Fonctions de deux variables

Chapitre 27
Fonctions de deux variables
Objectifs
– Rappeler la notion de norme, définir les parties bornées et les parties ouvertes de R2.
– Notion de limite et de continuité pour les fonctions de deux variables.
– Notions de dérivées partielles, de fonctions de classe C1.
– Notion d’intégration, passage en coordonnées polaires, formule de Green-Riemann.
Sommaire
I) Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2) Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3) Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4) Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II) Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1) Dérivées partielles premières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2) Dérivée suivant un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3) Fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4) Dérivées partielles d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
III) Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1) Intégration sur un pavé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2) Intégration sur un fermé borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3) Passage en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4) Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I) Fonctions continues
1) Définitions
On rappelle que R2 est un R -espace vectoriel
1
muni du produit scalaire canonique : si u = ( x,y )
et v = ( x0,y0 )alors ( u|v ) = x x0 + y y0 , et de la norme euclidienne : kuk =
px2+y2
, celle-ci ayant les
propriétés suivantes :
–∀u= (x,y)∈R2,kuk¾0.
–∀u∈R2,kuk=0⇐⇒ u=0.
–∀u∈R2,λ∈R,kλuk=|λ|.kuk.
–∀u,v∈R2,ku+vk¶kuk+kvk(inégalité triangulaire).
On définit alors les notions suivantes :
– Distance euclidienne : la distance de u∈R2 à v∈R2 est la norme de la différence : d ( u,v ) = ku−vk .
1. C’est aussi un espace affine
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Fonctions continues Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
–Partie bornée : une partie Ade R2est dite bornée lorsqu’il existe un réel Mtel que :
∀x∈A,kxk¶M.
– Boule ouverte : soit u∈R2 et r> 0, la boule ouverte de centre u et de rayon r est l’ensemble
B(u,r) = {v∈R2/ku−vk<r}. De même on peut définir les boules fermées et les sphères.
Remarque: Si u= (x,y)alors le pavé ouvert : ]x−r
p2;x+r p2[×]y−r p2;y+r p2[est inclus dans B(u,r).
– Partie ouverte : une partie A de R2 est dite ouverte lorsque A est une réunion (quelconque) de boules
ouvertes, ou encore : ∀u∈A,∃r> 0 ,B ( u,r ) ⊂A . Par convention, l’ensemble vide est considéré
comme une partie ouverte.
Exemples:
–R2est une partie ouverte de R2.
– Une boule ouverte est une partie ouverte de R2.
– Un demi-plan ouvert (i.e. bord exclu) est une partie ouverte.
– Une réunion quelconque de parties ouvertes est une partie
ouverte.
– Une intersection finie de parties ouvertes est une partie
ouverte.
– Une boule fermée n’est pas une partie ouverte de R2.
A
ur
DÉFINITION 27.1 (applications partielles)
Soit A une partie de R2 , soit f : A→R une fonction, et soit a = ( x0,y0 ) ∈A . La première application
partielle de f en a est la fonction f1,a : t7→ f ( t,y0 )(on fixe la deuxième variable à y0 ), et la
deuxième application partielle de f en a est la fonction f2,a : t7→ f ( x0,t )(on fixe la première
variable à x0).
Exemple : Soit f ( x,y ) =
x2+y
x2+y2+1
, la première application partielle de f en a = (0 , 0)est f1,a ( t ) =
t2
1+t2
, et la deuxième
application partielle de fen aest f2,a(t) = t
1+t2.
Remarque: Les applications partielles permettent de se ramener aux fonctions d’une variable réelle.
2) Limite
DÉFINITION 27.2 (point adhérent)
Soit A une partie non vide de R2 et a∈R2 , on dit que a est adhérent à A lorsque toute boule
ouverte de centre arencontre A:∀r>0, B(a,r)∩A6=;.
DÉFINITION 27.3
Soit f : A→R une fonction, et soit a∈R2 un point adhérent à A , soit `∈R , on dit que f admet
pour limite `en alorsque : ∀" > 0,∃α > 0,∀u∈A,ku−ak< α =⇒ |f(u)−`)|< ".
Notation : lim
af=`
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Fonctions continues Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
Remarques:
– Pour que A∩B(a,α)ne soit jamais vide, il est nécessaire que asoit adhérent à A.
– On peut remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges, cela ne change pas le sens de la définition.
– lim
af=`⇐⇒ lim a|f−`|=0.
Exemple : Les fonctions coordonnées, soit c1 : R2→R définie par c1 ( x,y ) = x et c2 : R2→R définie par c2 ( x,y ) = y .
Soit a= (x0,y0)∈R2, on a : lim
ac1=x0=c1(a)et lim ac2=y0=c2(a).
Propriétés : on retrouve les propriétés usuelles, à savoir :
– Si la limite existe alors elle est unique.
– Si fa une limite finie en a, alors fest bornée au voisinage de a.
