Vecteurs

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Vecteurs
I – Translation
1. Définition :
Soit A et B deux points du plan. On appelle
translation qui transforme A en B
la
transformation du plan qui a tout point M associe le point M’ tel que [AM’] et [BM] aient le
même milieu
Le point M’ est unique, il est l’image de M par la translation.
Le point M est l’antécédent de M’ par cette translation. Par une translation tout point du plan
a un unique antécédent.
ABM’M est un parallélogramme.
Cas particulier : Si les points A, B et M sont alignés, le parallélogramme est aplati.
2. Caractéristiques d’une translation :
La translation qui transforme A en B est caractérisée (définie) par trois renseignements :
▪ La direction donnée par la droite (AB). La droite (MM’) a la même direction que (est
parallèle à) la droite (AB)
▪ Le sens de A vers B. On va de M vers M’ dans le même sens que de A vers B.
▪ La longueur AB. MM’ = AB.
3. Image d’un polygone par une translation :
Image du polygone ABCD par la translation qui transforme A en A’.

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II – Vecteurs
1. Définition :
Un couple (A, B) de deux points distinct du plan
définit un vecteur noté Ä AB caractérisé par :
▪ Une direction celle de la droite (AB)
▪ Un sens de A vers B
▪ Une longueur (ou norme) AB.
A est l’origine et B l’extrémité du vecteur.
Par convention le vecteur Ä AA est le vecteur nul, il est noté Ä AA = Å 0 .
Il a une longueur nulle pas de direction ni de sens.
On peut appeler la translation qui transforme A en B, translation de vecteur uሬ
Ԧ
= AB
ABAB
AB
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
et
on peut la note t
Ä
AB
.
La translation de vecteur nul est appelée identité, Tout point du plan a lui-même pour
image, les points sont invariants.
2. Egalité de deux vecteurs :
Deux vecteurs Ä AB et Ä CD sont égaux s’ils définissent la même translation. Ils ont même
direction, même sens et même norme ou longueur. On pourra noter Ä AB = Ä CD = Å u
AB = CD = Å u (seule écriture possible pour la norme d’un vecteur nommé par une
lettre.
3. Propriétés :
Propriété 1 : Ä AB = Ä CD équivaut à « [AD] et [CB] on le même milieu.
Propriété 2 : Ä AB = Ä CD équivaut à « ABDC est un parallélogramme.
Propriété 3 : Si Ä AB=Ä CD alors (AB)//(CD) et AB = CD. (pourquoi pas équivaut à ?)
Propriété 4 : Soit Å u un vecteur, donné du plan, pour tout point M du plan il existe un point
unique N tel que Ä MN = Å u

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III – Composée de deux translations. Somme de vecteurs
1. Définition :
La somme de deux vecteurs Å u et Å v est le vecteur Å w qui caractérise la translation résultant la
composition de la translations de vecteur Å u suivi de la translation de vecteur Å v,
noté Å w = Å u+Å v.
2. Construction :
Relation de Chasles
Ä
AB = Å u et Ä BC= Å v
Ä
AB+Ä BC = Ä AC
Ä
AC = Å u + Å v
Å
w = Å u + Å v
Règle du parallélogramme
Ä
AB = Å u et Ä AD= Å v
Ä
AB+Ä AD = Ä AC
C étant le quatrième sommet du
parallélogramme ABCD.
Å
w = Å u + Å v
4. Propriétés :
Pour tous vecteurs Å u, Å v, Å w du plan on a :
▪ Å u + Å v = Å v + Å u
▪ Å u + Å 0 = Å 0 + Å u = Å u
▪ (Å u + Å v) + Å w = Å u + (Å v + Å w) = Å u + Å v + Å w

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5.
Vecteurs opposés
:
On appelle vecteurs opposés deux vecteurs dont la somme est le vecteur nul.
Ils ont donc la même direction, la même longueur et un sens contraire.
Notation Å u + Å v = Å 0 ñ Å u = - Å v . Soustraire un vecteur c’est ajouter son opposé.
IV – Multiplication d’un vecteur par un nombre réel
1. Définition :
Soit Å u= Ä AB un vecteur et k un nombre réel, le produit du vecteur Å u par le nombre réel k est
le vecteur
Å
v = Ä CD avec Ä CD = k Ä AB , ou Å v = k Å u, tel que :
▪ Si Å u = Å 0 ou k =0 alors Å v = Å 0.
▪ Si Å u ≠ Å 0 et k ≠ 0 alors Å u et Å v ont :
→ la même direction
→ si k > 0 le même sens et CD = k AB . kÅ u = k Å u
→ si k < 0 un sens contraire et CD = – k AB. kÅ u = - k Å u
2. Propriétés admises:
▪ Le produit du vecteur Å u par un nombre réel k est le vecteur Å 0 si et seulement si
Å u = Å 0 ou k = 0 donc k uሬ
Ԧ
= 0
ሬ
Ԧ
⟺ k = 0 ou uሬ
Ԧ
= 0
ሬ
Ԧ
▪ pour tous vecteurs Å u et Å v, et tous nombres réels a et b :
a( Å
u + Å v) = a Å u + a Å v et (a+b) Å u = k Å u + b Å u

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V – Vecteurs colinéaires
1. Définition :
Deux vecteurs Å u et Å v non nuls sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k
tel que Å v = k Å u. Les vecteurs Å u et Å v ont alors la même direction.
Par convention le vecteur nul Å 0 est colinéaire à tous les vecteurs.
2. Vecteur directeur d’une droite :
Soit une droite (d), un vecteur Å u non nul. Le vecteur Å u est un vecteur directeur de la droite
(d) si et seulement si pour tous points A et B distincts de (d), les vecteurs Ä AB et Å u sont
colinéaires.
3. Propriétés :
▪ Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs Ä AB et Ä CD sont
colinéaires donc il existe un réel k tel que Ä CD = k Ä AB.
▪ Trois points A, B, distincts, et M sont alignés si et seulement si les vecteurs Ä AB et Ä AM
sont colinéaires donc il existe un réel k tel que Ä AM = k Ä AB.