Chafai-Zitt : Probabilités prépa agreg interne

Probabilités
Préparation à l’agrégation interne
Djalil Chafaï
Copyright © 2012 (sauf image ci-dessus)
Livre électronique enregistré à l’AFNIL
http://djalil.chafai.net/enseignement.html
ISBN 978-2-9541710-0-5 EAN 9782954171005

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2/81 Copyright © Djalil Chafaï, 2012. ISBN 978-2-9541710-0-5 EAN 9782954171005

Table des matières
0 Avant propos 5
1 Modélisation d’une expérience 9
2 Espace probabilisé 13
2.1 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Variables aléatoires réelles 23
3.1 Fonction de répartition et loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Espérance des v.a.r. discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Espérance des v.a.r. à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Vecteurs aléatoires 35
4.1 Indépendance et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Matrice de covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Théorèmes limites 43
5.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Approximation de la loi Binomiale par la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Distance en variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5 Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . 55
A Compléments 59
A.1 Lois exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.2 Jeu de pile ou face . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A.3 Collectionneur de coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
A.4 Marche aléatoire simple et ruine du joueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A.5 Fonctions caractéristiques et vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A.6 Extrêmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
B Leçons d’oral 81
3

4TABLE DES MATIÈRES
4/81 Copyright © Djalil Chafaï, 2012. ISBN 978-2-9541710-0-5 EAN 9782954171005

Chapitre 0
Avant propos
Ces notes de cours couvrent l’essentiel des notions de probabilités au programme de
l’agrégation interne de mathématiques. Elles ne constituent en aucun cas des modèles
de leçons d’oral. L’image de couverture provient d’Internet, son propriétaire est inconnu.
Ce livre électronique possède un ISBN fourni par l’AFNIL. Il est donc en principe
utilisable le jour de l’oral par les candidats à partir de la session 2013. Si vous l’appré-
ciez, vous pouvez manifester votre gratitude en faisant un don directement à l’auteur
sur http://djalil.chafai.net/enseignement.html. C’est vous qui choisissez le montant,
tandis que pour un livre classique, le prix est fixe et l’essentiel revient à l’éditeur. Cette
rémunération directe de l’auteur est dans le même esprit que la rémunération directe des
agriculteurs et artistes. Elle court-circuite les marchands, qui ne produisent rien. Mais vous
pouvez aussi choisir de l’utiliser sans payer, car le savoir doit rester librement accessible.
Voici un extrait du programme 2011 (section 13 et parties de la section 9). On notera
l’absence de l’intégrale de Lebesgue et des fonctions caractéristiques.
9 Analyse réelle et complexe
...
9.6 Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
Définition de l’intégrale de Riemann, linéarité, positivité, inégalité de la moyenne, relation de Chasles. Inégalité
de Cauchy-Schwarz.
Primitive d’une fonction continue sur un intervalle. Intégration par parties, changement de variable, calculs de
primitives et d’intégrales.
Convergences en moyenne et en moyenne quadratique pour les suites de fonctions. Comparaison avec la con-
vergence uniforme.
...
9.8 Intégration sur un intervalle quelconque
Les fonctions considérées dans ce paragraphe sont supposées continues par morceaux sur l’intervalle Ide
définition, c’est-à-dire continues par morceaux sur tout segment contenu dans I.
Intégrale d’une fonction positive (comme borne supérieure, éventuellement infinie, des intégrales sur les seg-
ments inclus dans I). Emploi des relations de comparaison.
Une fonction définie sur Ià valeurs complexes est dite intégrable si l’intégrale de son module est finie.
Les trois théorèmes suivants sont admis :
Théorème de convergence monotone : Soit (fn)une suite croissante de fonctions intégrables, convergeant sim-
plement sur Ivers une fonction fcontinue par morceaux sur I. Alors fest intégrable sur Isi, et seulement si,
la suite des intégrales des fnest majorée ; en ce cas, l’intégrale de fest la limite de celles des fn.
Théorème de convergence dominée : Soit (fn)une suite de fonctions à valeurs complexes convergeant simple-
ment sur Ivers une fonction fcontinue par morceaux sur I. Si la suite des modules des fnest majorée par une
fonction gintégrable sur I, alors fest intégrable sur Iet son intégrale est la limite de celles des fn.
Théorème d’intégration terme à terme : Soit une suite (un)de fonctions à valeurs complexes, intégrables sur
I, telle que la série Pnunconverge simplement vers une fonction Scontinue par morceaux sur I, et telle que
la série PnRI|un|converge. Alors Sest intégrable sur Iet on a RIS=PnRIun.
9.9 Intégrales impropres
Intégrales convergentes, divergentes ; critère de Cauchy.
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