– Si lim
af=`et lim ag=`0, alors :
– lim
a(f+g) = `+`0.
– lim
af×g=`×`0.
–∀λ∈R,lim
aλf=λ`.
– Si `06=0, alors lim
a
f
g=` `0.
– Soit f : A→R avec lim
af
= b , et g : J→R avec Im ( f ) ⊂J et lim
bg
= ` , alors lim
ag◦f
= `
(composition des limites).
La limite (lorsqu’elle existe) ne dépend pas du « chemin » suivi.
Exemples:
– La fonction f ( x,y ) =
x2+y2
x2−y2
est définie continue sur { ( x,y ) ∈R2/|x| 6 = |y|} . Si on fait tendre ( x,y )vers (0 , 0)
suivant la direction u = (1 ,a )[i.e. y = ax ]avec |a| 6 =1, alors on trouve f ( x,y ) =
1+a2
1−a2−→
(x,y)→(0,0)
1+a2
1−a2
, on en
déduit que fn’a pas de limite en (0,0).
– La fonction f(x,y) = x2y
x2+y2a pour limite 0 en (0,0), car |f(x,y)|¶|y|.
3) Continuité
Soit A⊂R2 , l’ensemble des fonctions de A vers R est noté F ( A,R ), il est facile de voir que pour les
opérations usuelles sur les fonctions, c’est une R-algèbre.
DÉFINITION 27.4 (continuité)
Soit f : A→R et soit a∈A , on dit que f est continue en a lorsque lim
af
= f ( a ). Si f est continue
en tout point de A , on dit que f est continue sur A , l’ensemble des fonctions continues sur A est noté
C0(A,R).
Propriétés : théorèmes généraux
–C0(A,R)est une R-algèbre.
– Si f, g:A→Rsont continues sur Aet si gne s’annule pas, alors f
gest continue sur A.
– Si f : A→R est continue sur A , et si g : J→R est continue sur J avec Im ( f ) ⊂J , alors g◦f est
continue sur A.
Il en découle en particulier que toute fonction polynomiale ou rationnelle en x et y , est continue sur
son ensemble de définition.
THÉORÈME 27.1
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Soit f:R2→Rune fonction continue, et soit λ∈R, alors l’ensemble :
O=¦(x,y)∈R2/f(x,y)> λ©
est un ouvert.
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Calcul différentiel Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
Preuve : Soit a∈ O , f est continue en a et f ( a ) > λ , en prenant " = f ( a ) −λ > 0, il existe r> 0 tel que
u∈B(a,r) =⇒ |f(u)−f(a)|< ", ce qui entraîne f(u)> λ, donc B(a,r)⊂ O, ce qui prouve que Oest un ouvert. 
THÉORÈME 27.2
Ð
Ð
Ð
Si f est continue en a = ( x0,y0 ) ∈A , alors la première application partielle de f en a est continue
en x0, et la deuxième est continue en y0. Mais la réciproque est fausse.
Preuve : Soit " > 0, il existe r> 0 tel que ∀u∈A,ku−ak<r = ⇒ |f ( u ) −f ( a ) |< " . Soit t∈R , si |t−x0|<r , alors
k ( t,y0 ) −ak = |t−x0|<r , donc |f ( t,y0 ) −f ( a ) |< " , c’est à dire |f1,a ( t ) −f1,a ( x0 ) |< " , ce qui prouve que f1,a est
continue en x0. Le raisonnement est similaire pour f2,a.
Donnons un contre-exemple pour la réciproque : f ( x,y ) =
¨x y
x2+y2si (x,y)6= (0,0)
0 si (x,y) = (0,0)
, en considérant les
directions u = (1 , 1)et v = (1 ,− 1), on voit que la fonction f n’a pas de limite en (0 , 0), donc f n’est pas continue en
(0,0), par contre les deux applications partielles de fen (0, 0)sont continues en 0 car elles sont nulles. 
4) Extension
Soit A un partie de R2 et f : A→R2 , alors pour tout couple ( x,y )de A , f ( x,y )est un couple de réels
dont les deux composantes sont fonctions de x et y , par conséquent il existe deux fonctions : f1,f2 : A→R
telles que :
∀(x,y)∈A,f(x,y) = ( f1(x,y),f2(x,y)).
Par définition, les fonctions f1et f2sont les fonctions composantes de f.
DÉFINITION 27.5
– Une telle fonction f est dite continue en a∈A lorsque les fonctions composantes sont continues
en a.
– Soit ` = ( `1,`2 ) ∈R2 et soit a∈R2 adhérent à A , on dit que f admet pour limite ` en a lorsque
fonctions composantes admettent pour limite respectivement `1et `2en a.
Remarques:
– Cela s’applique aussi aux fonctions à valeurs complexes.
– Cette définition se généralise aux fonctions à valeurs dans Rn.
