Amérique du Sud 2007- EXERCICE I. ÉTUDE DE SATELLITES D'OBSERVATION (5 points) CORRECTION © http://Labolycee.org 1. ENVISAT : un satellite circumpolaire. 1.1.1. figure 1 FT S T u S R h m.M .u (R h) 2 Expression vectorielle de la force exercée par la Terre T sur le satellite S : FTS G avec u vecteur unitaire orienté de S vers T. m.M (R h) 2 1.1.2. Valeur de la force FTS G. En exprimant les distances en mètres, on a : FTS 6,67 10 . 11 8200 5,98 1024 6,38 10 6 3 2 800 10 = 6,34 104 N 1.2. Le satellite est étudié dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. La deuxième loi de Newton donne FT S m.a m.M G .u m.a (R h) 2 G.M .u finalement: a (R h) 2 1.3. Le vecteur accélération a une valeur constante si l’on considère son altitude h constante. direction : droite reliant les centres de la Terre et du satellite sens : vers la Terre A a a B figure 2 Terre a C v2 .u (R h) 1.4. Dans le cas d'un mouvement circulaire et uniforme, le vecteur accélération s'écrit : a En identifiant les deux vecteurs accélération il vient : soit finalement v= G.M . Rh v2 G.M (R h) R h 2 1.5. Application numérique: avec les distances en mètre il vient v 6,67 1011 5,98 1024 = 7,45103 m.s-1 = 7,45 km.s-1. 6 3 6,38 10 800 10 1.6. Le satellite parcourt le périmètre 2.(R+h) de la trajectoire pendant la durée T d'une période à la vitesse v donc 2.(R h) 2 (R h) T= T v 6 3 2 (6,38 10 800 10 ) T= = 6,05103 s 3 7,45 10 v= calcul effectué avec la valeur non arrondie de v 2. METEOSAT 8 : un satellite géostationnaire. 2.1. Pour être géostationnaire un satellite doit avoir : - une orbite circulaire dont le centre est le centre T de la Terre et parcourue dans le même sens que le sens de rotation de la Terre, - une orbite contenue dans le plan de l'équateur terrestre, - une période T égale à la période de rotation propre T0 de la Terre autour de l'axe des pôles. 2.2. La question1.6. donne T = 2(R H) v La question 1.4 donne v = donc G.M donc R H T2 = 42(R H) 2 v v² = G.M R H 2 En reportant v² dans T² il vient : T2 42(R H) = G.M T2 3 et finalement R H3 42 G.M En posant r = R + h on retrouve bien la troisième de Kepler avec la constante K telle que K= 4 2 G.M 42 = 9,90 10–14 S.I 6,67 10 11 5,98 10 24 T2 2.3. K R H3 K= 1/ 3 T2 R+H= K , pour METEOSAT 8 qui est un satellite géostationnaire, T = T0 = 1436 min = 86 160 s. 1/ 3 T02 R+H= K 1/ 3 861602 R+H= 14 9,90 10 = 4,22107 m = 4,22104 km calcul effectué avec la valeur non arrondie de K H = 4,22104 – 6,38103 = 3,58104 km On retrouve bien une valeur voisine de 36 000 km comme indiquée dans l'énoncé. 2.4. 2.4.1. On a 2r = rP +2R + rA Terre rA 36 000 km rp avec rP = 200 km et rA = 36 000 km P rP 2R rA 2 200 2 6,38 103 36000 24 480 km r= 2 T2 2.4.2. La troisième loi de Képler donne 3 K r donc T= A r= 9,90 10 14 (24480 10 )3 3 = 3,81104 s 2r 2R T= K.r 3 calcul effectué avec la valeur non arrondie de K