . i=1 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de F ([0, 1], R). 2. Déterminer une base de F . Donner une CNS sur α ∈ Kn pour que la famille (u1 + v, . . . , un + v) soit libre. Exercice 26 : On considère R comme un espace vectoriel sur Q. √ √ 1. Montrer que (1, 2, 3) est une famille libre. f|[xk ,xk+1 ] est ane}. 3 Applications linéaires 2. Montrer que (ln(p))p∈P est une famille libre où P désigne l'ensemble des 3.1 Généralités nombres premiers. Exercice 31 : Soit p ∈ N. On dénit f : C[X] → C[X], Exercice 27 : On dénit +∞ X P (n) (X) P ∈ R[X] P (X + 1) = n! ( F = f : P 7→ (1 − pX)P + X 2 P 0 . 1. Montrer que f est linéaire. 2. Étudier l'injectivité et la surjectivité de f . ) . n=0 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R[X]. 2. Montrer que X k ∈ F pour tout k ∈ N. Que peut-on en déduire ? Exercice 32 : Soit ϕ : C ∞ (R) → C ∞ (R) donné par f 7→ f − f 0 . 1. Montrer que ϕ est un endomorphisme. 2. Calculer le noyau et l'image de ϕ. Exercice 28 : Montrer que dans F (R, R), on a Vect (x 7→ cos(nx))n∈N = Vect (x 7→ cosn (x))n∈N . Exercice 33 : Montrer que l'application partie entière Ent : K(X) → K[X] est linéaire et déterminer son noyau. 3/6 Interrogation orale - Espaces vectoriels Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Exercice 34 : Soit B ∈ K[X] non nul. On note q(P ) et r(P ) le quotient et le Exercice 39 : Soient E un espace vectoriel et f ∈ L (E) tel que reste de la division euclidienne de P par B . 2 f − 3f + 2Id = 0. 1. Montrer que q et r sont des applications linéaires. 1. Montrer que f est inversible et exprimer son inverse en fonction de f . 2. Montrer que E = Ker(f − Id) ⊕ Ker(f − 2Id). 2. Donner leur noyau et leur image. 3. Montrer que r est un projecteur. Exercice 40 : Soit f ∈ L (E) tel que Exercice 35 : Soit (f, g) ∈ L (E)2 tel que ∀x ∈ E, g ◦ f ◦ g = g et f ◦ g ◦ f = f. 2. Montrer que f (Im(g)) = Im(f ). Exercice 41 : Soient E, F deux espaces vectoriels, f ∈ L (E, F ) et A, B deux sous-espaces vectoriels de E . Montrer Exercice 36 : Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E . Montrer f (A) ⊂ f (B) (i) Im(f ) ∩ Ker(f ) = {0} ⇔ Ker(f ) = Ker(f 2 ). (ii) E = Im(f ) + Ker(f ) ⇔ Im(f ) = Im(f 2 ). A + Ker(f ) ⊂ B + Ker(f ). Exercice 43 : On suppose que E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fr . On note ϕ((X − a)P ) = 0. ∀i ∈ J1, rK, Montrer qu'il existe λ ∈ R tel que ϕ(P ) = λP (a) pour tout P ∈ R[X]. Fi = {u ∈ L (E) | Im(u) ⊂ Fi }. 1. Montrer que Fi est un sous-espace vectoriel de L (E). 2. Montrer que L (E) = F1 ⊕ · · · ⊕ Fr . Exercice 38 : Soient u un endomorphisme d'un espace vectoriel E et F un sous-espace vectoriel de E . 2. Exprimer u(u−1 (F )) en fonction avec Im(u). ⇔ Exercice 42 : Soit f : E → K une forme linéaire non nulle. Montrer que si u ∈ E \ Ker(f ), alors E = Ker(f ) ⊕ Vect(u). Exercice 37 : Soit ϕ ∈ L (R[X], R) tel que 1. Exprimer u−1 (u(F )) en fonction avec Ker(u). f (x) = λx. Montrer que f est une homothétie. 