THÉORÈME 27.3
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Soit f:A→R2,a∈R2adhérent à A, et `= (`1,`2)alors lim
af=`ssi :
∀" > 0,∃α > 0,∀u∈A,ku−ak< α =⇒ kf(u)−`k< ".
Preuve: maxn|f1(u)−f1(a)|,|f2(u)−f2(a)|o¶kf(u)−f(a)k=p|f1(u)−f1(a)|2+|f2(u)−f2(a)|2.
Remarque: On en déduit que fest continue en a∈Assi lim
af=f(a).
Il est facile de vérifier que C0 ( A,R2 )est un R -espace vectoriel pour les opérations usuelles [c’est même
une C -algèbre si on remplace R2 par C ], et que la composée de deux fonctions continues est continue .
II) Calcul différentiel
1) Dérivées partielles premières
Soit U un ouvert de R2 et soit a = ( x0,y0 ) ∈U , il existe " > 0 tel que B ( a,p2" ) ⊂A , par conséquent le
pavé ouvert ] x0−" ; x0 + " [ × ] y0−" ; y0 + " [est inclus dans U , donc la première application partielle de f
en aest définie au moins sur l’intervalle ]x0−";x0+"[, et la deuxième sur ]y0−";y0+"[.
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Calcul différentiel Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
DÉFINITION 27.6
Si la première (respectivement la deuxième) application partielle de f en a est dérivable en x0
(respectivement y0 ), on dit que f admet une dérivée partielle par rapport à x (respectivement par
rapport à y ) en a , on la note :
∂f
∂x
( a )(respectivement
∂f
∂y
( a )). Si f admet une dérivée partielle par
rapport à x en tout point de U , alors on définit la fonction :
∂f
∂x:U→R
(x,y)7→ ∂f
∂x(x,y)
, (même
chose par rapport à y).
Les applications partielles sont des fonctions de R dans R , on peut donc utiliser les théorèmes généraux
pour étudier leur dérivabilité, et les règles de dérivation usuelles pour les calculs.
Exemple
: Soit f ( x,y ) =
x2+y
x2+y2+1
et soit a = ( x,y ), on a f1,a ( t ) =
t2+y
t2+y2+1
qui est dérivable sur R d’où
∂f
∂x
( a ) =
2x
(x2+y2+1)2; d’autre part f2,a(t) = x2+t x2+t2+1qui est dérivable sur R, d’où ∂f ∂y(a) = x2(1−2y)−y2+1 (x2+y2+1)2.
THÉORÈME 27.4 (première application)
Ð
Ð
Ð
Ð
Si f : U→R admet un extremum local en a = ( x0,y0 ) ∈U , et si f admet ses deux dérivées
partielles en a, alors ∂f
∂x(a) = 0et ∂f ∂y(a) = 0, mais la réciproque est fausse.
Preuve : Supposons que a soit un maximum local, il existe donc r> 0 tel que B ( a,r ) ⊂U et ∀u∈B ( a,r ) ,f ( u ) ¶f ( a ),
par conséquent ∀t∈ ] x0−r ; x0 + r [ ,f ( t,y0 ) ¶f ( a ), c’est à dire f1,a ( t ) ¶f1,a ( x0 ), or la fonction f1,a ( t )est dérivable
en x0 et x0 est à l’intérieur de l’intervalle ] x0−r ; x0 + r [, d’où f0
1,a
( x0 ) = 0, c’est à dire
∂f
∂x
( a ) = 0, le raisonnement
est le même pour la deuxième variable. 
x
−2
−1
0
1y
−1
0
1
2
z
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
z=x2+3y2+2x−4y
minimum en M(−1, 2
3,−7 3)
x
−2
−1
0
1
2y
−2
−1
0
1
2
z
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
z=x2−y2,
pas d’extrêmum en (0,0)(point col)
Exemples:
– Soit f ( x,y ) = x2 +3 y2 +2 x− 4 y , f admet ses deux dérivées partielles sur R2 , qui sont
∂f
∂x
( x,y ) = 2 x +2 et
∂f
∂y
( x,y ) = 6 y− 4, ces deux fonctions s’annulent pour x = − 1 et y =2 / 3, donc le seul point où il peut y avoir
un extremum est a = ( − 1 , 2 / 3). On a f ( x,y ) = ( x +1)
2
+3( y− 2 / 3)
2−
7 / 3, or f ( − 1 , 2 / 3) = − 7 / 3, on voit
donc que f(x,y)¾f(a),fprésente donc un minimum global en a.
– Soit f ( x,y ) = x2−y2 , f admet ses deux dérivées partielles sur R2 et
∂f
∂x
( x,y ) = 2 x et
∂f
∂y
( x,y ) = − 2 y , donc
le seul point où f peut présenter un extremum est a = (0 , 0), on a f ( a ) = 0, or si t> 0, on a f ( t, 0) = t2> 0
et f (0 ,t ) = −t2< 0, donc f ne présente pas d’extremum en a (ce qui fournit un contre-exemple pour la
réciproque du théorème).
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