Fonctions de transfert échantillonnées et modélisation d'axe numérique

PARTIE 5
Fonctions de transfert
Echantillonnée
Modélisation d’un axe numérique
A) Fonction de transfert échantillonnée.
1) Commande d’un système continu par un signal échantillonné
a) Principe de la commande
Un signal échantillonné est constitué d’un peigne d’impulsions de Dirac modulées en amplitude. On
suppose que le système à commander est continu et linéaire : que l’on connaît sa réponse impulsionnelle et sa
fonction de transfert G(p).
La réponse du système à une entrée échantillonnée est donc la superposition des réponses impulsionnelles
modulées par l’amplitude de chaque Dirac et décalées dans le temps de k.Te.
t/Te
δ (t)
G(p)
X(p) Y(p)
x(t)
t
y(t)
t/Te
x(t)
t/Te
y(t)
0 1 2 3
0
0 1 2 3
g(t)
Réponse à une impulsion
Réponse à une suite d'impulsions
b) Calcul de la réponse temporelle
Si on pose “h(t)” la réponse impulsionnelle du système continu on peut écrire :
x( )t
= 0
∞
k
.
x( )
.
k Te δ t
.
k Te
y( )t
= 0
∞
k
.
x( )
.
k Te h t
.
k Te
h(t - k.Te) = 0 pour t < k.Te
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2) Transformée en “z” du signal de sortie
a) Echantillonnage du signal de sortie
Le schéma fonctionnel ci-dessous représente un système continu commandé par un signal
échantillonné. La sortie du système continu est échantillonnée.
x(k.Te)
x(k.Te)
x*(t)
H(p)
x*(t) y(t)
y(t) y(k.Te)
y(k.Te)
Te
t t t t
Echantillonneur à impulsion Système Continu Echantillonneur Parfait
La fonction de transfert échantillonnée doit relier les signaux discrets y(k.Te) et x(k.Te).
b) Transformée en “z” du signal de sortie
Par définition on a :
Y( )z
= 0
∞
j
.
y( )j z
j
Y( )z
= 0
∞
j
.
= 0
∞
k
.
x( )
.
k Te h( )
.
( )j k Te z
j
Si on pose m=j - k la formule ci-dessus devient :
Y( )z
= k
∞
m
.
.
= 0
∞
k
.
x( )
.
k Te h( )
.
m Te z
k
z
m
Y( )z
.
= k
∞
m
.
h( )
.
m Te z
m
= 0
∞
k
.
x( )
.
k Te z
k
Comme la réponse impulsionnelle h(m.Te) est nulle pour toute valeur de “m < 0” on a :
Y( )z
.
= 0
∞
m
.
h( )
.
m Te z
m
= 0
∞
k
.
x( )
.
k Te z
k
On peut écrire :
Y(z) = H(z) . X(z)
H(z) est la transformée en “z” de la réponse impulsionnelle échantillonnée h*(t)
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3) Exemples
a) Système du premier ordre
Soit un système du premier ordre de la forme :
H( )p H0
1
.
τ p
h( )t
.
H0
τ
e
t
τ
H( )z
.
H0
τ
z
z e
Te
τ
b) Système du second ordre avec un intégrateur et une constante de temps
Soit un système du second ordre de la forme :
H( )p H0
.
p ( )1
.
τ p
h( )t
.
H0 1 e
t
τ
H( )z H0 z
z 1
z
z e
Te
τ
H( )z
.
.
H0 z 1 e
Te
τ
.
( )z 1 z e
Te
τ
c) Système du second ordre avec deux constantes de temps
Soit un système du second ordre de la forme :
H( )p H0
.
( )1
.
τ 1 p ( )1
.
τ 2 p
h( )t
.
.
H0 τ 1
exp
.
1
τ 1
t
.
τ 2 τ 1 τ 1
2
.
.
τ 2 H0
exp
.
1
τ 2
t
τ 2
2
.
τ 2 τ 1
h( )t
.
H0
exp
.
1
τ 1
t exp
.
1
τ 2
t
( ) τ 2 τ 1
))()(12(
)(
21
12
ττ
ττ
ττ
TeTe
TeTe
ezez
ee
zH
−−
−−
−−−
+−
=
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p 3/9

d) Système du troisième ordre avec une constante de temps et deux intégrateurs
Soit un système du troisième ordre de la forme :
H( )p H0
.
p
2
( )1
.
τ p
h( )t
.
H0 τ t
.
τ exp
.
1
τ
t
H( )z
.
.
H0 z
.
.
τ z exp Te
τ
.
τ z
.
τ exp Te
τ
z exp Te
ττ
.
( )z 1
2
z exp Te
τ
3) Mise en série de fonctions de transfert continues.
Tous les exemples ci dessus peuvent être considérés comme la mise en série de fonctions de transfert
continues. Considérons le système constitué d’un intégrateur et d’un système du premier ordre.
x*(t)
H(p)
x'(t) y(t) y*(t)
Te
Echantillonneur à impulsion Système Continu Echantillonneur Parfait
1/p H0/(1 + p) τ
La transformée en “z” de l’ensemble des deux fonctions mise en cascade a été calculée ci-dessus et vaut :
H( )z H0 z
z 1
z
z e
Te
τ
DANGER : La transformée en « z » d’un produit de fonctions continues, N’EST PAS EGALE au
produit des transformée en « z » de chaque terme.
CONCLUSION :
Si on a un produit de deux fonctions continues Y(p)=H1(p)*H2(p), pour calculer la transformée en
« z » de ce produit il faut :
a) Calculer la réponse impulsionnelle y(t) du PRODUIT des ces deux fonctions.
b) Echantillonner cette réponse par un peigne de Diracs pour obtenir y*(t).
c) Y(z) est la transformée en « z » de la suite des échantillons y(k) de la réponse
impulsionnelle du produit. Cela revient à calculer la transformée en « z » DU PRODUIT des deux
fonctions.
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4) Commande d’un système continu par un CNA
a) Modélisation d’un CNA
Un convertisseur Numérique Analogique maintient la valeur de la grandeur de sortie constante
pendant toute la période d’échantillonnage. Il se comporte comme un bloqueur d’ordre zéro.
On a donc le schéma suivant :
x(k.Te)
y(k.Te)
Te
x*(t)
x*(t)
cna(t)
H(p)
cna(t) y(t)
y(t)
x(k.Te)
y(k.Te)
b) Fonction de transfert échantillonnée
Calculons la fonction de transfert B0(p) d’un bloqueur d’ordre zéro. Pour cela il est possible de
considérer que cette fonction est la somme de deux échelons décalés d’une période d’échantillonnage.
Te0 t Te0 t
1 1
-1
b0(t) = u(t) - u(t - Te)
B0( )p
.
1
p
1 e
.
T e p
Pour calculer la fonction de transfert d’un système continu commandé par un CNA, il faut
calculer la transformée en “z” de la réponse impulsionnelle du système :
T(p) = B0(p).H(p)
T( )p
.
.
1
p
1 e
.
T e p
H( )p
T( )p
.
1
p
H( )p
.
.
1
p
e
.
Te p
H( )p
En appliquant le théorème du retard on a :
H( )z Z
.
1
p
H( )p
.
.
1
p
e
.
Te p
H( )p
H( )z
.
1 z
1
ZH( )p
p
H( )z
.
z 1
z
ZH( )p
p
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