Fonctions de deux variables

Chapitre 27
Fonctions de deux variables
Objectifs
–
–
–
–
Rappeler la notion de norme, définir les parties bornées et les parties ouvertes de R2 .
Notion de limite et de continuité pour les fonctions de deux variables.
Notions de dérivées partielles, de fonctions de classe C 1 .
Notion d’intégration, passage en coordonnées polaires, formule de Green-Riemann.
Sommaire
I)
Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4)
Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II) Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Dérivées partielles premières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Dérivée suivant un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4)
Dérivées partielles d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III) Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Intégration sur un pavé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Intégration sur un fermé borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Passage en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4)
Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I)
Fonctions continues
1)
Définitions
.
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1
1
2
3
4
4
4
6
6
9
10
10
. 11
. 11
. 11
12
On rappelle que R2 est un R-espace vectoriel 1 muni du produit scalaire
p canonique : si u = (x, y)
0
0
0
0
et v = (x , y ) alors (u|v) = x x + y y , et de la norme euclidienne : kuk = x 2 + y 2 , celle-ci ayant les
propriétés suivantes :
– ∀ u = (x, y) ∈ R2 , kuk ¾ 0.
– ∀ u ∈ R2 , kuk = 0 ⇐⇒ u = 0.
– ∀ u ∈ R2 , λ ∈ R, kλuk = |λ|.kuk.
– ∀ u, v ∈ R2 , ku + vk ¶ kuk + kvk (inégalité triangulaire).
On définit alors les notions suivantes :
– Distance euclidienne : la distance de u ∈ R2 à v ∈ R2 est la norme de la différence : d(u, v) = ku − vk.
1. C’est aussi un espace affine
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1
Fonctions continues
Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
– Partie bornée : une partie A de R2 est dite bornée lorsqu’il existe un réel M tel que :
∀x ∈ A, kxk ¶ M .
– Boule ouverte : soit u ∈ R2 et r > 0, la boule ouverte de centre u et de rayon r est l’ensemble
B(u, r) = {v ∈ R2 / ku − vk < r}. De même on peut définir les boules fermées et les sphères.
Remarque: Si u = (x, y) alors le pavé ouvert : ]x −
pr ;
2
x+
pr [×] y
2
−
pr ;
2
y+
pr [
2
est inclus dans B(u, r).
2
– Partie ouverte : une partie A de R est dite ouverte lorsque A est une réunion (quelconque) de boules
ouvertes, ou encore : ∀u ∈ A, ∃r > 0, B(u, r) ⊂ A. Par convention, l’ensemble vide est considéré
comme une partie ouverte.
Exemples:
– R2 est une partie ouverte de R2 .
– Une boule ouverte est une partie ouverte de R2 .
– Un demi-plan ouvert (i.e. bord exclu) est une partie ouverte.
– Une réunion quelconque de parties ouvertes est une partie
ouverte.
– Une intersection finie de parties ouvertes est une partie
ouverte.
– Une boule fermée n’est pas une partie ouverte de R2 .
A
u
r
DÉFINITION 27.1 (applications partielles)
Soit A une partie de R2 , soit f : A → R une fonction, et soit a = (x 0 , y0 ) ∈ A. La première application
partielle de f en a est la fonction f1,a : t 7→ f (t, y0 ) (on fixe la deuxième variable à y0 ), et la
deuxième application partielle de f en a est la fonction f2,a : t 7→ f (x 0 , t) (on fixe la première
variable à x 0 ).
Exemple: Soit f (x, y) =
x2+ y
,
x 2 + y 2 +1
la première application partielle de f en a = (0, 0) est f1,a (t) =
application partielle de f en a est f2,a (t) =
t2
,
1+t 2
et la deuxième
t
.
1+t 2
Remarque: Les applications partielles permettent de se ramener aux fonctions d’une variable réelle.
2)
Limite
DÉFINITION 27.2 (point adhérent)
Soit A une partie non vide de R2 et a ∈ R2 , on dit que a est adhérent à A lorsque toute boule
ouverte de centre a rencontre A : ∀r > 0, B(a, r) ∩ A 6= ;.
DÉFINITION 27.3
Soit f : A → R une fonction, et soit a ∈ R2 un point adhérent à A, soit ` ∈ R, on dit que f admet
pour limite ` en a lorsque : ∀ " > 0, ∃ α > 0, ∀ u ∈ A, ku − ak < α =⇒ | f (u) − `)| < ".
Notation : lim f = `
a
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2
Fonctions continues
Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
Remarques:
– Pour que A ∩ B(a, α) ne soit jamais vide, il est nécessaire que a soit adhérent à A.
– On peut remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges, cela ne change pas le sens de la définition.
– lim f = ` ⇐⇒ lim | f − `| = 0.
a
a
Exemple: Les fonctions coordonnées, soit c1 : R2 → R définie par c1 (x, y) = x et c2 : R2 → R définie par c2 (x, y) = y.
Soit a = (x 0 , y0 ) ∈ R2 , on a : lim c1 = x 0 = c1 (a) et lim c2 = y0 = c2 (a).
a
a
Propriétés : on retrouve les propriétés usuelles, à savoir :
– Si la limite existe alors elle est unique.
– Si f a une limite finie en a, alors f est bornée au voisinage de a.
