Convergence de variables aléatoires 1) Convergence quadratique

Convergence de variables aléatoires
1) Convergence quadratique et convergence en probabilité
Dé…nition : On dé…nit la norme quadratique d’une variable aléatoire par kXk2=pE(X2):
Remarque : Si X:  !Ret est …ni et muni de la probabilité , alors kXk2=pP!2X(!)2(!):
Remarque : La norme quadratique est la norme associée au produit scalaire hX; Y i=E(XY ):
Dé…nition : On dit qu’une suite (Xn)n2Nconverge quadratiquement vers Xssi limn!+1kXnXk2= 0:
Dé…nition : On dit qu’une suite (Xn)n2Nconverge en probabilité vers Xssi pour tout " > 0,
lim
n!+1P(jXnXj  ") = 0
a) Soit créel. On suppose limn!+1E(Xn) = cet limn!+1V(Xn) = 0:Montrer que limn!+1kXnck2= 0:
b) Montrer que si (Xn)n2Nconverge quadratiquement vers X, alors (Xn)n2Nconverge en probabilité vers X:
Solution :
a) kXneck2 kXnE(Xn)k2+kE(Xn)ck2=pV(Xn) + jE(Xn)cj:
En e¤et, la variable aléatoire E(Xn)cest constante, donc kE(Xn)ck2=jE(Xn)cj:
b) On applique l’inégalité de Markov à (Xnc)2:
On a P(jXnXj  ") = P((Xnc)2"2)E((Xnc)2)
"2=kXnck2
2
"2, donc limn!+1P(jXnXj  ") = 0:
2) Un exemple : Nombre de points sans antécédent par une application
On considère l’ensemble des nmapplications fde f1;2; :::; mgdans f1;2; :::; ng, muni de la probabilité uniforme.
utrement dit, l’image par fde tout j2 f1;2; :::; mgest choisi dans f1;2; :::; ngavec la même probabilité, de sorte
que chaque fonction fa la même probabilité d’être choisie.
On note X:  !Nla variable aléatoire donnant le nombre de points sans antécédent.
Pour i2 f1;2; :::; ng, on note Yila variable aléatoire valant 1si in’admet aucun antécédent, et 0sinon.
a) Préciser la loi de Yiet celle de YiYj, où i6=j:
b) Exprimer Xà l’aide des Yi, et en déduire E(X)et V(X):
c) On suppose m=n. On note désormais Xnau lieu de X, pour rappeler que Xest fonction de n.
Donner un équivalent de E(Xn)lorsque ntend vers +1et justi…er brièvement que V(Xn) = O(n).
d) En déduire que la suite Xn
nn2N
converge en probabilité vers une variable Zqu’on précisera.
Solution :
a) Les applications fpour lesquelles in’a pas d’antécédent sont celles à valeurs dans f1;2; :::; ngnfig:

Donc on a P(Yi= 1) = (n1)m
nm=11 nm
:
Comme Yiest à valeurs dans f0;1g,Yisuit la loi de Bernoulli B11
nm:
Lorsque i6=j, on a P(YiYj= 1) = (n2)m
nm=12 nm
:
Comme YiYjest à valeurs dans f0;1g,YiYjsuit la loi de Bernoulli B12
nm:
b) On a X=Pn
i=1 Yi, donc E(X) = n11
nm
:
Et V(X) = Pn
i=1 E(Yi)+2Pi6=jE(YiYj)Pn i=1 E(Y2
i) = 2 Pi6=jE(YiYj) + Pn
i=1 V(Yi):
On obtient donc V(X) = n(n1) 12
nm
+n11
nm
n211
n2m
:
c) On sait que limn!+111
nn
=e1, et en fait on a : 11
nn
=e11 + O1
n:
En e¤et, 11
nn
= exp nln 11
n= exp 1 + O1 n=e1exp O1 n=e11 + O1 n:
On en déduit notamment que E(Xn)ne1:
Et aussi V(Xn) = n2e21 + O1
n+n O (1) n2e21 + O1 n=O(n):
d) On a ainsi limn!+1EXn
n= limn!+1
E(Xn)
n=eet limn!+1VXn n= limn!+1
V(Xn)
n2= 0:
Il résulte alors de a) et b) que Xn
nn2N
converge en probabilité vers la variable Zconstante de valeur e1:
Ainsi, la probabilité qu’un élément de l’image n’ait pas d’antécédent converge vers e1lorsque ntend vers +1: