feuille d`exercices n°7

Universit´e Paris Diderot Ann´ee 2007-2008
MI2 Semaine du 31 mars au 4 avril feuille n◦6
Exercices de math´ematiques
Exercice 1 D´eterminer lesquels des ensembles E1,E2,E3et E4sont des sous-espaces vectoriels
de R3. Calculer leurs dimensions.
E1={(x, y, z)∈R3;x+y−z=x+y+z= 0}.
E2={(x, y, z)∈R3;x2−z2= 0}.
E3={(x, y, z)∈R3;exey= 0}.
E4={(x, y, z)∈R3;z(x2+y2) = 0}.
Exercice 2 Parmi les ensembles suivants reconnaˆıtre ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.
E1=(x, y, z)∈R3;x+y+a= 0,et x+ 3az = 0
E2={f∈ F(R,R); f(1) = 0}, E3={f∈ F(R,R); f(0) = 1}
E4={P∈Rn[X]; P0= 3}, E5=(x, y)∈R2;x+αy + 1 >0.
Exercice 3 Dans R4on consid`ere l’ensemble Edes vecteurs (x1, x2, x3, x4) v´erifiant x1+x2+
x3+x4= 0. L’ensemble Eest-il un sous espace vectoriel de R4? Si oui, en donner une base.
Exercice 4 Soient les vecteurs e1= (1,2,3,4), e2= (1,−2,3,−4) de R4. Peut-on d´eterminer
xet ypour que (x, 1, y, 1) ∈Vect{e1, e2}? pour que (x, 1,1, y)∈Vect{e1, e2}?
Exercice 5 Soient Eet Fles sous-espaces vectoriels de R3engendr´es respectivement par les
vecteurs {
2
3
−1
,
1
−1
−2
}et {
3
7
0
,
5
0
−7
}. Montrer que Eet Fsont ´egaux.
Exercice 6 Soient Eun espace vectoriel, Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E. On dit que
Fet Gsont suppl´ementaires dans Elorsque F∩G={0}et E=F+G. On note E=F⊕G.
1. Soient e1=
1
1
0
0
, e2=
0
1
1
0
, e3=
1
1
0
1
, e4=
1
0
0
0
et e5=
1
1
1
1
des vecteurs de
R4. Posons F= Vect {e1, e2}, G = Vect {e3, e4}, G0= Vect {e3, e4, e5}. Montrer que
E=F⊕Get E6=F⊕G0.
2. Supposons que Eest de dimension finie n, que dim (F) = pet E=F⊕G.
(a) Calculer dim (G).
(b) Montrer que tout ´el´ement xde Ese d´ecompose d’une mani`ere unique en une somme
x=y+zavec y∈Fet z∈G.
(c) Soient F={f1,· · · , fk}une famille libre de Fet G={g1,· · · , gl}une famille libre
de G. Montrer que la famille F ∪ G est libre.
1

(d) Soit ϕune application lin´eaire de Edans Rq,q∈N. Construire deux applications
lin´eaires ψet ψ0de Edans Rqtelles que : ∀y∈F:ψ0(y) = 0,∀z∈G:ψ(z) = 0 et
∀x∈E:ϕ(x) = ψ(x) + ψ0(x).
Exercice 7 Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de Rn, on d´efinit l’application f:
F×G→Rnpar f(x1, x2) = x1+x2.
1. Montrer que f est lin´eaire.
2. D´eterminer le noyau et l’image de f.
Exercice 8 E1et E2´etant deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies d’un espace vec-
toriel E, on d´efinit l’application f:E1×E2→Epar f(x1, x2) = x1+x2.
1. Montrer que fest lin´eaire.
2. D´eterminer le noyau et l’image de f.
3. Appliquer le th´eor`eme du rang.
Exercice 9 Soit E=Rn[X] l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e 6n, et f:E→E
d´efinie par :
f(P) = P+ (1 −X)P0.
Montrer que f∈L(E),donner une base de Im fet de Ker(f).
Exercice 10 Soient ~v1(1,2,3,4), ~v2(2,2,2,6), ~v3(0,2,4,4), ~v4(1,0,−1,2), ~v5(2,3,0,1) dans R4.
Soient F=V ect{~v1, ~v2, ~v3}et G=V ect{~v4, ~v5}. D´eterminer une base des sous-espaces F∩G,
F, G et F+G.
Exercice 11 On consid`ere dans R4,F= lin{a, b, c}et G= lin{d, e}, avec a= (1,2,3,4),
b= (2,2,2,6), c= (0,2,4,4), d= (1,0,−1,2) et e= (2,3,0,1). D´eterminer des bases des
sous-espaces F∩G,F,G,F+G.
Exercice 12 Dans R3, les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon d´ecrire le sous-espace
qu’ils engendrent.
1. v1= (1,1,1), v2= (3,0,−1), v3= (−1,1,−1).
2. v1= (1,2,3), v2= (3,0,−1), v3= (1,8,13).
3. v1= (1,2,−3), v2= (1,0,−1), v3= (1,10,−11).
Exercice 13 D´eterminer pour quelles valeurs de t∈Rles vecteurs 
1
0
t
,
1
1
t
,
t
0
1
forment une base de R3.
Exercice 14 Soit (Σ) le syst`eme d’´equations lin´eaires :
x+ 3y+ 2z= 0
x+y+z+t= 0
x−t= 0
Montrer que l’ensemble des solutions de (Σ) forme un sous-espace vectoriel Fde R4. D´eterminer
la dimension et une base de F.
2

Exercice 15 Soient v1= (1,0,0,−1),v2= (2,1,0,1),v3= (1,−1,1,−1),v4= (7,2,0,−1)
et v5= (−2,−3,1,0). Donner une base du sous-espace vectoriel F=<v1,v2,v3,v4,v5>.
D´eterminer un suppl´ementaire de Gdans Fdans R4.
Exercice 16 D´eterminer pour quelles valeurs de t∈Rles polynˆomes X2+t/2, X −t , (X+
t+ 1)2forment une base de R2[X].
Exercice 17 On consid`ere, dans R4, les vecteurs : e1=
1
2
3
4
, e2=
1
1
1
3
, e3=
2
1
1
1
, e4=
−1
0
−1
2
, e5=
2
3
0
1
.
Soient El’espace vectoriel engendr´e par e1, e2, e3et Fcelui engendr´e par e4, e5. Calculer les
dimensions respectives de E , F , E ∩F , E +F.
3