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DM 19 : La station MIR
0. Questions annexes :
0.1. Donner les définitions des termes suivants : Astronaute ; Astrophysicien ; Spationaute ; Cosmonaute.
D’après « le petit Robert » et le site : http://fr.wikipedia.org/wiki/Astronaute
Astronaute : (vient du grec ástron signifiant « étoile » et nautes, « navigateur ») personne qui se déplace dans un véhicule
spatial, hors de l’atmosphère Terrestre.
Astrophysicien : spécialiste de l’astrophysique (branche de l’astronomie qui étudie la nature physique, la formation et
l’évolution des corps célestes).
Spationaute : (est un mot hybride, venant à la fois du latin spatium signifiant « espace », et du grec nautes,
« navigateur ») membre de l’équipage d’un engin spatial.
Cosmonaute : (est traduit du russe космонавт (kosmonavt), venant des mots grecs kosmos qui signifie « univers »
et nautes, signifiant « navigateur ») personne qui se déplace dans un véhicule spatial, hors de l’atmosphère Terrestre.
0.2. L’orbite de la station MIR peut-elle être considérée comme circulaire ? A proprement parler, la station MIR n’avait pas une
orbite circulaire puisque son altitude variait.
0.3. Pour la suite de l’exercice, on considèrera cette trajectoire comme parfaitement circulaire (nécessité du programme !!).
Calculer le rayon moyen de l’orbite de MIR, noté Rmoy .
A.N.
0.4. Que signifie, dans les données : « Inclinaison : 51,6° ». Vous pourrez expliciter votre réponse à l’aide d’un schéma.
L'inclinaison décrit l'angle entre le plan de l'orbite de MIR et le plan de référence (le plan équatorial).
1. Caractéristiques des forces ?
1.1. Faire un schéma représentant la Terre, le module de service en orbite et Neil Armstrong à l’intérieur du module de service.
1.2. Exprimer vectoriellement la force exercée par la Terre sur la station MIR. On la notera
On introduit un vecteur unitaire
TS
u
TS
moy
Ts u
R
Mm
G
2
.
.
1.3. Dessiner sur votre schéma cette force.
1.4. Déterminer les caractéristiques (auteur, point d’application, direction, sens et intensité) de cette force.
Auteur : la Terre
Point d’application : centre de gravité de la station MIR
Direction : la droite passant par les centres de gravités de la station MIR et de la Terre
Sens : de la station MIR vers la Terre
Intensité :
2
/.
.
moy
Ts
MIRT R
Mm
GF
2
3
24
11
/.106769
10.98,5 124340
10.67,6
MIRT
F
Terre
TS
u
Station MIR
Sergei Zalyotin

NF MIRT 6
/10.08,1
1.5. De même exprimer vectoriellement la force exercée par la Terre sur Sergei Zalyotin. On la notera
TS
moy
TZa u
R
Mm
G
2
.
.
1.6. Dessiner sur votre schéma cette force.
2. L’étude se fait dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen.
2.1. En appliquant la deuxième loi de Newton établir l'expression vectorielle de l'accélération de la station MIR. Vous donnerez
l’expression de l’accélération vectorielle en fonction de RT, h, MT, G et d’un vecteur unitaire que vous introduirez.
D’après la deuxième loi de Newton :
exts Fam 
.
Ici
ams .
TS
moy
Ts
su
R
Mm
Gam 
2
.
..
D’où
TS
moy
Tu
R
M
Ga 
2
.
2.2. Calculer la valeur numérique de cette accélération. La comparer avec l’accélération d’un objet en chute libre, au niveau du
sol.
En norme :
2
.
moy
T
R
M
Ga
2
3
24
11
.106769
10.98,5
10.67,6a
2
.70,8 sma
En la comparant à l’accélération d’un objet en chute libre, au niveau du sol :
81,970,8 g
a
887,0
g
a
2.3. En appliquant, de nouveau, la deuxième loi de Newton établir l’expression vectorielle de l’accélération de Sergei Zalyotin.
Calculer la valeur numérique de cette accélération. Que peut-on dire de l’état de Sergei Zalyotin dans la station MIR ?
D’après la deuxième loi de Newton :
extZa Fam 
.
Ici
amZa .
amZa .
TS
moy
TZa u
R
Mm
G
2
.
.
D’où
TS
moy
Tu
R
M
Ga 
2
.
Ainsi l’accélération subit par Sergei Zalyotin est la même que celle de la station MIR, ainsi :
2
.70,8 sma

