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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/20
A. Norme d’opérateur d’une matrice
1Soit M∈Mn(R). On note Nl’application de Rndans Rdéfinie par N : x7→ kxk.
Par définition, on a alors Sn−1= N−1({1}). Or, le singleton {1}est un fermé de R
et Nest continue (car 1-lipschitzienne). On en déduit que Sn−1est un fermé de Rn.
De plus, Sn−1est borné par définition. On peut donc en conclure que
La sphère unité Sn−1est un compact de Rn.
L’application de Rndans lui-même définie par f:x7→ Mxest linéaire en di-
mension finie et par conséquent continue. Ainsi, l’application de Rndans Rdéfinie
par x7→ kMxkest continue en tant que composée d’applications continues. Sa res-
triction au compact Sn−1est donc bornée et atteint ses bornes, si bien que
La quantité kMkop = max kMxk | x∈Sn−1est bien définie.
2Commençons par établir que k.kop est une norme sur Mn(R).
•Homogénéité : Soient λ∈Ret M∈Mn(R). D’après la question 1, il existe
x∈Sn−1tel que kλMkop =k(λM)xk.Par homogénéité de k.k, il s’ensuit que
kλMkop =|λ|kMxk. Puis, par définition de k.kop et puisque |λ|>0, il vient
kλMkop 6|λ|kMkop
De même, la question 1 fournit l’existence d’un y∈Sn−1tel que kMkop =kMyk.
Ainsi, par homogénéité de k.k, on a |λ|kMkop =k(λM)yk. Par définition de k.kop,
cela entraîne l’inégalité
|λ|kMkop 6kλMkop
qui permet de conclure à l’égalité kλMkop =|λ|kMkop.
•Inégalité triangulaire : Soient Met Ndans Mn(R). Pour tout x∈Sn−1,
en utilisant l’inégalité triangulaire pour k.ket la définition de k.kop, il vient
k(M + N)xk=kMx+ Nxk6kMxk+kNxk6kMkop +kNkop
En passant au maximum sur tous les x∈Sn−1, on aboutit à l’inégalité triangulaire
kM + Nkop 6kMkop +kNkop
•Caractère défini : Soit Mdans Mn(R)telle que kMkop = 0. Par définition de
la norme opérationnelle, on a donc pour tout x∈Sn−1,kMxk= 0. Par caractère
défini de k.k, on en déduit que pour tout x∈Sn−1,Mx= 0. Or, quel que soit z∈Rn
non nul, z/kzk ∈ Sn−1. D’où, M (z/kzk) = 0 puis par linéarité Mz= 0. Finalement,
cela entraîne que M = 0Mn(R).
L’application qui à M∈Mn(R)associe kMkop est une norme sur Mn(R).
Soient M∈Mn(R)et x,ydans Rn. Lorsque x=y, l’inégalité demandée est
évidente. Supposons donc x6=y. Le vecteur x−y
kx−ykest alors dans Sn−1. Ainsi, par
définition de k.kop, on obtient
w
w
w
w
Mx−y
kx−ykw
w
w
w
6kMkop
Par linéarité de Met homogénéité de k.k, cela se réécrit
kM (x−y)k6kMkopkx−yk
d’où ∀M∈Mn(R)∀(x, y)∈(Rn)2kMx−Myk6kMkopkx−yk
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