– Si lim f = ` et lim g = `0 , alors :
a
a
– lim( f + g) = ` + `0 .
a
– lim f × g = ` × `0 .
a
– ∀ λ ∈ R, lim λ f = λ`.
a
– Si `0 6= 0, alors lim
a
f
g
`
.
`0
=
– Soit f : A → R avec lim f = b, et g : J → R avec Im( f ) ⊂ J et lim g = `, alors lim g ◦ f = `
a
b
a
(composition des limites).
La limite (lorsqu’elle existe) ne dépend pas du « chemin » suivi.
Exemples:
– La fonction f (x, y) =
x2+ y2
x2− y2
est définie continue sur {(x, y) ∈ R2 / |x| 6= | y|}. Si on fait tendre (x, y) vers (0, 0)
suivant la direction u = (1, a) [i.e. y = a x] avec |a| 6= 1, alors on trouve f (x, y) =
déduit que f n’a pas de limite en (0, 0).
x2 y
– La fonction f (x, y) = x 2 + y 2 a pour limite 0 en (0, 0), car | f (x, y)| ¶ | y|.
3)
2
1+a2
−→ 1+a ,
1−a2 (x, y)→(0,0) 1−a2
on en
Continuité
Soit A ⊂ R2 , l’ensemble des fonctions de A vers R est noté F (A, R), il est facile de voir que pour les
opérations usuelles sur les fonctions, c’est une R-algèbre.
DÉFINITION 27.4 (continuité)
Soit f : A → R et soit a ∈ A, on dit que f est continue en a lorsque lim f = f (a). Si f est continue
a
en tout point de A, on dit que f est continue sur A, l’ensemble des fonctions continues sur A est noté
C 0 (A, R).
Propriétés : théorèmes généraux
– C 0 (A, R) est une R-algèbre.
f
– Si f, g : A → R sont continues sur A et si g ne s’annule pas, alors g est continue sur A.
– Si f : A → R est continue sur A, et si g : J → R est continue sur J avec Im( f ) ⊂ J, alors g ◦ f est
continue sur A.
Il en découle en particulier que toute fonction polynomiale ou rationnelle en x et y, est continue sur
son ensemble de définition.
THÉORÈME 27.1
Ð
Ð Soit f : R2 → R une fonction continue, et soit λ ∈ R, alors l’ensemble :
Ð
Ð
¦
©
Ð
O = (x, y) ∈ R2 / f (x, y) > λ
Ð
Ð
Ð
est un ouvert.
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3
Calcul différentiel
Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
Preuve: Soit a ∈ O , f est continue en a et f (a) > λ, en prenant " = f (a) − λ > 0, il existe r > 0 tel que
u ∈ B(a, r) =⇒ | f (u) − f (a)| < ", ce qui entraîne f (u) > λ, donc B(a, r) ⊂ O , ce qui prouve que O est un ouvert. ƒ
THÉORÈME 27.2
Ð
Ð Si f est continue en a = (x 0 , y0 ) ∈ A, alors la première application partielle de f en a est continue
Ð
en x 0 , et la deuxième est continue en y0 . Mais la réciproque est fausse.
Preuve: Soit " > 0, il existe r > 0 tel que ∀ u ∈ A, ku − ak < r =⇒ | f (u) − f (a)| < ". Soit t ∈ R, si |t − x 0 | < r, alors
k(t, y0 ) − ak = |t − x 0 | < r, donc | f (t, y0 ) − f (a)| < ", c’est à dire | f1,a (t) − f1,a (x 0 )| < ", ce qui prouve que f1,a est
continue en x 0 . Le raisonnement est similaire pour f2,a .
¨ xy
si (x, y) 6= (0, 0)
x2+ y2
Donnons un contre-exemple pour la réciproque : f (x, y) =
, en considérant les
0 si (x, y) = (0, 0)
directions u = (1, 1) et v = (1, −1), on voit que la fonction f n’a pas de limite en (0, 0), donc f n’est pas continue en
(0, 0), par contre les deux applications partielles de f en (0, 0) sont continues en 0 car elles sont nulles.
ƒ
4)
Extension
Soit A un partie de R2 et f : A → R2 , alors pour tout couple (x, y) de A, f (x, y) est un couple de réels
dont les deux composantes sont fonctions de x et y, par conséquent il existe deux fonctions : f1 , f2 : A → R
telles que :
∀(x, y) ∈ A, f (x, y) = ( f1 (x, y), f2 (x, y)).
Par définition, les fonctions f1 et f2 sont les fonctions composantes de f .
DÉFINITION 27.5
– Une telle fonction f est dite continue en a ∈ A lorsque les fonctions composantes sont continues
en a.
– Soit ` = (`1 , `2 ) ∈ R2 et soit a ∈ R2 adhérent à A, on dit que f admet pour limite ` en a lorsque
fonctions composantes admettent pour limite respectivement `1 et `2 en a.
Remarques:
– Cela s’applique aussi aux fonctions à valeurs complexes.
– Cette définition se généralise aux fonctions à valeurs dans Rn .
THÉORÈME 27.3
Ð
Ð Soit f : A → R2 , a ∈ R2 adhérent à A, et ` = (`1 , `2 ) alors lim f = ` ssi :
a
Ð
Ð
Ð
∀" > 0, ∃α > 0, ∀u ∈ A, ku − ak < α =⇒ k f (u) − `k < ".
Ð
Ð
Ð
n
o
p
Preuve: max | f1 (u) − f1 (a)|, | f2 (u) − f2 (a)| ¶ k f (u) − f (a)k = | f1 (u) − f1 (a)|2 + | f2 (u) − f2 (a)|2 .
ƒ
Remarque: On en déduit que f est continue en a ∈ A ssi lim f = f (a).
a
Il est facile de vérifier que C (A, R ) est un R-espace vectoriel pour les opérations usuelles [c’est même
une C-algèbre si on remplace R2 par C], et que la composée de deux fonctions continues est continue.
0
II)
1)
2
Calcul différentiel
Dérivées partielles premières
p
Soit U un ouvert de R2 et soit a = (x 0 , y0 ) ∈ U, il existe " > 0 tel que B(a, 2") ⊂ A, par conséquent le
pavé ouvert ]x 0 − "; x 0 + "[×] y0 − "; y0 + "[ est inclus dans U, donc la première application partielle de f
en a est définie au moins sur l’intervalle ]x 0 − "; x 0 + "[, et la deuxième sur ] y0 − "; y0 + "[.
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Calcul différentiel
Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
DÉFINITION 27.6
Si la première (respectivement la deuxième) application partielle de f en a est dérivable en x 0
(respectivement y0 ), on dit que f admet une dérivée partielle par rapport à x (respectivement par
∂f
∂f
rapport à y) en a, on la note : ∂ x (a) (respectivement ∂ y (a)). Si f admet une dérivée partielle par
∂f
∂x
rapport à x en tout point de U, alors on définit la fonction :
:
U
→
, (même
R
∂f
(x,
∂x
(x, y) 7→
chose par rapport à y).
y)
Les applications partielles sont des fonctions de R dans R, on peut donc utiliser les théorèmes généraux
pour étudier leur dérivabilité, et les règles de dérivation usuelles pour les calculs.
Exemple: Soit f (x, y) =
2x
(x 2 + y 2 +1)2
x2+ y
x 2 + y 2 +1
; d’autre part f2,a (t) =
et soit a = (x, y), on a f1,a (t) =
x +t
x 2 +t 2 +1
2
qui est dérivable sur R, d’où
t2+ y
qui est dérivable
t 2 + y 2 +1
∂f
x 2 (1−2 y)− y 2 +1
(a) = (x 2 + y 2 +1)2 .
∂y
sur R d’où
∂f
(a)
∂x
=
THÉORÈME 27.4 (première application)
Ð
Ð Si f : U → R admet un extremum local en a = (x 0 , y0 ) ∈ U, et si f admet ses deux dérivées
Ð
Ð partielles en a, alors ∂ f (a) = 0 et ∂ f (a) = 0, mais la réciproque est fausse.
∂x
∂y
Preuve: Supposons que a soit un maximum local, il existe donc r > 0 tel que B(a, r) ⊂ U et ∀ u ∈ B(a, r), f (u) ¶ f (a),
par conséquent ∀ t ∈]x 0 − r; x 0 + r[, f (t, y0 ) ¶ f (a), c’est à dire f1,a (t) ¶ f1,a (x 0 ), or la fonction f1,a (t) est dérivable
∂f
0
en x 0 et x 0 est à l’intérieur de l’intervalle ]x 0 − r; x 0 + r[, d’où f1,a
(x 0 ) = 0, c’est à dire ∂ x (a) = 0, le raisonnement
est le même pour la deuxième variable.
ƒ
7
4
6
5
4
3
z 2
1
0
−1
−2
−3
1
3
2
z
−1
0
1
0
x
y
1
0
−1
−2
−3
−4
−2
−1
2
0
1
−1
−2
2
x
−1
−2
z = x 2 + 3 y 2 + 2x − 4 y
minimum en M (−1, 32 , − 37 )
2
z = x 2 − y 2,
pas d’extrêmum en (0, 0) (point col)
Exemples:
– Soit f (x, y) = x 2 + 3 y 2 + 2x − 4 y, f admet ses deux dérivées partielles sur R2 , qui sont
∂f
(x,
∂y
y
1
0
∂f
(x,
∂x
y) = 2x + 2 et
y) = 6 y − 4, ces deux fonctions s’annulent pour x = −1 et y = 2/3, donc le seul point où il peut y avoir
un extremum est a = (−1, 2/3). On a f (x, y) = (x + 1)2 + 3( y − 2/3)2 − 7/3, or f (−1, 2/3) = −7/3, on voit
donc que f (x, y) ¾ f (a), f présente donc un minimum global en a.
∂f
∂f
– Soit f (x, y) = x 2 − y 2 , f admet ses deux dérivées partielles sur R2 et ∂ x (x, y) = 2x et ∂ y (x, y) = −2 y, donc
le seul point où f peut présenter un extremum est a = (0, 0), on a f (a) = 0, or si t > 0, on a f (t, 0) = t 2 > 0
et f (0, t) = −t 2 < 0, donc f ne présente pas d’extremum en a (ce qui fournit un contre-exemple pour la
réciproque du théorème).
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Calcul différentiel
Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
Remarque: Soit f : U → R définie par f (x, y) = 2x − y + 1 avec U = B 0 (0, 1), alors en notant
u = (x, u) etpn(2, −1)
p
on a f (x, y) = (u | n) + 1 et donc 1 − kuk × knk ¶ f (u) ¶ 1 + kuk × knk, c’est à dire 1 − 5 ¶ f (u) ¶ 1 + 5, f est
n
donc bornée, mais on voit que les bornes sont atteintes lorsque u = ± knk
, f a donc un maximum et un minimum sur U.
∂f
∂f
Mais si on observe les deux dérivées partielles : ∂ x (x, y) = 2 et ∂ y (x, y) = −1, ont voit qu’elles ne s’annulent jamais,
le théorème ne s’applique donc pas sur U, car ici, U n’est pas un ouvert. Par contre, Le théorème s’applique sur
la boule ouverte B(0, 1) et permet de dire que si f ne présente pas d’extrêmum local sur la boule ouverte.
2)
Dérivée suivant un vecteur
Soit U un ouvert de R2 , soit a ∈ U, soit f : U → R, et soit h = (h1 , h2 ) ∈ R2 non nul, il existe r > 0
tel que B(a, r) ⊂ U, comme lim a + th = a, il existe " > 0 tel que t ∈] − "; "[=⇒ a + th ∈ B(a, r) et donc
t→0
a + th ∈ U, on peut alors considérer la fonction gh,a : t 7→ f (a + th), c’est une fonction de R dans R définie
au moins sur ] − "; "[.
DÉFINITION 27.7 (dérivée suivant un vecteur h)
Si la fonction gh,a ci-dessus est dérivable en 0, on dit que f admet une dérivée en a suivant le
0
vecteur h, et on pose gh,a
(0) = Dh( f )(a).
Exemple: Soit f (x, y) = sin(x y) + x − y, soit a = (0, 0), et soit h = (1, −2), on a alors gh,a (t) = f (t, −2t) =
0
− sin(2t 2 ) + 3t, cette fonction est dérivable en 0 et gh,a
(0) = 3, donc f admet une dérivée en a suivant le vecteur h et
Dh ( f )(a) = 3.
Cas particuliers :
– f admet une dérivée partielle par rapport à la première variable en a = (x 0 , y0 ) ssi f admet une
dérivée en a suivant le vecteur (1, 0).
Preuve: On a gh,t = f (x 0 + t, y0 ) = f1,a (x 0 + t), donc gh,a et dérivable en 0 ssi f1,a est dérivable en x 0 . Si c’est
∂f
le cas, alors Dh ( f )(a) = ∂ x (a).
ƒ
– f admet une dérivée partielle par rapport à la deuxième variable en a = (x 0 , y0 ) ssi f admet une
dérivée en a suivant le vecteur (0, 1).
Preuve: On a gh,t = f (x 0 , y0 + t) = f2,a ( y0 + t), donc gh,a et dérivable en 0 ssi f2,a est dérivable en y0 . Si c’est
∂f
le cas, alors Dh ( f )(a) = ∂ y (a).
ƒ
3)
Fonctions de classe C1
DÉFINITION 27.8
Soit U un ouvert de R2 , soit f : U → R une fonction, on dit que f est de classe C 1 sur U lorsque :
∀ a ∈ U, ∀ h ∈ R2 \ {(0, 0)}, f admet une dérivée en a suivant le vecteur h et l’application :
Dh( f ) : U
a
→
7
→
R
Dh( f )(a)
est continue sur U.
Exemple: Soit f (x, y) = x 2 + x y, soit a = (x 0 , y0 ) et soit h = (h1 , h2 ), on a gh,a (t) = f (x 0 + th1 , x 0 + th2 ) =
0
(x 0 + th1 ) + (x 0 + th1 )( y0 + th2 ), cette fonction est dérivable en 0 et gh,a
(0) = h1 (2x 0 + y0 ) + h2 x 0 , donc Dh ( f ) :
2
(x, y) 7→ h1 (2x + y) + h2 x, cette fonction est continue sur R , et par conséquent f est de classe C 1 sur R2 .
Remarque: Si f est de classe C 1 , alors en tout point a de U, f admet ses deux dérivées partielles (en prenant
∂f
h = (1, 0) et h = (0, 1)), de plus les deux dérivées partielles sont continues sur U car : D(1,0) ( f )(a) = ∂ x (a) et
D(0,1) ( f )(a) =
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∂f
(a).
∂y
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Calcul différentiel
Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
THÉORÈME 27.5
Ð
Ð Si f admet ses deux dérivées partielles en tout point de U et si celles-ci sont continues sur U, alors f
Ð
Ð admet un développement limité d’ordre 1 en tout point a ∈ U, c’est à dire :
Ð
Ð
Ð
∂f
∂f
Ð
(a) + h2
(a) + khk"(h)
f (a + h) = f (a) + h1
Ð
∂x
∂y
Ð
Ð
Ð avec lim "(h) = 0.
Ð
h→(0,0)
Preuve: On a (avec a = (x, y) et h = (h1 , h2 )) :
f (x + h1 , y + h2 ) − f (a) − h1
∂f
∂x
(a) − h2
∂f
∂y
(a)
= f (x + h1 , y + h2 ) − f (x, y + h2 ) + f (x, y + h2 ) − f (a) − h1
= h1
∂f
∂x
(x + θ h1 , y + h2 ) + h2
∂f
∂y
(x, y + θ 0 h2 ) − h1
∂f
∂x
∂f
∂x
(a) − h2
(a) − h2
∂f
∂y
∂f
∂y
(a)
(a) avec θ , θ 0 ∈]0; 1[
d’où
| f (x + h1 , y + h2 ) − f (a) − h1
¶ |h1 ||
∂f
∂x
∂f
∂x
(a) − h2
∂f
∂y
(a)|
∂f
∂f
∂f
(x + θ h, y + h2 ) −
(a)| + |h2 ||
(x, y + θ 0 h2 ) −
(a)|
∂x
∂y
∂y
∂f
∂f
∂f
∂f
0
¶ khk |
(x + θ h, y + h2 ) −
(a)| + |
(x, y + θ h2 ) −
(a)|
∂x
∂x
∂y
∂y
les deux dérivées partielles étant continues, le terme entre parenthèses tend vers 0 lorsque h tend vers (0, 0), ce qui
termine la preuve.
ƒ
4
M
3
2
Le plan d’équation :
z = f (a, b) + (x − a)
1
∂f
∂x
(a, b) + ( y − b)
∂f
∂y
(a, b)
est appelé plan tangent à la surface z = f (x, y) au
point M (a, b, f (a, b)).
z
0
−1
−2
−3
−4
2
−2
−1
0 y
1
0
x
1
−1
−2
2
THÉORÈME 27.6
Ð
Ð Si f admet ses deux dérivées partielles en tout point de U et si celles-ci sont continues sur U, alors f
Ð
Ð est de classe C 1 sur U. De plus, pour tout vecteur h ∈ R2 , on Dh( f )(a) = h1 ∂ f (a) + h2 ∂ f (a).
∂x
∂y
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7
Calcul différentiel
Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
Preuve: Soit a = (x, y) ∈ U et soit h = (h1 , h2 ) ∈ R2 , on a gh,a (t) = f (x + th1 , y + th2 ) et gh,a (0) = f (a), d’où :
gh,a (t) − gh,a (0)
t
ce qui donne :
=
1
th1
t
gh,a (t) − gh,a (0)
t
= h1
∂f
∂x
∂f
∂x
(a) + th2
(a) + h2
∂f
∂f
∂y
∂f
∂y
(a) + N (th)"(th) ,
(a) ± khk"(th),
∂f
si t → 0, alors la limite de l’expression ci-dessus est h1 ∂ x (a) + h2 ∂ y (a), ce qui prouve que f admet une dérivée en a
∂f
∂f
suivant le vecteur h et que Dh ( f )(a) = h1 ∂ x (a) + h2 ∂ y (a).
ƒ
DÉFINITION 27.9 (gradient de f )
Si f est de classe C 1 sur U, alors on pose pour a ∈ U : Grad f (a) =
∂f
∂f
(a), ∂ y (a)
∂x
, c’est le gradient
de f en a. En prenant le produit scalaire canonique de R2 , le développement limité d’ordre 1 de f
en a s’écrit : f (a + h) = f (a) + (Grad f (a)|h) + o(h).
0
h
Sur une courbe de niveau de f ( f (x, y) = λ) la relation ci-dessus devient (Grad f (a)| khk
) = o(1) ce qui
0
entraîne que la tangente à cette courbe « au point a » est la droite orthogonale au vecteur gradient.
10
z = 3.5
9
4
8
z = 3.5
3
7
z
z = 2.5
z = 2.5
2
z = 1.5
1
0
10
9
5
z = 0.5
7
y
4
6
5
3
2
2
x
2
1
1
0
−−−→
Grad f (M )
3
3
4
z = 1.5
4
5
8
z = 0.5
6
M
1
0
0
0
z = f (x, y) = x y e−x
courbes de niveau
1
2
3
4
5
même chose dans le plan xO y
Propriétés :
– Une fonction de classe C 1 sur U est continue sur U.
Preuve: Soit f : U → R une fonction de classe C 1 , et soit a ∈ U, on peut écrire pour h voisin de (0, 0) :
∂f
∂f
f (a + h) = f (a) + h1 ∂ x (a) + h2 ∂ y (a) + khk"(h), on voit que lim f (a + h) = f (a), i.e. f est continue en a. ƒ
h→(0,0)
– C (U, R) est une R-algèbre pour les lois usuelles sur les fonctions, c’est en fait une sous-algèbre de
C 0 (U, R).
1
Preuve: Montrons par exemple la stabilité pour l’addition : si f , g sont C 1 sur U, soit a = (x, y) ∈ U, la première
application partielle de f + g en a est f1,a + g1,a : t 7→ f (t, y) + g(t, y) or ces deux fonctions sont dérivables
en x, donc f + g admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable et
or ces deux fonctions sont continues sur U et donc
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∂ (g+h)
∂x
∂ ( f +g)
(a)
∂x
=
∂f
∂f
(a) + ∂ y (a),
∂x
est continue sur U. Le raisonnement est le même
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8
Calcul différentiel
Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
pour la deuxième variable, finalement les deux dérivées partielles de f + g sont continues sur U, donc f + g
est de classe C 1 sur U.
ƒ
THÉORÈME 27.7 (dérivée d’une composée : règle de la chaîne)
Ð
Ð Soit U un ouvert de R2 , soit I un intervalle de R, soit ϕ : I → R2 définie par ϕ(t) = (u1 (t), u2 (t))
Ð
Ð où u1 et u2 sont de classe C 1 de I dans R, avec Im(ϕ) ⊂ U,et soit f : U → R une fonction de classe
Ð
Ð C 1 sur U, alors la fonction f ◦ ϕ : I → R est de classe C 1 et :
Ð
Ð
Ð
∂f
∂f
Ð
(ϕ(t)) + u02 (t)
(ϕ(t))
∀ t ∈ I, ( f ◦ ϕ)0 (t) = u01 (t)
Ð
∂x
∂y
Ð
Ð
Preuve: f ◦ ϕ(t) = f (u1 (t), u2 (t)), soit t 0 ∈ I :
f [ϕ(t)] − f [ϕ(t 0 )] = [u1 (t) − u1 (t 0 )]
∂f
∂x
(ϕ(t 0 )) + [u2 (t) − u2 (t 0 )]
∂f
∂y
(ϕ(t 0 )) + N (ϕ(t) − ϕ(t 0 ))"(ϕ(t) − ϕ(t 0 )).
∂f
On divise tout par t − t 0 , il est clair que la somme des deux premiers termes va tendre vers u01 (t 0 ) ∂ x (ϕ(t 0 )) +
|t−t |
ϕ(t)−ϕ(t 0 )
∂f
u02 (t 0 ) ∂ y (ϕ(t 0 )),et c’est une fonction continue de t 0 , quant au reste, il devient : t−t 0 N
"(ϕ(t) − ϕ(t 0 )),
t−t 0
0
il est facile de voir que cette expression a pour limite 0 lorsque t tend vers t 0 , ce qui termine la preuve.
ƒ
Exercice: La formule d’Euler. Soit f : U → R une fonction de classe C 1 sur U homogène de rapport α > 0, i.e. :
∂f
∂f
∀ a ∈ U, f (t a) = t α f (a). On a alors : x ∂ x (a) + y ∂ y (a) = α f (a).
∂f
∂f
Réponse: Posons ϕ(t) = (t x, t y) alors f ◦ ϕ est de classe C 1 au voisinage de 0+ , et sa dérivée est : x ∂ x (t a) +
y ∂ y (t a), mais cette dérivée est aussi égale à αt α−1 f (a), il suffit alors de prendre t = 1 pour avoir la formule.
THÉORÈME 27.8
Ð
Ð Soient U et V deux ouverts de R2 , soit ϕ : V → U définie par ϕ(x, y) = (ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y)) où ϕ1
Ð
Ð et ϕ2 sont de classe C 1 à valeurs réelles, soit f : U → R une fonction de classe C 1 , alors la fonction
Ð
Ð f ◦ ϕ : V → R est de classe C 1 sur V et ∀ a ∈ V :
Ð
Ð
Ð
∂ ( f ◦ ϕ)
∂ ϕ1
∂f
∂ ϕ2
∂f
Ð
(a) =
(a) ×
(ϕ(a)) +
(a) ×
(ϕ(a))
Ð
∂x
∂x
∂x
∂x
∂y
Ð
Ð
Ð
Ð
∂ ( f ◦ ϕ)
∂ ϕ1
∂f
∂ ϕ2
∂f
Ð
(a) =
(a) ×
(ϕ(a)) +
(a) ×
(ϕ(a))
Ð
∂y
∂y
∂x
∂y
∂y
Ð
Preuve: La première application partielle de f ◦ ϕ en a = (x, y) ∈ V est ( f ◦ ϕ)1,a (t) = f (ϕ1 (t, y), ϕ2 (t, y)), il suffit
alors d’appliquer le théorème précédent en prenant u1 (t) = ϕ1 (t, y) et u2 (t) = ϕ2 (t, y).
ƒ
4)
Dérivées partielles d’ordre 2
DÉFINITION 27.10
Soit U un ouvert de R2 et soit f : U → R une fonction de classe C 1 sur U, on dit que f est de classe
C 2 sur U lorsque ses deux dérivées partielles sont de classe C 1 sur U.
Notations :
∂ ∂f
(
∂x x
∂ ∂f
(
∂x y
)=
)=
∂2f
;
∂ x2
∂2f
;
∂ x∂ y
∂ ∂f
(
∂y x
)=
∂ ∂f
(
∂y y
)=
∂2f
∂ y∂ x
∂2f
∂ y2
Remarques:
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9
Calcul intégral
Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
– Les fonctions polynomiales ou rationnelles en x et y sont de classe C 2 sur leur ensemble de définition.
– C 2 (U, R) est une R-algèbre pour les opérations usuelles sur les fonctions, c’est en fait une sous-algèbre de
C 1 (U, R).
THÉORÈME 27.9 (de Schwarz (admis))
Ð
Ð
Si f est de classe C 2 sur U alors :
III)
∂2f
∂ x∂ y
=
∂2f
.
∂ y∂ x
Calcul intégral
Nous ne définirons pas la notion d’intégrale double, nous donnerons seulement une technique de calcul
qui permet de se ramener à deux intégrales d’une variable (théorème de Fubini 2 ) ainsi que le passage en
coordonnées polaires.
