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logique
Table des matières
I démonstration et théorie axiomatique 2
1 généralités 2
2 proposition, prédicat simple 2
3 prédicats composés 3
3.1 prédicat de négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 prédicat de conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 prédicat de disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.4 prédicat d’implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.5 prédicat d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 équivalence logique de prédicats composés 4
5 proposition quantifiée universelle ou existentielle simple et négation 4
6 axiomes, règles d’inférence, théorème, démonstration 6
7 règles d’inférence de "la" logique 7
7.1 démonstration par détachement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
7.2 démonstration par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
7.3 démonstration par contre exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7.4 démonstration d’une implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7.4.1 règle de démonstration par déductions générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7.4.2 règle de démonstration par implications successives . . . . . . . . . . . . . . . 8
7.5 démonstration d’une équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7.5.1 règle de démonstration par double implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7.5.2 règle de démonstration par équivalences successives . . . . . . . . . . . . . . . 9
7.6 démonstration par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.7 démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
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Première partie
démonstration et théorie axiomatique
1 généralités
1. dans une théorie Mathématique il est question :
(a) d’ objets (resp : droites, nombres,...)
(b) de "qualités" vérifiées ou non par ces objets (resp : parallèles, pairs,...)
(c) de propositions (ou "assertions"), qui sont des énoncés soit vrais, soit faux et ceci exclu-
sivement (principe du "tiers-exclu")
( resp : dans le parallélogramme ABCD : (AB)//(CD), 2 est pair,... )
(d) d’ axiomes, qui sont des propositions vraies "par définition"
(dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "quels que soient a∈Net
b∈N:a+ (b+ 1) = (a+b) + 1" )
(e) des règles de déduction de propositions vraies à partir de propositions vraies existantes
(dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : quels que soient a∈Net b∈N
si "a=b" est vraie alors "a+ 1 = b+ 1" est vraie)
2. avec le "matériel" précédent :
(a) à partir des axiomes ou de propositions vraies, on peut obtenir des propositions vraies
grâce aux règles de déduction, selon l’importance des propositions obtenues, il est ques-
tion de "propriété" ou de "théorème"
(b) une proposition mathématique que l’on considère vraie sans l’avoir démontré est appelée
une "conjecture" (tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers)
2 proposition, prédicat simple
définition 1 :(proposition)
dans le cadre d’une théorie mathématique donnée
une proposition Pest une expression bien formée (selon les règles de la théorie)
exclusivement vraie ou fausse
exemples :
dans le cadre de la théorie des nombres réels :
i. P: "1≤2" est une proposition vraie
ii. P: "1 + 1 = 3" est une proposition fausse
iii. "1 + 1" n’est pas une proposition
iv. "x≥3" n’est pas une proposition car sa valeur de vérité dépend de la valeur du
nombre réel x, on dit que c’est "un prédicat à une variable"
définition 2 :(prédicat simple)
dans le cadre d’une théorie mathématique donnée,
un prédicat, P(x): est un énoncé ni vrai ni faux qui porte sur un objet x∈E
non déterminé à priori appelé "variable" et tel que,
quand on remplace xpar un objet x0quelconque,
on obtient alors une proposition P(x0)(qui elle, est vraie ou fausse)
exemples :
dans le cadre de la théorie des nombres réels, P(x):x≤2:
est un prédicat (ni vrai ni faux)
•en remplaçant xpar 1 on obtient, P(1) :1≤2qui est une proposition vraie
•en remplaçant xpar 3 on obtient, P(3) :3≤2qui est une proposition fausse

3 prédicats composés
3.1 prédicat de négation
définition 3 :(négation d’un prédicat)
dans le cadre d’une théorie mathématique donnée
soit Pun prédicat.
soit Qun prédicat.
si pour toute substitution des variables par des objets déterminés, les prédicats
Pet Qdonnent des propositions de valeurs de vérité différentes
( l’une est vraie et l’autre fausse)
alors le prédicat Qest la négation du prédicat Pet est noté P
exemples :
dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels :
"xest pair" est la négation du prédicat "xest impair"
3.2 prédicat de conjonction
définition 4 :(prédicat de conjonction)
dans le cadre d’une théorie mathématique donnée
soit Pun prédicat.
soit Qun prédicat.
le prédicat ”P et Q”est définit comme le prédicat qui est :
vrai lorsque Pet Qsont tous les deux vrais
faux dans tous les autres cas
exemples :
dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "xest pair et x > 1"
3.3 prédicat de disjonction
définition 5 :(prédicat de disjonction)
dans le cadre d’une théorie mathématique donnée
soit Pun prédicat.
soit Qun prédicat.
le prédicat ”P ou Q”est définit comme le prédicat qui est :
vrai lorsque au moins un des deux prédicats Pou Qest vrai
faux quand tous les deux sont faux
exemples :
dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "xest pair ou x > 1"
3.4 prédicat d’implication
définition 6 :(d’implication)
dans le cadre d’une théorie mathématique donnée
soit Pun prédicat.
soit Qun prédicat.
le prédicat "P=⇒Q" est définit comme le prédicat qui est :
faux lorsque Pest faux et Qest vrai
vrai dans tous les autres cas

exemples :
dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "xest pair =⇒x > 1"
3.5 prédicat d’équivalence
définition 7 :(équivalence)
dans le cadre d’une théorie mathématique donnée
soit Pun prédicat.
soit Qun prédicat.
le prédicat "P⇐⇒ Q" est définit comme le prédicat qui est :
vrai lorsque Pet Qsont simultanément vrais ou faux
faux dans tous les autres cas
exemples :
dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "xest pair ⇐⇒ x > 1"
4 équivalence logique de prédicats composés
définition 8 :(équivalence logique)
dans le cadre d’une théorie mathématique donnée
soient Pet Qdeux prédicats simples
soient P1et P2deux prédicats "composés" des prédicats Pet Q.
si P1et P2prennent les mêmes valeurs de vérité en fonction des valeurs de vérité
prisent par Pet Q
alors on dit que P1et P2sont "logiquement équivalents" et on note P1≡P2
exemples : (que l’on vérifie avec des "tables de vérité")
i. P≡P
ii. P ou Q ≡P et Q
iii. P et Q ≡P ou Q
iv. P=⇒Q≡Pou Q
par exemple pour vérifier que P ou Q ≡P et Q
P Q P ou Q P ou Q P Q P et Q
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5 proposition quantifiée universelle ou existentielle simple et négation
définition 9 :(proposition quantifiée universelle simple )
dans le cadre d’une théorie mathématique donnée
une proposition quantifiée universelle simple est de la forme
"quel que soit x∈E, P (x)"
où P(x)un prédicat avec x∈E(xpeut prendre l’ensemble des valeurs de E)
si "quel que soit x∈E", la proposition "P(x)" est vraie
alors la proposition universelle :"quel que soit x∈E, P (x)" est vraie
sinon elle est fausse

exemples :
P: "quel que soit x∈R, x2≥0" : est une proposition vraie
P: "quel que soit x∈N, n2est pair" : est une proposition fausse
définition 10 :(proposition quantifiée existentielle simple )
dans le cadre d’une théorie mathématique donnée
une proposition quantifiée existentielle simple est de la forme
"il existe x∈E, P (x)"
où P(x)un prédicat avec x∈E(xest dans l’ensemble E)
si "il existe un élément x0∈E" tel que la proposition "P(x0)" est vraie
alors la proposition universelle :"il existe x∈E, P (x)" est vraie
sinon elle est fausse
exemples :
P: "il existe x∈R, x2<0" : est une proposition fausse
P: "il existe x∈N, n2est pair" : est une proposition vraie
définition 11 :(négation d’une proposition quantifiée simple )
"quel que soit x∈E, P (x)" a pour négation, la proposition :"il existe x∈E, P (x)"
"il existe x∈E, P (x)" a pour négation, la proposition :"quel que soit x∈E, P (x)"
exemples :
P: "quel que soit x∈R, x2≥0" a pour négation : P: "il existe x∈R, x2<0"
P: "il existe x∈N, n2est pair" a pour négation : P: "quel que soit x∈N, n2est impair"