TRIGONOMETRIE 1 GENERALITES: LE TRIANGLE

11PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 2009 GENERALITES: LE TRIANGLE 1
TRIGONOMETRIE
1 GENERALITES: LE TRIANGLE
1.1 Définition
Trois points A, B et C non confondus du plan euclidien forment un triangle ABC.
α
β
γ
A
B
C
• α , β et γ sont les angles internes du
triangle
• on a :
°
=
+
+
180
γ
β
α
• AB , BC et AC sont les côtés du triangle
1.2 Aire ou surface d’un triangle
hh
aa
La surface
S du triangle est donnée par:
haS ⋅⋅= 2
1
où a est la base du triangle et h est la hauteur du triangle.
Des triangles de même base et de même hauteur ont même surface.
1.3 Cas spéciaux
1.3.1 triangle isocèle
α
β
β'
A
B
C
propriétés :
• 2 côtés égaux : ABAC =
• 2 angles égaux :
'
β
β
=

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1.3.2 triangle équilatéral
αα'
α''
A
B
C
propriétés :
• 3 côtés égaux :
ACBCAB ==
• 3 angles égaux : °=== 60'''
α
α
α
1.3.3 triangle rectangle
propriété :
• un angle est droit (90°)
2 LE TRIANGLE RECTANGLE
2.1 Définition
Un triangle est dit rectangle lorsqu’il contient un angle droit (90°).
On appelle hypoténuse le côté opposé à
l’angle droit. C’est toujours le côté le plus long
du triangle rectangle.
2.1.1 Propriétés
• α et β sont des angles aigus ( °
<
90
α
et °
<
90
β
)
• On a:
°=+ 90
β
α
• Si on prend un côté adjacent à l’angle droit comme base du triangle rectangle alors
l’autre côté adjacent à l’angle droit est la hauteur du triangle rectangle.

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2.2 Le théorème de Pythagore (570 – 510 av. J.C.)
Pour un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés adjacents à
l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse.
222
cba =+
2.2.1 Démonstration
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
L’aire du grand carré (de côté
a + b ) est égale
à la somme des aires des 4 triangles de base
b et de hauteur a et du petit carré de côté c .
Alors :
22
)
2
1
(4)( cbaba +⋅⋅⋅=+
222
22 cbababa +⋅⋅=⋅⋅++⇔
222
cba =+⇔
QED
2.2.2 Réciproque
Si pour un triangle de côtés a, b et c, où c est le côté le plus grand, on a
222
cba =+ , alors le
triangle est rectangle.
2.2.3 Exemple
Le triangle de côtés 3, 4, 5 est rectangle.
3 cm
4 cm
5 cm
On a en effet :
222
cba =+
222
)cm5()cm4()cm3( =+⇔
222
cm25cm16cm9 =+⇔
2525
=
⇔

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2.3 Exercices
2.3.1 Exercice
Vérifier que les triangles suivants, définis par les longueurs de leurs côtés, sont tous
rectangles:
• 5, 6, 11
• 11, 23 , 12
• 15, 8, 17
2.3.2 Le mur et l’échelle
La hauteur du mur est 5 m et la longueur de l’échelle 5,20 m. De combien le pied de l’échelle
s’écarte-t-il du mur?
2.3.3 Diagonale d’un carré
Soit un carré de côté a. Trouver la valeur de sa diagonale. Application numérique : a = 10 cm.
2.3.4 Hauteur d’un triangle équilatéral
Soit un triangle équilatéral de côté a. Trouver la valeur de son hauteur. Application
numérique : a = 10 cm.
2.3.5 Corde
Tu disposes d’une corde avec une longueur d’environ 7 m, d’une règle de 2 m et d’un
morceau de craie. Comment peux-tu procéder pour tracer un carré avec des côtés de 1,8 m
sur le sol ? Explique !

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2.4 Trigonométrie dans le triangle rectangle
2.4.1 Cosinus, sinus et tangente d’un angle
Dans un triangle rectangle on définit les rapports de côtés suivants:
hypoténuse
àopposé côté
sin
α
=α
SINUS de l’angle α
hypoténuse
àadjacent côté
cos
α
=α
COSINUS de l’angle α
α
α
àadjacent côté
àopposé côté
tan =α
TANGENTE de l’angle α
2.4.2 Remarques
• On a :
α
α
α
cos
sin
tan
=
démonstration :
α
α
α
αα
cos
sin
cos
1
sin
adj. c.
hyp c.
hyp. c.
opp. c.
adj. c.
opp. c.
tan =⋅=⋅==
• On a toujours :
1sincos
22
=+ αα
démonstration :
1
1
)(
1
sincos
2
2
22
22
2
2
2
22
22
2
=⋅=+⋅=+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+
=
c
c
ba
cc
b
c
a
c
b
c
a
c
43421
αα
QED