Exercice MEC-3 : Petits mouvements d`un satellite géostationnaire

Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : Mise en équations
Exercice MEC-3 : Petits mouvements d’un satellite géostationnaire
Thème : La mise en équations avec, prise en compte des forces gravitationnelles, et linéarisation des vitesses dans
l’énergie est intéressante.
On se propose d’étudier le comportement d’un satellite géostationnaire
légèrement écarté de sa trajectoire théorique. Le repère (, , , )
ooo
Tx y z
G
G
G
est
supposé galiléen. Le satellite est assimilé à un point matériel de masse m. A
l’équilibre il décrit un cercle de rayon
R
d’axe (, )
o
Tz
G
avec la même vitesse
angulaire Ω que la terre, sa position est repérée par o
TS Ru=
J
JJG
G
.
On utilise comme paramètres de position deux angles ,
θ
ϕ et une translation
ρ
telle que
()
1TS R u
ρ
=+
JJG G.
G
zo
G
xo
G
y0
G
v1
G
u1
G
uS0S
Ωt+
θ
ϕ
θ
ϕ
Établir les équations des petits mouvements par rapport à la trajectoire théorique du satellite.