Correction_évaluation_satellite

1.
T
uTS
uN
uT
S
RT
z
Expression vectorielle de la force exercée par la Terre T sur la station S : FT /S  G.
mM T
RT  z 2
uTS
avec uTS vecteur unitaire orienté de T vers S.
2. Étude de la vitesse
2.1. Dans le repère de Frénet, l’accélération s’écrit : aS 
dvS
vS2
.uT 
.u
dt
RT  z  N
2.3. D’après la deuxième loi de Newton appliquée dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen :
or, dans le repère de Frénet : FT /S  G.
m.aS  FT /S
aS  G.
MT
RT  z 2
mM T
RT  z 
2
uN donc : m.aS  G.
mM T
RT  z 2
.u N
soit :
.u N
L’accélération est donc radiale centripète, elle n’a pas de composante tangentielle.
Par conséquent, en identifiant avec l’expression de l’accélération dans le repère de Frénet, on trouve :
dvS
0
dt
La vitesse du satellite est donc constante : le mouvement de la station est circulaire et uniforme.
2.4. L’expression de l’accélération du satellite dans le repère de Frénet s’écrit donc : aS 
Or aS  G.
MT
.u N , donc :
2
RT  z 
vS2
MT
et par suite : vS 
 G.
RT  z  RT  z 2
vS2
.u
RT  z  N
GM T
RT  z 
2.5. L’expression précédente indique que la vitesse est indépendante de la masse de la station, dès lors cette vitesse
ne sera pas modifiée.
2.6. La deuxième loi de Kepler (loi des aires) permet de dire que le rayon vecteur TS allant de
la Terre à la station balaye des surfaces égales pendant des intervalles de temps égaux.
Le mouvement est circulaire, donc la vitesse est constante.
TS
C’est une deuxième façon de justifier que le mouvement circulaire de la station est nécessairement
uniforme.
3. La période de révolution de la station est la durée nécessaire à la station pour parcourir son orbite, on a
T
2 (RT  z)
vS
Soit : T 2 
GM T
4 2 (RT  h)2
4 2 (RT  h)3
2
2
T

avec
donc
:
et en définitive :
vS 
vS2
GM T
RT  h 
T
4 2
G.M T
R
+ h
3
T
4. Satellite géostationnaire
4.1. Un satellite géostationnaire reste en permanence au-dessus d’un point donné de la Terre : il est immobile par
rapport à ce point.
Pour être géostationnaire un satellite doit avoir :
- une orbite circulaire dont le centre est le centre T de la Terre et parcourue dans le même sens que le sens de
rotation de la Terre,
- une orbite contenue dans le plan de l'équateur terrestre,
- une période T égale à la période de rotation propre T0 de la Terre autour de l'axe des pôles.
4.2. La station n’est pas géostationnaire puisque sa période de révolution n’est pas égale à celle de la Terre, elle est
16 fois plus grande.
De plus, son orbite circulaire inclinée de 51,6° par rapport à l’équateur, n’est pas contenue dans le plan de l’équateur
terrestre.