UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012

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UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013
LICENCE d’ÉCONOMIE et GESTION
Seconde année - Semestre 3
PROBABILITÉS
Feuille d’exercices N◦4 : Couples de Variables aléatoires discrètes
Exercice I
Soient Xet Ydeux V.A. de Bernouilli. Soit p∈Rtel que la loi conjointe de (X, Y )est donnée
par la tableau ci-dessous :
X
Y0 1 Loi de X
0 1/6 + p1/3−p
1 1/2−p p
Loi de Y
1. Quelles conditions doit vérifier ppour que ce tableau soit effectivement le tableau d’une
loi conjointe ?
2. Déterminer les lois marginales du couple (X, Y ).
3. Calculer la covariance de (X, Y )et le coefficient de corrélation entre Xet Y.
4. Pour quelle(s) valeur(s) de ples V.A.R. Xet Ysont-elles indépendantes ?
Exercice II
On tire simultanément 2jetons d’une urne contenant 4 jetons numérotés de 1à4. Soit Ule
minimum des numéros et Vle maximum. On suppose que les tirages sont équiprobables.
1. Déterminer la loi conjointe de Uet V.
2. Déterminer les lois marginales de Uet V.
3. Les V.A.R. Uet Vsont-elles indépendantes ?
Exercice III
On lance deux fois de suite un dé bien équilibré. Soient Xet Yle premier et le second numéro
obtenus et soit Uleur minimum. On suppose que les tirages sont équiprobables.
1. Déterminer la loi du couple (X, Y ), la loi de Xet celle de Y.
2. Déterminer la loi du couple (X, U )et la loi de U. Les V.A.R. Xet Usont-elles indépen-
dantes ?
L2/S3 - MATH 201 - Probabilités
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion

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Exercice IV
1. Un dé bien équilibré Aporte les nombres 1sur 4faces et (−2) sur les autres.
Un dé Bporte les nombres −2,−1,0,1,2et 3. Ce dé est pipé de telle sorte que les pro-
babilités d’apparition des faces forment une progression géométrique de raison 1
2. Quelles
sont ces probabilités ?
Soit X(respectivement Y) la V.A.R. qui, à un lancer du dé A(respect. du dé B) associe
le nombre obtenu.
2. On lance simultanément ces deux dés et on désigne par Sla V.A.R. définie par S=|X+Y|.
(a) Déterminer la loi conjointe du couple (X, S)
(b) Quelle est la loi marginale de S?
(c) Les V.A.R. Xet Ssont-elles indépendantes ?
Exercice V
1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est une V.A.R.
Xdont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci-dessous :
xi0 1 2
pi0,1 0,5 0,4
Dans cette station, la probabilité qu’un client achète de l’essence est 0,7et celle qu’il achète
du gasoil est 0,3. Son choix est indépendant de celui des autres clients. On considère les
événements suivants :
•C1: « en cinq minutes, un seul client se présente »
•C2: « en cinq minutes, deux clients se présentent »
•E: « en cinq minutes, un seul client achète de l’essence »
(a) Calculer P(C1∩E).
(b) Calculer PC2(E)puis P(C2∩E).
(c) En déduire la probabilité qu’en cinq minutes, un seul client achète de l’essence.
2. Soit Yla V.A. égale au nombre de clients achetant de l’essence en cinq minutes.
(a) Déterminer la loi de Y
(b) Déterminer la loi conjointe du couple (X, Y ).
(c) Les V.A. Xet Ysont-elles indépendantes ?
Exercice VI
Une urne contient 100 jetons numérotés de 1à100. On tire avec remise 11 jetons et on appelle
Sla somme des numéros obtenus. Définir S(Ω) puis calculer son espérance et sa variance.
Exercice VII
X1et X2sont deux V.A.R. qui suivent des lois de Bernouilli de paramètres respectifs p1et p2.
Montrer que si X1et X2sont non corrélées (i.e. %(X1, X2)=0) alors elles sont indépendantes.
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J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion

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Exercice VIII
Extrait Examen Décembre 2011
Une urne contient 5boules : deux boules portent le numéro 0, deux boules portent le numéro
1et la cinquième boule porte le numéro 2: on notera les cinq boules : {B0, B0
0, B1, B0 1, B2}. On
tire simultanément deux boules de cette urne. On suppose que les tirages sont équiprobables.
1. Définir l’univers Ωassocié à cette expérience aléatoire. Calculer CardΩpuis donner tous
les éléments de Ω.
2. Soit Xla V.A.R. qui prend pour valeurs la somme des deux numéros tirés et Yla V.A.R.
qui prend pour valeurs le maximum des deux numéros tirés.
(a) Donner dans un tableau la loi conjointe du couple (X, Y )et les lois marginales de X
et Y.
(b) Calculer E(X),V(X),E(Y)et V(Y).
(c) Soit Z=X.Y : donner la loi de Z. Calculer E(Z).
(d) Déterminer la covariance du couple (X, Y ). En déduire V(X+Y).
Exercice IX
Extrait Examen juin 2012
On dispose de trois urnes, U1,U2et U3. L’urne U1contient 3boules rouges et 3boules blanches,
l’urne U2contient 2boules rouges et 4boules blanches, l’urne U3contient 4boules rouges et 2
boules blanches.
On effectue deux tirages :
•Premier tirage : on tire 3boules simultanément de l’urne U1.
•Second tirage : on tire 3boules simultanément d’une des deux autres urnes de la manière
suivante :
– si on a obtenu 0ou 1boule blanche lors du premier tirage, on effectue ce deuxième tirage
dans U2,
– sinon, on effectue ce deuxième tirage dans U3.
On note Xle nombre de boules blanches obtenues lors du premier tirage, Yle nombre de boules
blanches obtenues lors du deuxième tirage et Z=X+Yle nombre total de boules blanches
obtenues lors de cette expérience aléatoire.
1. Reconnaître la loi de probabilité de X, en donner les paramètres, puis représenter cette
lois dans un tableau. Calculer E(X).
2. Donner (sous forme de tableau) la loi conditionnelle de Ysachant U2(i.e. X= 0 ou X= 1).
De même, donner (sous forme de tableau) la loi conditionnelle de Ysachant U3.
3. Expliquer le calcul de P(X= 0 ∩Y= 1).
4. Donner (dans un tableau) la loi du couple (X, Y )et la loi de Y
5. Calculer E(Y).
6. Déterminer la loi de probabilité de Zet calculer son espérance.
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J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion