c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/24 Mines Maths MPSI 2008 — Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Romain Bordier (École Polytechnique) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet est composé de deux problèmes totalement indépendants. • Le premier aborde plusieurs aspects du programme d’algèbre et de géométrie de première année. La première partie est une question de cours (preuve de l’inégalité triangulaire dans le corps des complexes). La deuxième et la troisième portent sur des barycentres de deux points. La quatrième définit une suite de triangles dont on établit la convergence à l’aide de l’outil matriciel. Enfin, la dernière partie de ce problème étudie une application linéaire dans un espace de matrices. • Le second problème est un sujet d’analyse dont la finalité est l’étude de la convergence d’une famille de suites récurrentes dépendant d’un paramètre x, en fonction de la valeur de ce paramètre. Ces suites sont définies par t0 = 1 et, pour tout naturel n, tn+1 = Φx (tn ) où Φx est la fonction qui à t associe xt . Le problème commence par une étude de fonction tout à fait classique, puis aborde la discussion de la convergence en fonction du paramètre. Cette partie, qui examine les comportements de la suite selon la monotonie de la fonction Φx , est très proche du cours sur les suites récurrentes. La fin du problème est consacrée à l’analyse de la convergence des suites extraites des termes d’indices pairs et impairs à l’aide de la détermination des points fixes de la fonction Φx ◦ Φx . Sans grande difficulté, cette épreuve n’est pas non plus particulièrement longue. Il convenait donc d’être précis et rigoureux dans la rédaction, mais aussi attentif dans la mise en œuvre des calculs afin de faire la différence avec les autres candidats. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/24 Indications Premier Problème 10 Appliquer le résultat de la question 4 pour obtenir les relations de récurrence. 11 Pour déterminer la convergence d’une suite géométrique, comparer la valeur absolue de sa raison avec 1. 14 Utiliser l’inverse de V afin d’obtenir l’expression de ak , bk et ck en fonction de αk , βk et γk . 18 Penser à la formule de changement de base. 19 Exploiter le résultat de la question 18 et la bijectivité de ϕ. 20 Utiliser encore le résultat de la question 18, ainsi que la propriété de ϕ démontrée à la question 15. Deuxième Problème 25 Appliquer le théorème de dérivation d’une bijection réciproque. 27 Se servir de la continuité de Φx pour passer à la limite dans la relation de récurrence. Vérifier que h(x) > 0 avant de calculer f (h(x)). 31 Suivre l’indication de l’énoncé ! 35 Utiliser le théorème de convergence des suites monotones. 36 Dans cette question et les suivantes, noter que les points fixes de Φx ◦ Φx sont les zéros de g. 39 Passer à la limite dans l’inégalité pour déterminer lequel des points fixes de Φx ◦Φx est limite de (t2n )n∈N . 40 Montrer que les suites extraites (t2n )n∈N et (t2n+1 ) convergent vers des limites différentes. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K 3/24 Publié dans les Annales des Concours Premier Problème Étude d’une inégalité 1 Soit a ∈ C. Comme le module de a est positif, |a| = Re (a) ⇐⇒ |a|2 = Re (a)2 et Re (a) > 0 ⇐⇒ Re (a)2 + Im (a)2 = Re (a)2 et ⇐⇒ Im (a) = 0 et Re (a) > 0 Re (a) > 0 |a| = Re (a) ⇐⇒ a ∈ R+ Il s’ensuit 2 Soient z et w deux nombres complexes. Par définition du module, (|z| + |w|)2 − |z + w|2 = = = Ainsi |z|2 + |w|2 + 2|z| √ |w| − (z + w)(z + w) zp z +ww +2 zzww −zz −ww −zw −wz 2 (z w)z w − (z w + z w) (|z| + |w|)2 − |z + w|2 = 2(|z w| − Re (z w)) 3 Pour tout nombre complexe u, p |u| = Re (u)2 + Im (u)2 > Re (u) De plus, la question 1 assure qu’il y a égalité dans cette inégalité si et seulement si u est un réel positif. Appliquons-la avec le complexe u = z w, il vient |z w| > Re (zw) soit, d’après la question 2, |z + w|2 6 (|z| + |w|)2 Les deux membres de l’inégalité étant positifs, on en déduit l’inégalité triangulaire |z + w| 6 |z| + |w| Il y a égalité dans cette inégalité triangulaire si et seulement si u = z w est réel positif, autrement dit si et seulement si il existe α ∈ R+ tel que z w = α. Si w = 0, cette condition est réalisée et si w est non nul, elle équivaut à α ∃α ∈ R+ z= w |w|2 soit encore à ∃β ∈ R+ z =βw En conclusion, il y a égalité dans l’inégalité triangulaire si et seulement si w=0 ou ∃β ∈ R+ z =βw Géométriquement, cette condition signifie que z et w sont les affixes de deux points situés sur une même demi-droite issue de l’origine. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K 4/24 Publié dans les Annales des Concours La notion de (p : q) point 4 Soient A et B deux points distincts du plan, d’affixes respectives a et b. Ainsi a et b sont deux nombres complexes distincts. Pour tout z ∈ C supposé différent de b, z−a p = ⇐⇒ q(z − a) = p(b − z) b−z q ⇐⇒ (q + p)z = p b + q a ⇐⇒ z = p q b+ a p+q p+q Il existe alors un unique point M dont l’affixe z vérifie d’affixe z= car p > 0 et q > 0 p z−a = , c’est le point b−z q p q b+ a p+q p+q Géométriquement, le (p : q) point de A à B est le barycentre des points A et B affectés respectivement des poids q/(q + p) et p/(p + q). 5 Soit α ∈ ] 0 ; +∞ [. Notons z1 l’affixe du (p : q) point de A à B et z2 l’affixe du (α p : α q) point de A à B. C’est légitime car α p et α q sont des réels strictement positifs comme α, p et q. D’après la question 4, z2 = αp αq b+ a = z1 αp + αq αp + αq Le (p : q) point de A à B est égal au (α p : α q) point de A à B. On retrouve ainsi la propriété d’homogénéité du barycentre. 6 Le (1 : 1) point de A à B est le barycentre des points A et B affectés tous les deux du poids 1/2. Par suite, Le (1 : 1) point de A à B est le milieu du segment [AB]. 7 Considérons les trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c. On note X le (p : q) point de A à B et Y le (p : q) point de A à C. Le point X est sur la droite (AB), le point Y sur la droite (AC), et la définition du (p : q) point entraîne les égalités de quotients de mesures algébriques suivantes : AX AX p AY AY = = = = p+q AB AX + XB AY + YC AC C B Y A Le théorème de Thalès permet de conclure que Les droites (XY) et (BC) sont parallèles. X Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .