LE RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

LE RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
I – Des propriétés de l’ensemble IN des entiers naturels :
1 - Entre l’entier naturel n et l’entier naturel n+1, il n’y a aucun autre entier naturel,
on dira que n+1 est le successeur de n.
2 – Toute partie non vide de IN a un plus petit élément.
Remarque : ces propriétés sont fausses dans l ‘ensemble des nombres décimaux.
Déinition : Dans une partie de IN où chaque élément a un successeur, dire qu’une
propriété est héréditaire, c’est dire que si un entier de l’ensemble vérifie cette
propriété, alors son successeur la vérifie nécessairement.
Exemples :
La propriété
La propriété «
«
2 n> n » est héréditaire dans l'ensemble des entiers naturels.
III – Exemples d’utilisations
1 – Un exemple rédigé :
Problème :
Calculer la somme des 3 premiers entiers impairs, la somme des huit premiers
entiers impairs… que peut-on conjecturer ? Comment le prouver ?
Il s’agit de démontrer une propriété concernant les entiers naturels, on peut donc
envisager une démonstration par récurrence, on supposera n non nul.
On note P(n) la propriété « la somme des n premiers entiers impairs est … »
Initialisation :
le premier nombre impair est 1, la somme est donc 1, qui est bien égal à 1²,
donc P(1) est vraie
Hérédité :
Considérons un entier k tel que P(k) est vraie, et démontrons que P(k+1) est vraie,
Puisque P(k) est vraie, la somme des k premiers nombres impairs est ...
Le nombre impair suivant est … ,
la somme des k+1 nombres entiers impairs est donc
n est divisible par 5 » n'est pas héréditaire.
II – Le principe de la démonstration par récurrence :
Axiome d’induction :
Toute propriété vérifiée par 0 et héréditaire dans IN est vérifiée par tous les entiers
naturels.
ce qui montre que P(k+1) est vraie.
Conclusion :
Il résulte du principe de récurrence que la propriété P(n) est vraie pour tout entier
naturel n,supérieur ou égal à 1, c’est-à-dire que pour tout entier naturel non nul, la
somme des n premiers entiers impairs est ...
Remarque : on pouvait ici éviter une démonstration par récurrence en utilisant une
suite arithmétique..
2 – Mise en garde :
Généralisation : Toute propriété vérifiée
par un entier naturel n0 et héréditaire dans
l’ensemble des entiers naturels supérieurs
ou égaux à n0 est vérifiée par tous les
entiers naturels supérieurs ou égaux à n0.
Chacune des trois étapes indiquées ci-dessus doit être vérifiée avec soin :
a) Montrer que la propriété : « 10n + 1 est divisible par 9 » est héréditaire.
Existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles cette propriété est vraie ?
b) On considère la propriété « n points du plan sont toujours alignés »
Montrer que P(2) est vraie et que cette propriété est héréditaire … Où est l’erreur ?
3 – Exercices :
a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 10n – 1 est divisible par 9.
Remarques :
- ce type de démonstration ne peut pas être utilisé pour démontrer un résultat
concernant des réels (la notion de successeur d’un réel n’a pas de sens).
- la démonstration par récurrence ne permet pas de découvrir le résultat à
démontrer.
b) Démontrer que pour tout entier naturel n, 32n – 2n est divisible par 7.
c) La suite (un )n est définie par : u1 = 0 et un+1 = un + 2n – 1
conjecturer puis démontrer alors une expression de un en fonction de n.