2007-AmSud-Exo1-Correction-Satellites-5pts

Amérique du Sud 2007- EXERCICE I. ÉTUDE DE SATELLITES D'OBSERVATION (5 points)
CORRECTION © http://Labolycee.org
→
T
S
FT
figure 1
u
1. ENVISAT : un satellite circumpolaire.
1.1.1.
S
R
2
+)
M h
.
m R
.
G
vecteur unitaire orienté de S vers T.
(
=
−
×
(
×
×
×
+
×
)
= 6,34 × 104 N
2
→
S
En exprimant les distances en mètres, on a :
FT
+)
3
4 0
2 1
0
1 0
8 0
9 8
,
5
6
0
0 1
0
2 8
8 ,
3
6
.
1
1
0
1
7
6
,
6
=
2
→
S
1.1.2. Valeur de la force
FT
avec
=
(
u
.
u
→
M h
.
m R
G
Expression vectorielle de la force exercée par la Terre T sur le satellite S :
S
FT
h
=
(
u
.
2
M h
.
G
R
a
finalement:
a
.
m
2
+)
=
=
u
.
(
→
a
.
m
donne
S
F T.
M h
m R
G
1.2. Le satellite est étudié dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. La deuxième loi de Newton
+)
1.3. Le vecteur accélération a une valeur constante si l’on considère son altitude h constante.
direction : droite reliant les centres de la Terre et du satellite
sens : vers la Terre
A
a
a
B
figure 2
Terre
a
C
( + )
u
.
h
=
R
.
+)
2
+
h
v=
h
M
.
G R
soit finalement
R
(
M h
.
G R
2
v
En identifiant les deux vecteurs accélération il vient :
=
(
2
v
a
1.4. Dans le cas d'un mouvement circulaire et uniforme, le vecteur accélération s'écrit :
+)
4
2
0
1
8
9
,
5
×
+
×
×
(
3
0
1
0
0
8
−
×
×
1
1
=
6
0
1
8
3
,
6
v
0
1
7
6
,
6
1.5. Application numérique: avec les distances en mètre il vient
)
= 7,45×103 m.s-1 = 7,45 km.s-1.
⇔
T=
(π
3
0
1
0
0
8 0
3
1
5
4
,
7
6
0
1
8
3
,
6
2
T=
+)
(×
π
×
× )
+
h
R v
2
(
π
v=
h
R T
.
2
1.6. Le satellite parcourt le périmètre 2π.(R+h) de la trajectoire pendant la durée T d'une période à la vitesse v
donc
×
+)
= 6,05×
×103 s
calcul effectué avec la valeur non arrondie de v
v² =
+
π
2.3.
π
×
−
×
( + )




R+H= 


K=
π
= 9,90 × 10–14 S.I
4
K=
2
0
1
3
/
1
8
9
4
,
1
K
5
2 0
2
0
6 1
4 1
3
3
3
1
1
/
/
1
0
6
H 1
0
2
9
8
1 T
,
2 K
2 0K
T
9
R T
7
6
,
6
En posant r = R + h on retrouve bien la troisième de Kepler avec la constante K telle que
2 M
.
4 G
( + )
=
3
H
R
et finalement
2 .
M
4 G
2
T
+)
3
2
(
π
T2 =
H
M
.
R G
4
En reportant v² dans T² il vient :
2
donc
H
+
+)
M H
.
G R
La question 1.4 donne v =
(
π
T2 =
donc
2
R v
+)
2
(π
4
2.2. La question1.6. donne T =
H
M H
.
R v GR
2
2. METEOSAT 8 : un satellite géostationnaire.
2.1. Pour être géostationnaire un satellite doit avoir :
- une orbite circulaire dont le centre est le centre T de la Terre et parcourue dans le même sens que
le sens de rotation de la Terre,
- une orbite contenue dans le plan de l'équateur terrestre,
- une période T égale à la période de rotation propre T0 de la Terre autour de l'axe des pôles.
×
=
, pour METEOSAT 8 qui est un satellite géostationnaire, T = T0 = 1436 min = 86 160 s.



R+H= 


R+H= 
−
×




= 4,22×107 m = 4,22×104 km
calcul effectué avec la valeur non arrondie de K
+
+
+ ×
×
+
P
3
r
.
K
K
2 3
r
T
=
⇔
T=
3
(×
3
0
1
0
8
4
4
2
−
4
1
0
1
0
9
,
9
×
2R
≈ 24 480 km
2.4.2. La troisième loi de Képler donne
T=
A
2r
0
0
0
6
3
r=
r=
0
0
2
donc
3
0
rA 1
8 2
R
3
2 2,
6
2
rP
H = 4,22×104 – 6,38×103 = 3,58×104 km
On retrouve bien une valeur voisine de 36 000 km comme indiquée dans l'énoncé.
2.4.
2.4.1. On a
2r = rP +2R + rA
Terre
rA ≈ 36 000 km
rp
avec rP = 200 km et rA = 36 000 km
× ) = 3,81×104 s
calcul effectué avec la valeur non arrondie de K