Chapitre 29 Fonctions de deux variables réelles

Chapitre 29 Fonctions de deux variables réelles
Dans ce chapitre, on note (e1 , e2 ) désigne la base canonique de R2 . L'ensemble A désigne une
partie de R2 et U désigne un ouvert de R2 . Le produit scalaire usuel sur R2 ou R3 sera noté h·, ·i.
I - Continuité
I.1 - Normes
Définition 1 (Norme).
On appelle norme sur R2 toute application N telle que
(i). N : R2 → R+ .
(ii). Séparation. ∀ x ∈ R2 , [N (x) = 0 ⇒ x = 0].
(iii). Homogénéité. ∀ (λ, x) ∈ R × R2 , N (λx) = |λ| · N (x).
(iv). Inégalité triangulaire. ∀ (x, y) ∈ R2 , N (x + y) ≤ N (x) + N (y).
Théorème 1 (Exemples).
2
2
p Soient k · k∞ : R → R+ , (x1 , x2 ) 7→ sup{|x1 |, |x2 |} et k · k2 : R → R+ , (x1 , x2 ) 7→
x21 + x22 .
(i). k · k∞ et k · k2 sont des normes de R2 .
(ii). Il existe deux réels strictement positifs a, b tels que pour tout x ∈ R2 ,
akxk∞ ≤ kxk2 ≤ bkxk∞ .
On dit que ces deux normes sont
équivalentes .
Remarque. Dans toute la suite, la notation k · k désigne indiéremment la norme 2 ou la norme
innie.
Définition 2 (Partie bornée, Boule).
Soient a ∈ R2 , r > 0 et A ⊂ R2 .
(i). On dit que A est bornée s'il existe un réel strictement positif M tel que pour tout
vecteur x ∈ A, kxk ≤ M .
(ii). On appelle boule
ak < r}.
ouverte de centre a et de rayon r l'ensemble B(a, r) = {x ∈ R2 ; kx −
(iii). On dit que A est un ouvert de R2 si A = ∅ ou si pour tout vecteur x ∈ A, il existe
ε > 0 tel que B(x, ε) ⊂ A.
Exercice 1. Pour chacune des normes k · k∞ , k · k1 , k · k2 , représenter graphiquement la boule
unité.
I.2 - Applications dénies sur R2
L'ensemble F (A, R) est naturellement muni d'une structure de R-espace vectoriel stable par
multiplication interne.
Définition 3 (Applications partielles).
Soient f ∈ F (A, R) et (α, β) ∈ A. On dénit I1 (β) = {x ∈ R ; (x, β) ∈ A} et I2 (α) = {y ∈
R ; (α, y) ∈ A}. Les fonctions f1 : I1 (β) → R, t 7→ f (t, β) et f2 : I2 (α) → R, t 7→ f (α, t)
sont appellées applications partielles de f .
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Définition 4 (Limite et Continuité).
Soient A ⊂ R2 un ouvert, ` ∈ R, f ∈ F (A, R) et a ∈ A.
(i). On dit que f a pour
limite ` en a si
∀ ε > 0, ∃ η > 0 ; ∀ u ∈ A, [ku − ak < η ⇒ |f (u) − `| ≤ ε] .
(ii). Si f admet une limite en a, celle-ci est égale à f (a). On dit que f est
continue en a.
(iii). On dit que f est continue sur A si elle est continue en tout point de A. On notera
C (A, R) l'ensemble des fonctions continues sur A.
Exercice 2.
1. Montrer que les projections p1 : R2 → R, (x, y) 7→ x et p2 : R2 → R, (x, y) 7→ y sont
continues.
2. Montrer que si f est continues, ses applications partielles f1 et f2 le sont également.
3. Soit f la fonction dénie sur R2 par f (x, y) = x2xy
, f (0, 0) = 0. Montrer que f n'est pas
+y 2
continue en (0, 0) alors que ses applications partielles le sont.
Théorème 2 (Structure).
Soient f, g ∈ C (A, R) et λ ∈ R.
(i). λf + g ∈ C (A, R).
(ii). f g ∈ C (A, R).
(iii). Si g ne s'annule pas sur A, alors
f
g
est continue en A.
I.3 - Extension aux fonctions à valeurs dans R2
Définition 5 (Limite et Continuité).
Soit A un ouvert de R2 , f ∈ F (A, R2 ), a ∈ A et ` ∈ R2 .
(i). On dit que f admet pour
limite ` en a si
∀ ε > 0, ∃ η > 0 ; ∀ x ∈ A, [kx − ak < η ⇒ kf (x) − `k < ε] .
(ii). Si f admet une limite en a, celle-ci est égale à f (a). On dit que f est
continue en a.
Théorème 3.
Soit f = (f1 , f2 ) et ` = (`1 , `2 ). Alors lim f = ` si et seulement si lim f1 = `1 et lim f2 = `2 .
a
a1
a2
Théorème 4 (Structure).
Soient f : A → Rp et g : B → Rn , où g(B) ⊂ A, B ⊂ Rq et p, q, n = 1 ou 2. La
fonction f ◦ g est bien dénie sur B . De plus, si g est continue en b et f est continue en g(b),
alors f ◦ g est continue en b.
L •ycée Sˆta’nˆiŒs„laŒš
157
A. C€a’m€a’n€eš
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II - Calcul diérentiel
II.1 - Dérivée directionnelle
Définition 6 (Dérivée directionnelle).
Soient a ∈ U et h ∈ R2 . Il existe un réel δ > 0 tel que pour tout t ∈] − δ, δ[, a + th ∈ U .
On pose alors ϕh : ] − δ, δ[→ R, t 7→ f (a + th). Si la fonction ϕh est dérivable en 0,
on dit que f admet une dérivée directionnelle suivant le vecteur h au point a et on note
(a)
∂h f (a) = ϕ0h (0) = lim f (a+th)−f
.
t
t→0
Notations. Généralement, la dérivée directionnelle au point a, selon le vecteur h est notée Dh f (a).
∂f
∗ Lorsque h = e1 , on note ∂e1 f (a) = ∂1 f (a) = ∂x
(a) = ∂f
∂x (a).
1
∂f
∂f
∗ Lorsque h = e2 , on note ∂e2 f (a) = ∂2 f (a) = ∂x2 (a) = ∂y (a).
Exercice 3.
1. Soient a, b, c trois réels et f : R2 → R, (x, y) 7→ ax + by + c. Déterminer les dérivées
directionnelles de f selon e1 et e2 .
4 y4
2. Soit f la fonction dénie sur R2 par f (x, y) = xx4 +y
4 , f (0, 0) = 0. Montrer que f est continue
en (0, 0) puis déterminer ses dérivées partielles selon tout vecteur h en (0, 0).
3. Soit f la fonction dénie sur R2 par f (x, y) = x2xy
, f (0, 0) = 0. Montrer que f n'est pas
+y 2
dérivable en (0, 0).
4. Montrer que la fonction k · k2 admet une dérivée partielle selon le vecteur h en tout point
(x, y) 6= (0, 0). Qu'en est-il en (0, 0) ?
II.2 - Fonctions de classe C 1 sur un ouvert de R2
Définition 7 (Fonctions de classe C 1 ).
Soit f une fonction dénie sur U . On dit que f est de classe C 1 sur U si ∂1 f et ∂2 f sont
dénies et continues sur U . On notera C 1 (U, R) l'ensemble des fonctions de classe C 1 sur U
à valeurs réelles.
Théorème 5 (Développement limité d’ordre 1).
Soit f une fonction de classe C 1 sur U et a = (a1 , a2 ) ∈ U . Alors, il existe une fonction ε
telle que lim ε = 0 et pour tout u = (x, y) ∈ U ,
a
f (u) = f (a) + (x − a1 )∂1 f (a) + (y − a2 )∂2 f (a) + ku − ak∞ ε(u).
On dit que f admet un développement limité à l'ordre 1 en a.
De plus, pour tout h = (h1 , h2 ) ∈ R2 , ∂h f (a) = h1 ∂1 f (a) + h2 ∂2 f (a). On a ainsi, dès que
a + h ∈ U,
f (a + h) = f (a) + ∂h f (a) + khk∞ ε(h).
Définition 8 (Différentielle).
Soient f une fonction de classe C 1 sur U et a ∈ U . L'application h 7→ ∂h f (a) est une
application linéaire en h. On l'appelle la diérentielle de f en a et on la note df (a).
