Université Grenoble Alpes L1 MIASHS Algèbre linéaire 2 2016/2017
TD 2 : Espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Exercice 1. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
(a) (x,y)R2|x2+y2=0
(b) (x,y)R2|xy =0
(c) (x,y,z)R3|x2y+3z=0
(d) (x,y,z)R3|xz=2
(e) (x,y,z,t)R4|x=y=3z=t
(f) (x,y,z)R3|x+y+a=0 et x2az =0
Exercice 2. Soit Eun espace vectoriel et soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que :
FG=F+GF=G
Exercice 3. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
(a) {f:RR|fest monotone}
(b) {f:RR|fs’annule en 0}
(c) {f:RR|fest paire ou impaire}
(d) {f:RR|fest dérivable}
Exercice 4. Soit Eun espace vectoriel et soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que FGest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si FGou GF.
Exercice 5. Soit R3[X]l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.
Dire si chacun des ensembles suivants est un sous-espace vectoriel de R3[X]ou non.
(a) P(x)R3[X];P(x) = a0+a1x+a2x2+a3ax3avec a0+a1+a2+a3=0
(b) P(x)R3[X];P(x) = a0+a1x+a2x2+a3ax3avec (a0,a1,a2,a3)Z4
Exercice 6.
Soient
E
l’ensemble des fonctions définies de
R
dans
R
,
C
l’ensemble des fonctions de
Ecroissantes et
={fg|f,g∈ C}
Montrer que est un sous-espace vectoriel de E.
Espaces engendrés
Exercice 7. Trouver un système générateur des sous-espaces vectoriels suivants de R3:
(a) F=(x,y,z)R3|x2y+3z=0
(b) G=(x,y,z)R3|xy+z=0 et 2xyz=0
1
Université Grenoble Alpes L1 MIASHS Algèbre linéaire 2 2016/2017
Exercice 8.
1.
Le vecteur
(
3, 10,
7, 5
)
appartient-il au sous-espace vectoriel de
R4
engendré par les deux
vecteurs (1, 4, 7, 5)et (1, 2, 3, 1)?
2.
Déterminer
λ
et
µ
pour que le vecteur
(λ
,
µ
,
25,
1
)
appartienne au sous-espace vectoriel
engendré par les vecteurs (1, 4, 5, 2)et (1, 2, 3, 1).
Espaces supplémentaires
Exercice 9. Soit
E=n(un)nNRN|(un)nconvergeo.
Montrer que l’ensemble des suites constantes et l’ensemble des suites convergeant vers 0 sont des
sous-espaces supplémentaires dans E.
Exercice 10.
Soient
F
et
G
deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel
E
tels que
F+G=E
.
Soit F0un supplémentaire de FGdans F. Montrer que F0LG=E.
Exercice 11.
On considère dans
R4
les vecteurs :
v1= (
1, 0, 0, 1
)
,
v2= (
0, 0, 1, 0
)
,
v3= (
0, 0, 0, 1
)
et
v4= (0, 1, 0, 1). Démontrer que vect(v1,v2)et vect(v3,v4)sont supplémentaires dans R4.
Indépendance linéaire
Exercice 12.
Soit
(e1
,
. . .
,
ep)
une famille libre de vecteurs d’un espace vectoriel
E
. Montrer que
pour tout aE\vect(e1, . . . , ep), la famille (e1+a, . . . , ep+a)est libre.
Exercice 13.
Soient
E
un
R
-espace vectoriel et
(x
,
y
,
z)
trois vecteurs de
E
tels que la famille
(x,y,z)soit libre. On pose u=y+z, ;v=z+xet w=x+y.
Montrer que la famille (u,v,w)est libre.
Exercice 14.
1.
Montrer que les vecteurs
u= (
2, 2, 1
)
,
v= (
1, 3, 1
)
, et
w= (
2, 1, 3
)
sont linéairement
indépendants dans R3.
2.
Montrer que les vecteurs
u= (
1, 0, 3
)
,
v= (
0, 1, 2
)
, et
w= (
3,
1, 7
)
sont linéairement
dépendants dans R3et donner la relation linéaire qui les lie.
Exercice 15.
1.
Montrer que les deux matrices colonnes
A= (
1, 2
)T
,et
B= (
1,
2
)T
engendrent
R2
c
.
A
et
B
sont-elles linéairement indépendants ?
2.
Montrer que les trois matrices colonnes
A= (
3, 1, 5
)T
,
B= (
2, 1, 4
)T
et
C= (
1, 2, 3
)T
engendrent R3
c.
2
1 / 2 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !