Feuille de TD - Mathématiques

πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ
o
πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ
•4X
•X Y
X Y
Y
X Y = 2
X Y = 2
n X
Y
(X, Y )
X Y
X Y = 5
;  
X[[−1,1]] Y
Y=(0, X 6= 0,
1, X = 0.
X(Ω) P(X=x)x∈X(Ω) E(X)
Y
XY
Cov(X, Y )=0
X Y
X Y
Cov(X, Y )=0⇔X Y

n∈N(i, j)∈[[1, n]]2i≤j pi,j =λi
jλ∈R
λ(pi,j )
(X, Y )
λ
j∈[[1, n]] X{Y=j}
X Y
X
p n
X
•Xi= 1 i0
•Yi,j = 1 j i 0
Yi,j Xi
X XiX
E(X)
lim
p→∞
E(X)
6U1
U2
XnU1n
A= (P(Xn+1 =i−1|Xn=j−1))i,j∈[[1,4]] Un=
P(Xn= 0)
P(Xn= 1)
P(Xn= 2)
P(Xn= 3)
A
Un+1 =AUnn∈N
UnA n U0
L=0 1 2 3J=1 1 1 1
α β LA =αL +βJ
E(Xn+1)E(Xn)

E(Xn)nlim
n→∞
E(Xn)
X Y [[0, n]]
X+Y
E(X+Y)
r∈[[0, n]] X X +Y=r
X1X2B(n1, p)B(n2, p)
X1+X2B(n1+n2, p)
a∈[[0, n1+n2]] X1X1+X2=a
n X
X p Y
Y
X1N
Y1X Y
(X, Y )
Y
E(Y)E(Y)N→ ∞
P(X=Y)N→ ∞
p∈RX Y
X\Y
2/3−p−1/6 + p
p1/2−p
p
p X Y

n3H1H2
H3XiHi
Xii= 1,2,3 Var(Xi)
X1+X2Var(X1+X2)
X1X2
n pn
pn=2n
n
4n
n!∼
n→∞
√2πn n
en
,
pnn→ ∞
p∈]1/2,1[ q= 1 −p Xn
B(n, p)Yn= 2Xn−n
P(Xn≤n/2) n
n∈N
E(e−tYn) = (pe−t+qet)n
∀t≥0,P(Xn≤n/2) ≤(pe−t+qet)n.
φ:t7→ (pe−t+qet)
α∈]0,1[
∀n∈N,P(Xn≤n/2) ≤αn.

U V
P(U=−1) = 1/3,P(U= 1) = 2/3.
X=U Y = signe(U)×V
(X, Y )X Y
X2Y2