Exercice 4. Déterminer la matrice de la diérentielle de f en a dans la base canonique.
Définition 9 (Gradient).
∂1 f (a)
1
Soit f ∈ C (U, R) et a ∈ U . On note ∇f (a) =
.
∂2 f (a)
Propriété 1.
Soit f ∈ C 1 (U, R) et a ∈ U . Alors, pour tout h ∈ R2 ,
L •ycée Sˆta’nˆiŒs„laŒš
∂h f (a) = df (a)(h)
158
= h∇f (a), hi
A. C€a’m€a’n€eš
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II.3 - Fonctions composées
Théorème 6 (Règle de la chaîne).
Soit f ∈ C 1 (U, R) et g = (g1 , g2 ) : I ⊂ R → U une fonction de classe C 1 . Alors, la
fonction f ◦ g est dérivable et pour tout t ∈ I
(f ◦ g)0 (t) = g10 (t)∂1 f (g(t)) + g20 (t)∂2 f (g(t)).
Corollaire 7.
Soit f ∈ C 1 (U, R). Pour tout a ∈ U , ∇f (a) désigne la direction de la plus grande pente
au point a.
II.4 - Extrema
Définition 10 (Extremum local).
Soit f ∈ C 1 (U, R) et a ∈ U .
(i). On dit que f présente un maximum local en a s'il existe un ouvert V ⊂ U contenant a
tel que pour tout x ∈ V , f (x) ≤ f (a).
(ii). On dit que f présente un minimum local en a s'il existe un ouvert V ⊂ U contenant a
tel que pour tout x ∈ V , f (x) ≥ f (a).
(iii). On dit que f présente un extremum local en a si f présente un maximum ou un minimum
local en a.
Théorème 8 (Recherche d’extrema).
Soient U un ouvert de R2 et f ∈ C 1 (U, R). Si f présente un extremum local en a, alors
0
.
∇f (a) =
0
Exercice 5.
1. En étudiant la fonction f : R2 → R, (x, y) 7→ x2 − y 2 , montrer que la réciproque du théorème
précédent est fausse.
2. Déterminer les dérivées directionnelles de f : R2 → R, (x, y) 7→ y(y − x2 ). Déterminer leurs
variations au voisinage de (0, 0) puis étudier la fonction f au voisinage de (0, 0).
3. Rechercher les extrema de la fonction f : D → R, (x, y) 7→ x2 + xy + y 2 , où D = {(x, y) ∈
R2 ; x2 + y 2 ≤ 1}.
II.5 - Dérivées secondes
Définition 11 (Dérivées secondes).
∂f
Soit f une fonction de classe C 1 sur U et a ∈ U . Si ∂x
admet une dérivée partielle en a
1
par rapport à la première variable, alors on dit que f admet une dérivée partielle seconde par
rapport à x1 puis x1 . On la note
∂2f
(a)
∂x22
=
∂f
∂ ∂x
2
∂x2
(a) et
∂2f
∂x2 ∂x1 (a)
∂2f
(a).
∂x21
∂f
∂ ∂x
=
1
∂x2
On dénit de manière analogue
∂2f
∂x1 ∂x2 (a)
=
∂f
∂ ∂x
2
∂x1
(a),
(a).
Si ces quatres dérivées partielles secondes sont dénies et continues sur U , alors
sont de classe C 1 sur U . On dit que f est de classe C 2 sur U .
∂f
∂x1
et
∂f
∂x2
Théorème 9 (Théorème de Schwarz).
Soit U un ouvert de R2 et f une fonction de classe C 2 sur U . Alors,
L •ycée Sˆta’nˆiŒs„laŒš
159
∂2f
∂x1 ∂x2
=
∂2f
∂x2 ∂x1 .
A. C€a’m€a’n€eš
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Exercice 6. Calculer
xy 3
x2 +y 2
∂2f
∂x1 ∂x2
et
∂2f
∂x2 ∂x1
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en (0, 0) de la fonction f dénie sur R2 par f (x, y) =
, f (0, 0) = 0.
Exercice 7. (Équation des cordes vibrantes) Donner la forme des solutions de l'équation
q
∂2y
2
c ∂x2 , où c = Tµ0 ∈ R+ .