Sergei Zalyotin est en état d’impesanteur dans la station MIR.
3. Vitesse et période de la station MIR.
3.1. En reprenant les résultats précédents, et en utilisant l’expression de l’accélération dans le repère de Frenet, montrer que le
mouvement circulaire de la station MIR est forcément uniforme.
D’après les questions précédentes l’accélération de la station MIRest :
TS
moy
Tu
R
M
Ga 
2
.
Or dans le repère de Frenet (pour un mouvement circulaire) :
n
r
V
dt
dV
a .. 2
De plus si représente de nouveau le schéma avec le repère de Frenet :
On voit que
nuTS
Ainsi
n
R
M
Gn
R
V
dt
dV
moy
T
moy
 .... 2
2
(E)
En projetant cette relation selon :
0
dt
dV
V
constante
On en déduit que le mouvement est uniforme.
3.2. Exprimer littéralement sa vitesse en fonction des grandeurs MT, RT, h et G. Faire l’application numérique pour déterminer la
valeur de la vitesse de la station MIR.
Il reste donc de la relation (E) :
n
R
M
Gn
R
V
moy
T
moy
 ... 2
2
D’où
2
2.
moy
T
moy R
M
G
R
V
moy
T
R
M
GV .
2
moy
T
R
M
GV .
A.N.
3
24
11 .10676910.98,5
.10.67,6V
13 .10.68,7 smV
14 .10.76,2 hkmV
3.3. Compte tenu de sa vitesse, pourquoi la station MIR n’avait-elle pas un profil plus aérodynamique ?
La station est à l’extérieur de l’atmosphère, il n’y a donc aucun frottement de l’air. Sa forme n’a aucune importance.
3.4. Exprimer la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis retrouver la troisième loi de Kepler
Terre
TS
u
Station MIR
Sergei Zalyotin

appliquée à ce mouvement circulaire (l'énoncé de cette loi n'est pas demandé ici).
On sait que :
T
R
Vmoy
..2
D’où
V
R
Tmoy
..2
Ainsi
moy
T
moy
R
M
G
R
T
.
..2
T
moy
MG
R
T. ..2 3
On voit ainsi que :
T
moy
MG
R
T. ..4 3
22
T
moy MG
R
T..4 2
3
2
3.4. Faire l’application numérique pour déterminer la valeur de la période de la station MIR. Retrouve-t-on la valeur donnée
dans l’énoncé (Tthéo = 89,1 min) ? Calculer un écart relatif pour comparer les deux valeurs.
T
moy
MG
R
T. ..2 3
A.N.
2411
3
3
10.98,510.67,6 .106769
..2T
sT 3 10.54,5
sT 20min92
On ne retrouve pas exactement la valeur attendue. Calculons l’écart relatif sachant que
Tthéo = 89,1 min = 5,35.103 s
théo
théo
TTT
ER
A.N.
%55,3
10.35,5 10.54,510.35,5 3
33
ER
3.6. Combien de révolution effectuait la station MIR en une période de rotation de la Terre ?
La période de rotation propre de la Terre T0 = 23h56min = 86160 s
La station MIR effectue
T
T
N0
A.N.
3
10.54,586160
N
6,15N
La station MIR effectue 15,6 révolutions pendant que la Terre n’en fait qu’une.

4. Les satellites artificiels à orbites elliptiques.
Les satellites peuvent être placés sur différentes orbites, en fonction de leur mission. Un incident lors de leur satellisation peut
modifier l'orbite initialement prévue. Hipparcos, un satellite d'astrométrie lancé par la fusée Ariane le 8 août 1989, n’a jamais
atteint son orbite prévue. Un moteur n'ayant pas fonctionné, il est resté sur une orbite elliptique entre 36 000 km et 500 km
d'altitude.
4.1. Les satellites artificiels obéissent aux lois de Kepler.
La deuxième loi de Kepler, dite « loi des aires », précise que « des aires balayées par le rayon, reliant le satellite à l’astre
attracteur, pendant des durées égales, sont égales ».
Énoncer les deux autres lois dans le cas général d'une orbite elliptique.
Première loi – Loi des orbites
Les planètes du système solaire décrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil est un foyer.
Dans le référentiel héliocentrique, le Soleil occupe toujours l'un des deux foyers de la trajectoire elliptique des planètes qui
gravitent autour de lui.
De cette première loi, on déduit que le soleil exerce sur une planète une force centripète.
Seconde loi – Loi des aires
Le rayon Soleil-planète balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux.
Troisième loi – Loi des périodes
Le carré de la période sidérale T d'un objet (temps entre deux
passages successifs devant une étoile lointaine) est directement
proportionnel au cube du demi-grand axe a de la trajectoire
elliptique de l'objet :
K
a
T
3
2
, avec k constant.
4.2. Sans souci exagéré d'échelle ni d'exactitude de la courbe
mathématique, dessiner l'allure de l'orbite du satellite Hipparcos.
Placer sur ce schéma le centre d'inertie de la Terre et les points A et P correspondant respectivement aux valeurs 36 000 km et
500 km données dans le texte.
F'
O
F
<
>
2a
O = centre de l'ellipse
F et F' = Foyers
2a = grand axe
a = demi-grand axe
T centre d'inertie de la Terre
A: 36000 km d'altitude
P: 500 km d'altitude
4.3. En appliquant la loi des aires au schéma précédent montrer, sans calcul, que la vitesse d'Hipparcos sur son orbite n'est pas
constante.
Les deux aires hachurées sont égales. On remarque que dans un cas le satellite parcourt la longue distance HK, tandis que dans
l’autre cas, il parcourt la petite distance MN.
D’après la loi des aires, ces distances inégales sont parcourues durant une même durée .
Il est donc impossible que le satellite se déplace toujours à la même vitesse.
4.4. Préciser en quels points de son orbite sa vitesse est maximale, minimale.
La vitesse est maximale en P et minimale en A.
5. Satellite géostationnaire.
5.1. Qu'appelle-t-on satellite géostationnaire ?
T
S
A
P
O
T
M
N
H
K
P
A