Cours d`introduction : La logique.

Cours d’introduction : La logique.
• Les propositions.
Définition : Les propositions sont tous les énoncés dont on peut décider s’ils sont vrais ou
faux.
Exemples :
- 2+2=4 Proposition vraie.
- 2+2=5 Proposition fausse.
- La Terre est ronde Proposition vraie.
- 5+3 Ce n’est pas une proposition.
•
Les connexions.
Définition : Les connexions permettent de construire d’autres propositions à partir de
propositions données.
Les 5 principaux connecteurs sont :
-La négation : ¬
-La conjonction : Λ
-La disjonction : V
-L’implication : =>
-L’équivalence :
A chaque connecteur logique, on associe une table de vérité :
La négation :
P
¬P
V
F
F
V
On lit : Si P est vrai, alors ¬P est faux, et vice versa.
Exemple :
Si P : 2+2=4, alors ¬P : 2+2≠4.
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La conjonction :
P
Q
PΛQ
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
Exemple :
P:
« 2+2=4 »
« 2+2=4 »
Q:
« 3 est pair »
« 8 est pair »
PΛQ :
Faux
Vrai
La disjonction :
P
Q
PVQ
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Exemple :
P:
« 2+2=4 »
« 2+2≠4 »
« 2+2=3 »
Q:
« 3 est pair »
« 8 est pair »
« 8 est pair »
PVQ :
Vrai
Vrai
Faux
L’implication :
P
Q
P=>Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Exemple :
P:
Q:
A revoir, j’ai fait des bêtises !!!!
P=>Q :
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Exemples :
Un crime a eu lieu. L’inspecteur note sur son carnet : « Si le crime a eu lieu avant minuit,
alors l’assassin est une femme.
P : « Le crime a eu lieu avant minuit ».
Q : « L’assassin est une femme ».
On sait déjà que P=> Q est vraie.
•
•
•
•
Si P est vrai, alors Q est vrai.
Si P est faux, je ne peux rien déduire de Q.
Si Q est vrai, je ne peux rien déduire de P.
Si Q est faux, alors P est vrai.
L’équivalence :
P
Q
PQ
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
• Formules logiquement équivalentes.
•
Définition : Une forme propositionnelle (ou
3 une formule) est une expression formée de
variables p, q, r… pouvant pendre les valeurs V ou F, de connecteurs et de
parenthèses.
•
A chaque formule, on peut associer une table de vérité.
Exemple : (PΛQ)= ¬R.
P
V
V
V
V
F
F
F
F
Q
V
V
F
F
V
V
F
F
R
V
F
V
F
V
F
V
F
PΛQ
V
V
F
F
F
F
F
F
¬R
F
V
F
V
F
V
F
V
(PΛQ)=>¬R
F
V
V
F
V
F
V
F
On dit que 2 « formules » sont logiquement équivalentes si et seulement si elles ont la
même table de vérité.
Exemples :
(P=>Q), (¬PVQ) et (¬Q=> ¬P) sont 3 formules logiquement équivalentes.
P
Q
P=>Q
¬Q
¬P
V
V
V
F
F
¬Q=>
¬P
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
V
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• Les prédicats.
Définition : Un prédicat est un énoncé contenant une ou plusieurs variables et dont la
valeur de ces vérités dépend de la variable. On le représente par un symbole (P, Q, R…) suivi
de la liste de ses variables entre parenthèses.
Exemples :
P(n) : « n est un nombre pair » est un prédicat.
P(3) : est une proposition fausse.
P(2) : est une proposition vraie.
Les quantificateurs : A partir d’un prédicat, P(x) et d’un ensemble E , on peut définir 2
propositions à l’aide des quantificateurs « Quelque soit » (Le A à l’envers,), et « Il existe »
(Le E à l’envers).
Pour connaître les symboles et les exemples des quantificateurs, voir feuille M…
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