MAT231 -- Chapitre 3 : Polynômes

MAT231, Chapitre 3
MAT231 – Chapitre 3 : Polynômes
Université Joseph Fourier – 2008-2009
Pierre Bérard
Les transparents et les feuilles d’exercices sont disponibles sur
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard
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Plan du chapitre 3
Chapitre 3, Polynômes
Définitions, Structures algébriques
Division euclidienne
Congruences
Idéaux, pgcd,ppcm
Polynômes irréductibles
Factorisation, I
Polynôme dérivé et formule de Taylor
Factorisation, II
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Chapitre 3, Polynômes
Définitions, Structures algébriques
Définitions
Note
Dans tout ce chapitre, Kdésigne un corps commutatif (par
exemple Rou C).
Définition
On appelle polynôme à coefficients dans Kune suite P= (ai)i∈N
d’éléments de Ktelle que ai=0 sauf pour un nombre fini
d’indices. De manière équivalente, un polynôme Pest une suite
nulle à partir d’un certain rang, c’est-à-dire qu’il existe un entier n
(qui dépend a priori de P) tel que aj=0 pour tout j≥n+1.
Autrement dit, P= (a0,a1,...,an,0,0, . . .). L’élément ais’appelle
le coefficient d’ordre i du polynôme P.
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Notations
IOn note K[X]l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.
IOn note 0 le polynôme (0,0, . . .), dont tous coefficients sont
nuls. On note 1 le polynôme (1,0,0, . . .), dont tous les
coefficients sont nuls, sauf celui d’ordre 0 qui vaut 1. Cela
revient à identifier Kà une partie de K[X].
IOn note (en général) Xle polynôme (0,1,0,0, . . .), dont tous
les coefficients sont nuls, sauf celui d’ordre 1 qui vaut 1. On
dit que Xest l’indéterminée.
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Définitions, Structures algébriques
Définition
Soit P= (ai)i∈N∈K[X]un polynôme à coefficients dans K. Si P
est non nul, on note d:= max{i|ai6=0}. Si Pest nul, on pose
par convention d:= −∞. Le nombre ds’appelle le degré du
polynôme Pet se note deg(P). Le coefficient d’ordre d,ad(non
nul par définition), s’appelle le coefficient dominant de P. On dit
qu’un polynôme est unitaire (ou normalisé) si son coefficient
dominant vaut 1.
Notation. On note Kn[X]l’ensemble des polynômes de degré
inférieur ou égal à n, c’est à dire l’ensemble des polynômes dont les
coefficients d’ordre supérieur ou égal à (n+1)sont nuls.
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Définitions, Structures algébriques
Structures algébriques
Sur l’ensemble K[X], on définit les opérations suivantes.
IAddition dans K[X]
(ai)i∈N+ (bi)i∈N:= (ai+bi)i∈N.
IMultiplication d’un élément de K[X]par un scalaire de K:
λ·(ai)i∈N:= (λai)i∈N.
IMultiplication dans K[X]
(ai)i∈N×(bi)i∈N:= (ci)i∈Navec ck=X
i+j=k
aibj.
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Définitions, Structures algébriques
Proposition
Le triplet (K[X],+,×)est un anneau commutatif dont l’élément
neutre pour l’addition est le polynôme 0 et dont l’élément neutre
pour la multiplication est le polynôme 1.
Proposition
L’ensemble K[X]muni de l’addition (+) et de la multiplication par
un scalaire (·), est un espace vectoriel sur K.
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Définitions, Structures algébriques
Proposition
Pour tout p≥1, le polynôme Xp:= X×. . . ×X(pfacteurs) est
le polynôme dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui d’ordre
pqui vaut 1. Le polynôme P:= (a0,a1,...,an,0,0, . . .)peut
s’écrire sous la forme
P=a0·1+a1·X+· · · +an·Xn
ou, plus simplement, P(X) = a0+a1X+· · · +anXn, où on a
identifié le scalaire a0avec le polynôme (a0,0,0, . . .).
On pose X0:= 1. Alors, deg(Xm) = mpour tout m∈N.
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Définitions, Structures algébriques
Propriété
L’ensemble Kn[X]des polynômes de degré inférieur ou égal à nest
un espace vectoriel sur Kde dimension (n+1). La famille
C:= {1,X,X2,...,Xn}en est une base, appellée base canonique
de Kn[X].
Exercice
Soit Kun corps commutatif et soit {P0,P1,...,Pn}une famille de
polynômes telle que deg(Pj) = j, pour 0 ≤j≤n. Montrer que
cette famille est une base de Kn[X].
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Chapitre 3, Polynômes
Définitions, Structures algébriques
Propriétés du degré
Proposition
Soient P,Q∈K[X]deux polynômes non nuls.
IOn a deg(P+Q)≤max(deg(P),deg(Q)) avec égalité si
deg(P)6=deg(Q);
IOn a deg(PQ) = deg(P) + deg(Q).
Ces relations s’étendent au cas du polynôme nul de manière
évidente.
Remarque. Le degré de la somme de deux polynômes de même
degré npeut être strictement inférieur à n.
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