Chapitre 29 Fonctions de deux variables réelles

(e1, e2)R2A
R2UR2R2R3h·,·i
Définition 1 (Norme)
R2N
(i)N:R2→R+
(ii)Séparation. ∀x∈R2,[N(x) = 0 ⇒x= 0]
(iii)Homogénéité. ∀(λ, x)∈R×R2, N(λx) = |λ| · N(x)
(iv)Inégalité triangulaire. ∀(x, y)∈R2, N(x+y)≤N(x) + N(y)
Théorème 1 (Exemples)
k · k∞:R2→R+,(x1, x2)7→ sup{|x1|,|x2|} k · k2:R2→R+,(x1, x2)7→
px2
1+x2 2
(i)k·k∞k·k2R2
(ii)a, b x ∈R2
akxk∞≤ kxk2≤bkxk∞.
Remarque. k·k 2
Définition 2 (Partie bornée, Boule)
a∈R2, r > 0A⊂R2
(i)A M
x∈Akxk ≤ M
(ii)a r B(a, r) = {x∈R2;kx−
ak< r}
(iii)AR2A=∅x∈A
ε > 0B(x, ε)⊂A
Exercice 1. k·k∞,k·k1,k·k2
R2
F(A, R)R
Définition 3 (Applications partielles)
f∈F(A, R) (α, β)∈A I1(β) = {x∈R; (x, β)∈A}I2(α) = {y∈
R; (α, y)∈A}f1:I1(β)→R, t 7→ f(t, β)f2:I2(α)→R, t 7→ f(α, t)
f

Définition 4 (Limite et Continuité)
A⊂R2`∈Rf∈F(A, R)a∈A
(i)f ` a
∀ε > 0,∃η > 0 ; ∀u∈A, [ku−ak< η ⇒ |f(u)−`| ≤ ε].
(ii)f a f(a)f a
(iii)f A A
C(A, R)A
Exercice 2.
1. p1:R2→R,(x, y)7→ x p2:R2→R,(x, y)7→ y
2. f f1f2
3. fR2f(x, y) = xy
x2+y2, f(0,0) = 0 f
(0,0)
Théorème 2 (Structure)
f, g ∈C(A, R)λ∈R
(i)λf +g∈C(A, R)
(ii)fg ∈C(A, R)
(iii)g A f
gA
R2
Définition 5 (Limite et Continuité)
AR2f∈F(A, R2), a ∈A ` ∈R2
(i)f ` a
∀ε > 0,∃η > 0 ; ∀x∈A, [kx−ak< η ⇒ kf(x)−`k< ε].
(ii)f a f(a)f a
Théorème 3
f= (f1, f2)`= (`1, `2) lim
af=`lim a1
f1=`1lim
a2
f2=`2
Théorème 4 (Structure)
f:A→Rpg:B→Rng(B)⊂A, B ⊂Rqp, q, n = 1 2
f◦g B g b f g(b)
f◦g b

Définition 6 (Dérivée directionnelle)
a∈U h ∈R2δ > 0t∈]−δ, δ[a+th ∈U
ϕh: ] −δ, δ[→R, t 7→ f(a+th)ϕh0
f h a
∂hf(a) = ϕ0
h(0) = lim
t→0
f(a+th)−f(a)
t
Notations. a h Dhf(a)
∗h=e1∂e1f(a) = ∂1f(a) = ∂f
∂x1(a) = ∂f ∂x (a)
∗h=e2∂e2f(a) = ∂2f(a) = ∂f
∂x2(a) = ∂f ∂y (a)
Exercice 3.
1. a, b, c f :R2→R,(x, y)7→ ax +by +c
f e1e2
2. fR2f(x, y) = x4y4
x4+y4, f(0,0) = 0 f
(0,0) h(0,0)
3. fR2f(x, y) = xy
x2+y2, f(0,0) = 0 f
(0,0)
4. k·k2h
(x, y)6= (0,0) (0,0)
C1R2
Définition 7 (Fonctions de classe C1)
f U f C1U ∂1f ∂2f
UC1(U, R)C1U
Théorème 5 (Développement limité d’ordre 1)
fC1U a = (a1, a2)∈U ε
lim
aε= 0 u= (x, y)∈U
f(u) = f(a)+(x−a1)∂1f(a)+(y−a2)∂2f(a) + ku−ak∞ε(u).
f1a
h= (h1, h2)∈R2∂hf(a) = h1∂1f(a) + h2∂2f(a)
a+h∈U
f(a+h) = f(a) + ∂hf(a) + khk∞ε(h).
Définition 8 (Différentielle)
fC1U a ∈U h 7→ ∂hf(a)
h f a df(a)
Exercice 4. f a
Définition 9 (Gradient)
f∈C1(U, R)a∈U∇f(a) = ∂1f(a)
∂2f(a)
Propriété 1
f∈C1(U, R)a∈U h ∈R2
∂hf(a) = df(a)(h)
=h∇f(a), hi

