TD 2 : Espaces vectoriels

Université Grenoble Alpes • L1 MIASHS • Algèbre linéaire 2 • 2016/2017
TD 2 : Espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Exercice 1. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
( x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 0
(b) ( x, y) ∈ R2 | xy = 0
(c) ( x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + 3z = 0
(a)
( x, y, z) ∈ R3 | x − z = 2
(d)
(e)
( x, y, z, t) ∈ R4 | x = y = 3z = −t
(f)
( x, y, z) ∈ R3 | x + y + a = 0 et x − 2az = 0
Exercice 2. Soit E un espace vectoriel et soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que :
F∩G = F+G ⇔ F = G
Exercice 3. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
(a) { f : R → R | f est monotone}
(c) { f : R → R | f est paire ou impaire}
(b) { f : R → R | f s’annule en 0}
(d) { f : R → R | f est dérivable}
Exercice 4. Soit E un espace vectoriel et soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F ⊂ G ou G ⊂ F.
Exercice 5. Soit R3 [ X ] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.
Dire si chacun des ensembles suivants est un sous-espace vectoriel de R3 [ X ] ou non.
(a) P( x ) ∈ R3 [ X ]; P( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 ax3 avec a0 + a1 + a2 + a3 = 0
(b) P( x ) ∈ R3 [ X ]; P( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 ax3 avec ( a0 , a1 , a2 , a3 ) ∈ Z4
Exercice 6. Soient E l’ensemble des fonctions définies de R dans R, C l’ensemble des fonctions de
E croissantes et
∆ = { f − g | f , g ∈ C}
Montrer que ∆ est un sous-espace vectoriel de E.
Espaces engendrés
Exercice 7. Trouver un système générateur des sous-espaces vectoriels suivants de R3 :
(a) F = ( x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + 3z = 0
(b) G = ( x, y, z) ∈ R3 | x − y + z = 0 et 2x − y − z = 0
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Exercice 8.
1. Le vecteur (3, 10, −7, 5) appartient-il au sous-espace vectoriel de R4 engendré par les deux
vecteurs (1, 4, −7, 5) et (1, 2, 3, 1) ?
2. Déterminer λ et µ pour que le vecteur (λ, µ, −25, −1) appartienne au sous-espace vectoriel
engendré par les vecteurs (1, 4, −5, 2) et (1, 2, 3, 1).
Espaces supplémentaires
Exercice 9. Soit
n
o
E = (un )n∈N ∈ RN | (un )n converge .
Montrer que l’ensemble des suites constantes et l’ensemble des suites convergeant vers 0 sont des
sous-espaces supplémentaires dans E.
Exercice 10. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E tels que F + G = E.
L
Soit F 0 un supplémentaire de F ∩ G dans F. Montrer que F 0 G = E.
Exercice 11. On considère dans R4 les vecteurs : v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (0, 0, 1, 0), v3 = (0, 0, 0, 1) et
v4 = (0, 1, 0, 1). Démontrer que vect(v1 , v2 ) et vect(v3 , v4 ) sont supplémentaires dans R4 .
Indépendance linéaire
Exercice 12. Soit (e1 , . . . , e p ) une famille libre de vecteurs d’un espace vectoriel E. Montrer que
pour tout a ∈ E\vect(e1 , . . . , e p ), la famille (e1 + a, . . . , e p + a) est libre.
Exercice 13. Soient E un R-espace vectoriel et ( x, y, z) trois vecteurs de E tels que la famille
( x, y, z) soit libre. On pose u = y + z, ;v = z + x et w = x + y.
Montrer que la famille (u, v, w) est libre.
Exercice 14.
1. Montrer que les vecteurs u = (2, 2, 1), v = (1, 3, 1), et w = (−2, 1, 3) sont linéairement
indépendants dans R3 .
2. Montrer que les vecteurs u = (1, 0, 3), v = (0, 1, 2), et w = (3, −1, 7) sont linéairement
dépendants dans R3 et donner la relation linéaire qui les lie.
Exercice 15.
1. Montrer que les deux matrices colonnes A = (1, 2) T ,et B = (1, −2) T engendrent R2c . A et B
sont-elles linéairement indépendants ?
2. Montrer que les trois matrices colonnes A = (3, 1, 5) T , B = (2, 1, 4) T et C = (−1, 2, 3) T
engendrent R3c .
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