1. Montrer que Im(f ) et Ker(g) sont supplémentaires dans E . ∀P ∈ R[X], ∃λ ∈ K, Exercice 44 : Soient E, F, G trois espaces vectoriels. On xe u ∈ L (E, F ), v ∈ L (F, G) et on pose w = v ◦ u. Montrer que w est un isomorphisme ssi 3. Déterminer une CNS sur F pour que u(u−1 (F )) = u−1 (u(F )). u est injective, 4/6 v est surjective et Im(u) ⊕ Ker(v) = F. Interrogation orale - Espaces vectoriels Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Exercice 45 : On suppose que E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fr et on xe un endomorphisme Exercice 49 : Soient p, q ∈ L (E)2 deux projecteurs de même noyau F . Monui ∈ L (ui ) pour chaque i ∈ J1, rK. trer que pour tout λ ∈ K, l'endomorphisme λp + (1 − λ)q est un projecteur de noyau F. 1. Montrer que ∃!u ∈ L (E), ∀i ∈ J1, rK, u|Fi = ui . Exercice 50 : Soient p, q ∈ L (E) deux projecteurs. 1. Montrer que p + q est un projecteur ssi p ◦ q = q ◦ p = 0. 2. Dans ce cas, donner le noyau et l'image de p + q . 2. Montrer que Ker(u) = Ker(u1 ) ⊕ · · · ⊕ Ker(ur ), Im(u) = Im(u1 ) ⊕ · · · ⊕ Im(ur ). Exercice 51 : Soient p, q ∈ L (E) deux projecteurs distincts et non nuls. Montrer (p, q) est une famille libre de L (E). Exercice 46 : On dénit ∆ : R[X] → R[X], P 7→ P (X + 1) − P (X). 1. Montrer que ∆ est une application linéaire. 2. Déterminer Ker(∆) et Im(∆). Exercice 52 : Soient p, q ∈ L (E) deux projecteurs qui commutent. 1. Montrer que p ◦ q est un projecteur de E . 2. Déterminer le noyau et l'image de p ◦ q . 3. Calculer ∆n . 4. En déduire que pour tout P ∈ Rn−1 [X], on a n X k=0 3.2 n−k (−1) n P (X + k) = 0. k Exercice 53 : Soit p ∈ L (E) un projecteur. Montrer que pour tout λ ∈ K avec λ 6= −1, l'endomorphisme Id + λp est un isomorphisme. Projecteurs Exercice 47 : On note D = Vect(1, 0, 0) et P le sous-espace vectoriel d'équa- Exercice 54 : Soient p, q ∈ L (E) deux projecteurs telles que p ◦ q = 0. 1. Montrer que r = p + q − q ◦ q est un projecteur de E . tion x + y + z = 0 dans R3 . 2. Déterminer le noyau et l'image de r. 1. Donner l'expression du projecteur sur D parallèlement à P . 2. Donner l'expression du projecteur par rapport à D parallèlement à P . Exercice 48 : Soit (p, q) ∈ L (E)2 . Montrer l'équivalence entre les assertions suivantes. (i) p ◦ q = p et q ◦ p = q , (ii) p et q sont des projecteurs de même noyau. 5/6 Interrogation orale - Espaces vectoriels Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Solutions Exercice 11 : On peut prendre G = Vect(cos, sin). Exercice 15 : Notons H le supplémentaire commun et p la projection sur F1 parallèlement à H . Alors la restriction de p à F2 est un isomorphisme. Si on pose F1 = R[X] et F2 = XR[X], alors F1 et F2 sont isomorphes, mais ils n'ont pas de supplémentaires communs. Exercice 25 : On trouve qu'elle est libre ssi 1 + α1 + · · · + αn 6= 0. Exercice 31 : L'application f est injective, mais pas surjective. 6/6