Théorème 6 (Règle de la chaîne)
f∈C1(U, R)g= (g1, g2) : I⊂R→UC1
f◦g t ∈I
(f◦g)0(t) = g0
1(t)∂1f(g(t)) + g0 2(t)∂2f(g(t)).
Corollaire 7
f∈C1(U, R)a∈U∇f(a)
a
Définition 10 (Extremum local)
f∈C1(U, R)a∈U
(i)f a V ⊂U a
x∈V f(x)≤f(a)
(ii)f a V ⊂U a
x∈V f(x)≥f(a)
(iii)f a f
a
Théorème 8 (Recherche d’extrema)
UR2f∈C1(U, R)f a
∇f(a) = 0
0.
Exercice 5.
1. f:R2→R,(x, y)7→ x2−y2
2. f:R2→R,(x, y)7→ y(y−x2)
(0,0) f(0,0)
3. f:D→R,(x, y)7→ x2+xy +y2D={(x, y)∈
R2;x2+y2≤1}
Définition 11 (Dérivées secondes)
fC1U a ∈U∂f
∂x1a
f
x1x1∂2f
∂x2
1(a)∂2f
∂x1∂x2(a) = ∂∂f
∂x2
∂x1(a)
∂2f
∂x2
2(a) = ∂∂f
∂x2
∂x2(a)∂2f ∂x2∂x1(a) = ∂∂f
∂x1
∂x2(a)
U∂f
∂x1
∂f
∂x2
C1U f C2U
Théorème 9 (Théorème de Schwarz)
UR2fC2U∂2f
∂x1∂x2=∂2f ∂x2∂x1

Exercice 6. ∂2f
∂x1∂x2
∂2f
∂x2∂x1(0,0) fR2f(x, y) =
xy3
x2+y2, f(0,0) = 0
Exercice 7. (Équation des cordes vibrantes) ∂2y
∂t2=
c2∂2y
∂x2
1c=qT0
µ∈R+
R3
UR3
(O, −→ e1,−→ e2,−→ e3)
Définition 12 (Champ de vecteurs)
P, Q, R U RV= (P, Q, R)V
Notations. ∂P
∂x1,∂P ∂x2
∂P
∂x3
VC1C2P, Q R C1C2
Remarque. R3
Définition 13 (Différentielle)
V a dV (a)R3
R3
∂P
∂x1
∂P
∂x2
∂P
∂x3
∂Q
∂x1
∂Q
∂x2
∂Q
∂x3
∂R
∂x1
∂R
∂x2
∂R
∂x3
Théorème 10 (Développement limité d’ordre 1)
VC1U
V(a+h) = V(a) + dV (a)(h) + khk∞ε(h),
lim
(0,0,0) ε(h) = (0,0,0)
Définition 14 (Jacobien, Divergence, Trace)
(i)V a Jaca(V) = det(dV (a))
(ii)V a a(V) = Tr(dV (a)) = ∂P
∂x1(a) +
∂Q
∂x2(a) + ∂R ∂x3(a)
(iii)V a rota(V) = 
∂R
∂x2−∂Q ∂x3
∂P
∂x3−∂R ∂x1
∂Q
∂x1−∂P ∂x2