TD 2 : Espaces vectoriels

Université Grenoble Alpes •L1 MIASHS •Algèbre linéaire 2 •2016/2017
TD 2 : Espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Exercice 1. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
(a) (x,y)∈R2|x2+y2=0
(b) (x,y)∈R2|xy =0
(c) (x,y,z)∈R3|x−2y+3z=0
(d) (x,y,z)∈R3|x−z=2
(e) (x,y,z,t)∈R4|x=y=3z=−t
(f) (x,y,z)∈R3|x+y+a=0 et x−2az =0
Exercice 2. Soit Eun espace vectoriel et soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que :
F∩G=F+G⇔F=G
Exercice 3. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
(a) {f:R→R|fest monotone}
(b) {f:R→R|fs’annule en 0}
(c) {f:R→R|fest paire ou impaire}
(d) {f:R→R|fest dérivable}
Exercice 4. Soit Eun espace vectoriel et soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que F∪Gest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si F⊂Gou G⊂F.
Exercice 5. Soit R3[X]l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.
Dire si chacun des ensembles suivants est un sous-espace vectoriel de R3[X]ou non.
(a) P(x)∈R3[X];P(x) = a0+a1x+a2x2+a3ax3avec a0+a1+a2+a3=0
(b) P(x)∈R3[X];P(x) = a0+a1x+a2x2+a3ax3avec (a0,a1,a2,a3)∈Z4
Exercice 6.
Soient E l’ensemble des fonctions définies de R dans R , C l’ensemble des fonctions de
Ecroissantes et
∆={f−g|f,g∈ C}
Montrer que ∆est un sous-espace vectoriel de E.
Espaces engendrés
Exercice 7. Trouver un système générateur des sous-espaces vectoriels suivants de R3:
(a) F=(x,y,z)∈R3|x−2y+3z=0
(b) G=(x,y,z)∈R3|x−y+z=0 et 2x−y−z=0
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Exercice 8.
1. Le vecteur ( 3, 10, − 7, 5 ) appartient-il au sous-espace vectoriel de R4 engendré par les deux
vecteurs (1, 4, −7, 5)et (1, 2, 3, 1)?
2. Déterminer λ et µ pour que le vecteur (λ , µ , − 25, − 1 ) appartienne au sous-espace vectoriel
engendré par les vecteurs (1, 4, −5, 2)et (1, 2, 3, 1).
Espaces supplémentaires
Exercice 9. Soit
E=n(un)n∈N∈RN|(un)nconvergeo.
Montrer que l’ensemble des suites constantes et l’ensemble des suites convergeant vers 0 sont des
sous-espaces supplémentaires dans E.
Exercice 10. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E tels que F+G=E .
Soit F0un supplémentaire de F∩Gdans F. Montrer que F0LG=E.
Exercice 11. On considère dans R4 les vecteurs : v1= ( 1, 0, 0, 1 ) , v2= ( 0, 0, 1, 0 ) , v3= ( 0, 0, 0, 1 ) et
v4= (0, 1, 0, 1). Démontrer que vect(v1,v2)et vect(v3,v4)sont supplémentaires dans R4.
Indépendance linéaire
Exercice 12. Soit (e1 , . . . , ep) une famille libre de vecteurs d’un espace vectoriel E . Montrer que
pour tout a∈E\vect(e1, . . . , ep), la famille (e1+a, . . . , ep+a)est libre.
Exercice 13. Soient E un R -espace vectoriel et (x , y , z) trois vecteurs de E tels que la famille
(x,y,z)soit libre. On pose u=y+z, ;v=z+xet w=x+y.
Montrer que la famille (u,v,w)est libre.
Exercice 14.
1. Montrer que les vecteurs u= ( 2, 2, 1 ) , v= ( 1, 3, 1 ) , et w= (− 2, 1, 3 ) sont linéairement
indépendants dans R3.
2. Montrer que les vecteurs u= ( 1, 0, 3 ) , v= ( 0, 1, 2 ) , et w= ( 3, − 1, 7 ) sont linéairement
dépendants dans R3et donner la relation linéaire qui les lie.
Exercice 15.
1. Montrer que les deux matrices colonnes A= ( 1, 2 )T ,et B= ( 1, − 2 )T engendrent R2
c
. A et B
sont-elles linéairement indépendants ?
2. Montrer que les trois matrices colonnes A= ( 3, 1, 5 )T , B= ( 2, 1, 4 )T et C= (− 1, 2, 3 )T
engendrent R3
c.
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