Nous admettrons également la notion d’aire (qui est techniquement
difficile à définir) et que si A est
RR
une partie du plan qui admet une aire, alors celle-ci est égale à A 1 d x d y.
Une partie fermée de R2 est une partie dont le complémentaire est une partie ouverte, on admettra que
toute partie fermée bornée admet une aire.
1)
Intégration sur un pavé
THÉORÈME 27.10 (de Fubini ou intégration par tranches)
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Si f est continue sur le pavé P = [a; b] × [c; d], alors :
!
ZZ
Z b Zd
f (x, y) d x d y =
f (x, y) d y
P
a
dx =
d
Z
c
c
!
b
Z
f (x, y) d x
d y.
a
RR
Nous admettrons que dans R3 muni d’un repère orthonormé, P f représente le volume algébrique de
la partie de l’espace délimitée par la surface d’équation z = f (x, y) et les plans : z = 0, x = a, x = b, y =
c, y = d.
4
3
z
2
1
0
−3
−2
−1
y 0 1
2
3
2
1
0
−1
−2
x
−3
Exercices:
– Calculer l’intégrale sur P = [0; 1] × [0; 1] de f (x, y) = x(x + y).
RR
R1 R1
R1
Réponse: D’après le théorème de Fubini, P f = 0 ( 0 x(x + y) d y) d x = 0 x(x + 1/2) d x = 7/12.
– Calculer le volume du domaine D = {M (x, y, z) / − 1 ¶ x, y ¶ 1, 0 ¶ z ¶ x 2 + y 2 }.
RR
Réponse: Il s’agit de calculer en fait P f avec f (x, y) = x 2 + y 2 et P = [−1; 1] × [−1; 1]. D’où V (D) =
RR
RR
x 2 d x d y + P y 2 d x d y = 8/3.
P
2. FUBINI Guido (1879 – 1943) : mathématicien italien connu pour ses travaux sur l’intégration.
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10
Calcul intégral
2)
Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
Intégration sur un fermé borné
Le théorème de Fubini s’énonce différemment :
THÉORÈME 27.11 (de Fubini, ou intégration par tranches)
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Soit A un fermé borné de R2 , soit P = [a; b] × [c; d] tel que
A ⊂ P, on suppose qu’il existe deux fonctions continues α, β sur
[a; b] telles que :
d
β(x)
(x, y) ∈ A ⇐⇒ x ∈ [a; b] et α(x) ¶ y ¶ β(x)
A
Si f : A → R est une fonction continue, alors :
ZZ
f (x, y) d x d y =
A
b
Z
Z
β(x)
α(x)
c
!
f (x, y) d y
d x.
a
α(x)
a
x
b
Exercices:
– Calculer l’aire du domaine D = {M (x, y) / x 2 + y 2 − x ¶ 0; x 2 + y 2 − y ¶ 0}.
RR
Réponse: L’aire du domaine D est donnée par : A (D) = D 1 d x d y. Il est facile de voir que D est l’intersection
entre le disque de centre (1/2, 0) de rayon 1/2 et le disqueÆ
de centre (0, 1/2) etpde rayon 1/2. D’où (x, y) ∈
D ⇐⇒ 0 ¶ x ¶ 1/2 et α(x) ¶ y ¶ β(x) avec α(x) = 12 − 14 − x 2 et β(x) = x(1 − x). L’aire recherchée
R 1/2
R 1/2 R β(x)
R 1/2
est donc : A (D) = 0
. On
1
d
y
d x = 0 β(x) d x − 0 α(x) d x, ce qui donne A (D) = π−2
8
α(x)
remarquera que l’on peut calculer cette aire de manière purement géométrique.
– Calculer le volume de la sphère de centre O et de rayon R > 0.
3)
Passage en coordonnées polaires
Soit A un fermé borné de R2 avec A = {M (r cos(θ ), r sin(θ )) / (r, θ ) ∈ B} où B est un fermé borné de
R . On admettra que si f : A → R est continue, alors :
ZZ
ZZ
2
f (x, y) d x d y =
A
f (r cos(θ ), r sin(θ ))r d r dθ .
B
Exercices:
– Calculer l’aire de la portion de plan délimitée par la cardioïde d’équation polaire ρ = 1 + cos(θ ).
Réponse: Le domaine demandé est D = {M (r cos(θ ), r sin(θ )) / 0 ¶ r ¶ 1 RR
+ cos(θ ), 0 ¶ θRR¶ 2π}, notons B
l’ensemble des couples (r, θ ) correspondants, B est un fermé borné de R2 et D 1 d x d y = B r d r dθ , ce qui
R 2π R 1+cos(θ )
R 2π (1+cos(θ ))2
donne A (D) = 0
r
d
r
dθ
=
dθ = 3π
.
2
2
0
0
– Recalculer le volume de la sphère à l’aide d’un changement de coordonnées polaires.
Lorsque l’on intègre sur un disque, un secteur angulaire, ou une couronne, un passage en coordonnées
polaires est souvent utile.
4)
Formule de Green-Riemann
Intégrale curviligne : Soient U un ouvert de R2 , soient P, Q : U → R deux fonctions de classe C 1 sur
U et soit C une courbe incluse dans U, de classe C 1 et paramétrée par (x(t), y(t)) avec t ∈ [a; b]. On
appelle intégrale
I curviligne suivant le chemin C de la forme différentielle P(x, y) d x + Q(x, y) d y, le
nombre noté
P(x, y) d x + Q(x, y) d y et défini par :
C
I
C
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P(x, y) d x + Q(x, y) d y =
b
Z
0
P(x(t), y(t))x (t)d t +
b
Z
a
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Q(x(t), y(t)) y 0 (t)d t.
a
11
Exercices
Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
U
Formule de Green 3 -Riemann : Soient U un ouvert de R2 , soient
P, Q : U → R deux fonctions de classe C 2 sur U, soit K un fermé
borné inclus dans U dont le bord est une courbe C de classe
C 1 , paramétrée par (x(t), y(t)) avec t ∈ [a; b], et orientée
dans le sens « intérieur à gauche » :
K
alors on a :
ZZ
[
K
∂Q
∂x
(x, y) −
∂P
∂y
(x, y)] d x d y =
I
[P(x, y) d x + Q(x, y) d y].
C
Application: Soit K un fermé borné inclus dans U dont le bord est une courbe C de classe C 1 , paramétrée par
(x(t), y(t)) avec t ∈ [a; b], et orientée dans le sens « intérieur à gauche », alors en prenant par exemple P(x, y) = 0
et Q(x, y) = x, l’aire de K est :
A (K) =
ZZ
1dx d y =
I
xdy =
C
K
b
Z
0
x(t) y (t)d t = −
a
car P(x, y) d x + Q(x, y) d y = x d y et
∂Q
(x,
∂x
b
Z
0
y(t)x (t) d t =
a
1
b
Z
2
[ f (t), f 0 (t)] d t,
a
∂P
(x,
∂y
y) = 1, on peut prendre également Q(x, y) = 0 et
RR
Rb
P(x, y) = − y. Lorsque l’on a un paramétrage polaire ρ(t) de cette courbe, alors K 1 d x d y = 12 a ρ 2 (t) d t, car
Rb
Rb
[ f (t), f 0 (t)] d t = a ρ 2 (t) d t.
a
IV)
y) −
Exercices
ÆExercice 27.1
R2 est muni de sa structure euclidienne canonique. Étudier la classe de la fonction f : R2 → R
définie par f (x) = kxk et calculer ses dérivées partielles.
ÆExercice 27.2
Étudier la continuité des fonctions suivantes :

x+y

si sin(x + y) 6= 0
sin(x + y)
a) f (x, y) =

1
sinon

¨
b) f (x, y) =
e x− y
1
si y ¾ x
sinon
2
 th( x ) si y 6= 0
c) f (x, y) =
.
y2

1
sinon
ÆExercice 27.3
Étudier la classe des fonctions suivantes :

¨
f (x, y) =
ex
si y ¾ 0
x
e cos( y) sinon
3
3
 x +y
2
2
f (x, y) =
 x +y
0
si (x, y) 6= (0, 0)
sinon
3. GREEN George (1793 – 1841) : mathématicien anglais autodidacte, un des pionniers de la physique mathématique.
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Exercices
Chapitre 27 : Fonctions de deux variables
ÆExercice 27.4
Étudier les extremums locaux des fonctions suivantes :
a) f (x, y) = x 2 + y 4
b) f (x, y) = x 2 + y 3
c) f (x, y) = x 2 + 3 y 2 + 2x − 4 y
d) f (x, y) = x 4 + y 4 − 2(x − y)2 .
e) f (x, y) = x 2 + 2x + 4x y + y 2
ÆExercice 27.5
Soit U un ouvert de R2 et soit f : U → R une fonction de classe C 3 , on appelle LAPLACIEN de f
∂2f
∂2f
la fonction ∆( f ) =
+
. On suppose que ∆( f ) = 0 calculer le Laplacien de la fonction u
∂ x2 ∂ y2
∂f
∂f
définie par u(x, y) = x
+y
.
∂x
∂y
ÆExercice 27.6
On considère l’équation aux dérivées partielles suivante :
∂2f
∂ x2
−
1 ∂2f
c2 ∂ t 2
=0
(E)
où f est de classe C 2 , on pose u = x − c t, v = x + c t, et F (u, v) = f (x, t).
a) Calculer
∂2f
∂ x2
et
∂2f
∂ t2
en fonction des dérivées partielles de F .
b) Montrer que f est solution de l’équation (E) si et seulement si
∂ 2F
∂ u∂ v
= 0.
c) En déduire toutes les solutions de (E).
ÆExercice 27.7
¨
x(t) = t − sin(t)
y(t) = 1 − cos(t)
avec t ∈ [0; π] (arche de cycloïde). Calculer l’aire de la portion de plan délimitée par cette
arche et l’axe de abscisses.
(
x(t) = cos3 (t)
b) Calculer l’aire de l’astroïde paramétrée par
.
y(t) = sin3 (t)
a) On considère la courbe paramétrée, dans un repère orthonormé, par
c) Calculer le volume d’un cône de hauteur h > 0 et de base circulaire de rayon r > 0.
d) Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b], dans un repère orthonormé, on fait
tourner la courbe de f autour de l’axe O x. Quel et le volume engendré ? Retrouver ainsi le
volume du cône, de la sphère, ...
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