∂2y
∂t2
=
1
III - Une brève extension à R3 - Champs de vecteurs
Dans cette partie, U désigne un ouvert de R3 , muni d'un repère orthonormé direct
−
−
−
(O, →
e1 , →
e2 , →
e3 ).
III.1 - Dénitions
Définition 12 (Champ de vecteurs).
Soient P, Q, R trois fonctions de U dans R et V = (P, Q, R). On dit que V est un
de vecteurs .
∂P
Notations. On étend la notion de dérivée directionnelle que l'on notera ∂x
,
1
que V est de classe C 1 (resp. C 2 ) si P, Q et R sont de classe C 1 (resp. C 2 ).
∂P
∂x2
et
∂P
∂x3 .
champ
On dit
Remarque. Le théorème de Schwarz s'étend aux fonctions de R3 , avec les mêmes restrictions.
Définition 13 (Différentielle).
On appelle diérentielle de V en a, notée dV (a) l'application linéaire dénie de R3 dans
3
R dont la matrice dans la base canonique est


∂P
∂x1
 ∂Q
 ∂x1
∂R
∂x1
∂P
∂x2
∂Q
∂x2
∂R
∂x2
∂P
∂x3
∂Q 
∂x3 
∂R
∂x3
Théorème 10 (Développement limité d’ordre 1).
Soit V un champ de vecteurs de classe C 1 sur U . Alors,
V (a + h) = V (a) + dV (a)(h) + khk∞ ε(h),
où lim ε(h) = (0, 0, 0).
(0,0,0)
Définition 14 (Jacobien, Divergence, Trace).
Jacobien de V au point a la quantité Jaca (V ) = det(dV (a)).
(ii). On appelle divergence de V au point a la quantité diva (V ) = Tr(dV (a)) =
(i). On appelle
∂Q
∂x2 (a)
+
∂R
∂x3 (a).

(iii). On appelle
L •ycée Sˆta’nˆiŒs„laŒš
rotationnel de V au point a le vecteur rota (V ) =
160
∂R
2
 ∂x
∂P
 ∂x3
∂Q
∂x1
−
−
−
∂P
∂x1 (a)
+

∂Q
∂x3
∂R 
∂x1 .
∂P
∂x2
A. C€a’m€a’n€eš
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Définition 15 (Gradient, Laplacien).
 ∂f 
(i). Soit f ∈ C 1 (U, R). On appelle
∂x1
∂f 
gradient de f le vecteur ∇f = 
 ∂x2 .
(ii). Soit f ∈ C 2 (U, R). On appelle laplacien de f la quantité ∆f =
Propriétés 2.
Soient f, g : U → R et V : U → R3 des fonctions de classe C 1 .
∂f
∂x3
∂2f
∂x21
+
∂2f
∂x22
+
∂2f
.
∂x23
(i). ∇(f · g) = f · ∇g + g · ∇f .
(ii). div(f · V ) = h∇f, ·V i + f · divV .
(iii). rot(f · V ) = f · rot V + ∇f ∧ V .
(iv). Si f et g sont de classe C 2 , ∆(f g) = f ∆g + g∆f + 2h∇f, ∇gi.
Exercice 8. Soient f une fonction et V un champ de vecteurs de classe C 2 . Calculer rot(∇f )
puis div(rot(V )).
Définition 16 (Potentiel scalaire).
Soit U ⊂ R3 un ouvert et V : U → R3 un champ de vecteurs. On dit que V dérive d'un
potentiel scalaire s'il existe une fonction f ∈ C 1 (U, R) telle que V = ∇f .
Exercice 9. Soit V un champ de vecteur de classe C 1 dérivant d'un potentiel scalaire. Calculer
rot V .
Définition 17 (Ouvert étoilé).
On dit que U est un ouvert étoilé s'il existe un point Ω ∈ U tel que pour tout point
M ∈ U , le segment [ΩM ] est inclus dans U .
Théorème 11 (Caractérisation des potentiels scalaires).
Si U est un ouvert étoilé, tout champ de vecteurs de classe C 1 à rotationnel nul dérive
d'un potentiel scalaire.
L •ycée Sˆta’nˆiŒs„laŒš
161
A. C€a’m€a’n€eš