Une invitation aux mathématiques

UNE INVITATION AUX MATHEMATIQUES
S. De Bièvre
Novembre 2005

2
S. De Bièvre

Table des matières
1 Arithmétique 9
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Divisibilité et congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Le PGCD et la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Le Plus Grand Commun Diviseur . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 La division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.4 Efficacité de l’algorithme d’Euclide* . . . . . . . . . . . . 23
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Les théorèmes de Bézout et de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Le théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Le théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.3 Le lemme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.4 Le Plus Petit Commun Multiple . . . . . . . . . . . . . . 28
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.1 Combien y a-t-il de nombres premiers ? . . . . . . . . . . 30
1.5.2 Le Crible d’Eratosthène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.3 Quels entiers ont une racine carrée rationnelle ? . . . . . . 32
1.5.4 La décomposition en nombres premiers . . . . . . . . . . . 33
1.5.5 Le petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6 La cryptographie à clés publiques* . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.2 Le système RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7 Les nombres : au delà de l’entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Un peu de logique 43
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 L’implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Le “ou” non-exclusif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3

4
2.4 La contraposée d’une implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 La négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 L’implication réciproque – l’équivalence . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Le raisonnement par l’absurde I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8 La rigueur en mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9 Le raisonnement par récurrence : trois exemples . . . . . . . . . . 48
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.10 Sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.11 L’union et l’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.12 Le complément et les lois de de Morgan . . . . . . . . . . . . . . 53
2.13 Le produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.14 La somme d’ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Le lecteur teste ses connaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Fonctions : quoi et pourquoi ? 57
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Le banquier et l’équation différentielle . . . . . . . . . . . 58
3.1.2 Tout est (presque) un polynôme . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.3 Retour chez le banquier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.4 Les primitives existent-elles ? . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.5 Le programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Qu’est-ce une fonction ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 L’image et le graphe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Comportement global d’une fonction numérique . . . . . . . . . 69
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Encore un peu de logique : les quantificateurs . . . . . . . . . . . 70
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Limites 75
4.1 Limite d’une fonction : la définition . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 La définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.2 Utiliser la définition : un exemple . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.3 Pas de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.4 Tripoter les et les δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.5 Utiliser le graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2 Limite d’une fonction : premières propriétés . . . . . . . . . . . 83
4.2.1 Limite de sommes, produits et quotients . . . . . . . . . . 83
4.2.2 Les gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5 Limites de suites : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6 Limites de suites : premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7 Quelques limites type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
S. De Bièvre

5
4.8 Limite d’une fonction en un point : un critère . . . . . . . . . . 101
4.9 Limite à l’infini, limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.10 Encore un peu de logique : retour au
raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Le lecteur teste ses connaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 Fonctions continues et dérivables 109
5.1 Les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.1 Continuité : une définition alternative . . . . . . . . . . . 112
5.2 Continuité : propriétés simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3 Dérivabilité : propriétés simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4 L’interprétation géométrique de la dérivée . . . . . . . . . . . . . 115
5.4.1 Approcher fpar une fonction affine . . . . . . . . . . . . 115
5.4.2 Les droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.5 Fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.5.2 Continuité des fonctions composées . . . . . . . . . . . . . 121
5.5.3 Dérivabilité des fonctions composées . . . . . . . . . . . . 121
5.5.4 Le nom des variables I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.5.5 Le prolongement par continuité* . . . . . . . . . . . . . . 124
5.6 Limites à gauche et à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6 La fonction exponentielle 127
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2 Les suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.3 Les suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.5 Max, min, sup, inf et les autres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Le lecteur s’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.6 Démonstration du théorème de la borne supérieure* . . . . . . . 142
6.7 Démonstration du théorème des suites monotones . . . . . . . . . 143
6.8 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Le lecteur teste ses connaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 Le théorème des accroissements finis 147
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2 Monotonie et signe de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.3 Démonstration du théorème de Rolle et du TAF . . . . . . . . . 151
7.3.1 Les hypothèses du TAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.3.2 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.3.3 Les démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Deug MIAS 1 à l’USTL S. De Bièvre