Vecteurs

Vecteurs
I – Translation
1. Définition :
Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la
transformation du plan qui a tout point M associe le point M’ tel que [AM’] et [BM] aient le
même milieu
Le point M’ est unique, il est l’image de M par la translation.
Le point M est l’antécédent de M’ par cette translation. Par une translation tout point du plan
a un unique antécédent.
ABM’M est un parallélogramme.
Cas particulier : Si les points A, B et M sont alignés, le parallélogramme est aplati.
2. Caractéristiques d’une translation :
La translation qui transforme A en B est caractérisée (définie) par trois renseignements :
▪ La direction donnée par la droite (AB). La droite (MM’) a la même direction que (est
parallèle à) la droite (AB)
▪ Le sens de A vers B. On va de M vers M’ dans le même sens que de A vers B.
▪ La longueur AB. MM’ = AB.
3. Image d’un polygone par une translation :
Image du polygone ABCD par la translation qui transforme A en A’.
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II – Vecteurs
1. Définition :
Un couple (A, B) de deux points distinct du plan
définit un vecteur noté Ä
AB caractérisé par :
▪ Une direction celle de la droite (AB)
▪ Un sens de A vers B
▪ Une longueur (ou norme) AB.
A est l’origine et B l’extrémité du vecteur.
AA est le vecteur nul, il est noté Ä
AA = Å
0.
Par convention le vecteur Ä
Il a une longueur nulle pas de direction ni de sens.
ሬሬሬሬሬԦ et
On peut appeler la translation qui transforme A en B, translation de vecteur ሬuԦ = AB
on peut la note t Ä
AB .
La translation de vecteur nul est appelée identité, Tout point du plan a lui-même pour
image, les points sont invariants.
2. Egalité de deux vecteurs :
AB et Ä
CD sont égaux s’ils définissent la même translation. Ils ont même
Deux vecteurs Ä
direction, même sens et même norme ou longueur. On pourra noter Ä
AB = Ä
CD = Å
u
AB = CD = Å
u (seule écriture possible pour la norme d’un vecteur nommé par une
lettre.
3. Propriétés :
Propriété 1 : Ä
AB = Ä
CD équivaut à « [AD] et [CB] on le même milieu.
Propriété 2 : Ä
AB = Ä
CD équivaut à « ABDC est un parallélogramme.
Propriété 3 : Si Ä
AB =Ä
CD alors (AB)//(CD) et AB = CD. (pourquoi pas équivaut à ?)
Propriété 4 : Soit Å
u un vecteur, donné du plan, pour tout point M du plan il existe un point
unique N tel que Ä
MN = Å
u
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III – Composée de deux translations. Somme de vecteurs
1. Définition :
Å qui caractérise la translation résultant la
u et Å
v est le vecteur w
La somme de deux vecteurs Å
composition de la translations de vecteur Å
u suivi de la translation de vecteur Å
v,
Å=Å
noté w
u +Å
v.
2. Construction :
Relation de Chasles
Ä
AB = Å
u et Ä
BC = Å
v
Ä
AB +Ä
BC = Ä
AC
Ä
AC = Å
u+Å
v
Å=Å
w
u+Å
v
Règle du parallélogramme
Ä
AB = Å
u et Ä
AD= Å
v
Ä
AB +Ä
AD = Ä
AC
C étant le quatrième sommet du
parallélogramme ABCD.
Å=Å
w
u+Å
v
4. Propriétés :
Å du plan on a :
Pour tous vecteurs Å
u, Å
v, w
▪Å
u+Å
v =Å
v+Å
u
▪Å
u+Å
0 =Å
0+Å
u =Å
u
Å=Å
Å) = Å
Å
▪ (Å
u +Å
v) + w
u + (Å
v+w
u+Å
v +w
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5. Vecteurs opposés :
On appelle vecteurs opposés deux vecteurs dont la somme est le vecteur nul.
Ils ont donc la même direction, la même longueur et un sens contraire.
u +Å
v=Å
0ñÅ
u =-Å
v . Soustraire un vecteur c’est ajouter son opposé.
Notation Å
IV – Multiplication d’un vecteur par un nombre réel
1. Définition :
u= Ä
AB un vecteur et k un nombre réel, le produit du vecteur Å
u par le nombre réel k est
Soit Å
le vecteur
Å
v =Ä
CD avec Ä
CD = k Ä
AB , ou Å
v =kÅ
u , tel que :
▪ Si Å
u =Å
0 ou k =0 alors Å
v =Å
0.
▪ Si Å
u ≠Å
0 et k ≠ 0 alors Å
u et Å
v ont :
→ la même direction
→ si k > 0 le même sens et CD = k AB . kÅ
u =k Å
u
→ si k < 0 un sens contraire et CD = – k AB. kÅ
u =-k Å
u
2. Propriétés admises:
▪ Le produit du vecteur Å
u par un nombre réel k est le vecteur Å
0 si et seulement si
Å
u =Å
0 ou k = 0
donc
k ሬuԦ = ሬԦ
0 ⟺ k = 0 ou ሬuԦ = ሬԦ
0
▪ pour tous vecteurs Å
u et Å
v , et tous nombres réels a et b :
u +Å
v) = a Å
u +aÅ
v
et
(a+b) Å
u =kÅ
u +bÅ
u
a( Å
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V – Vecteurs colinéaires
1. Définition :
u et Å
v non nuls sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k
Deux vecteurs Å
tel que Å
v =kÅ
u . Les vecteurs Å
u et Å
v ont alors la même direction.
Par convention le vecteur nul Å
0 est colinéaire à tous les vecteurs.
2. Vecteur directeur d’une droite :
Soit une droite (d), un vecteur Å
u non nul. Le vecteur Å
u est un vecteur directeur de la droite
(d) si et seulement si pour tous points A et B distincts de (d), les vecteurs Ä
AB et Å
u sont
colinéaires.
3. Propriétés :
▪ Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs Ä
AB et Ä
CD sont
CD = k Ä
AB .
colinéaires donc il existe un réel k tel que Ä
▪ Trois points A, B, distincts, et M sont alignés si et seulement si les vecteurs Ä
AB et Ä
AM
sont colinéaires donc il existe un réel k tel que Ä
AM = k Ä
AB .
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