Maths 1es-1l mémo bac 5. Suites numériques 1. Suites numériques Propriétés : Une suite u de nombres réels est une fonction dont la variable est un entier naturel n (n ∈ N). L’image de l’entier n par la suite u est notée un . un désigne le terme général de la suite u. Principaux modes de génération d’une suite numérique (exemples) : • Définition explicite : pour tout n ∈ N un = n2 (u0 = 0, u1 = 1, u2 = 4, . . .) ; • Définition récurrente : v0 = 0 et pour tout n ∈ N vn+1 = vn + 2n1+ (v0 = 0, v1 = 1, v2 = 4, . . .). Variations d’une suite numérique Définition : La suite u est : • croissante si pour tout n ∈ N, un+1 > un ; • décroissante si pour tout n ∈ N, un+1 6 un ; • constante ou stationnaire si pour tout n ∈ N, un+1 = un ; • monotone si elle est soit croissante, soit décroissante. Remarque : u est dite strictement croissante si pour tout n ∈ N, un+1 > un , strictement décroissante si un+1 < un et strictement monotone si elle est strictement croissante ou bien strictement décroissante. Exemples : • un = n2 est strictement croissante, car un+1 − un = (n + 1)2 − n2 = 2n + 1 > 1 > 0. • vn+1 = vn +2n+1 (v0 donné) est strictement croissante, car vn+1 −vn = vn +2n+1−vn = 2n+1 > 1 > 0. 1 1 −1 1 − n+1 = (n+1)−(n+2) • wn = est strictement décroissante, car wn+1 − wn = n+2 (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2) < 0. n+1 2. Suites arithmétique Définition : La suite u est arithmétique ssi u est définie pour tout n ∈ N par un+1 = un + r, où r est un réel donné, appelé raison de la suite, et u0 est un réel fixé. Propriétés : Si u suite arithmétique de raison r, alors pour tous n et p, entiers naturels : un = u0 + nr et un = up + (n − p)r . Reconnaître une suite arithmétique : • Si pour tout n ∈ N : un+1 − un = a constant, alors u est une suite arithmétique de raison a. • Si pour tout n ∈ N : un = an + b, alors u est une suite arithmétique de raison a et u0 = b. Remarque : On dit que l’évolution d’une suite arithmétique est linéaire. Variations d’une suite arithmétique : Théorème : Pour une suite arithmétique un = u0 + nr : • Si r > 0, alors u est strictement croissante ; • Si r < 0, alors u est strictement décroissante ; • Si r = 0, alors u est constante ou stationnaire. 3. Suites géométrique Définition : La suite u est géométrique ssi u est définie pour tout n ∈ N par un+1 = q × un , où q est un réel donné, appelé raison de la suite, et u0 est un réel fixé. Propriétés : Si u suite géométrique de raison q, alors pour tous n et p, entiers naturels : un = u0 × q n et un = up × q (n−p) . Reconnaître une suite géométrique : un+1 = a constant, alors u est une suite arithmétique de raison a. • Si pour tout n ∈ N : un • Si pour tout n ∈ N : un = a × bn , alors u est une suite arithmétique de raison b et u0 = a. Propriétés : Si u suite géométrique de raison q et ne s’annulant pas, alors pour tout entier n la un+1 − un variation relative : est constante. un Remarque : On dit que l’évolution d’une suite géométrique est exponentielle. Variations d’une suite géométrique : Théorème : Pour une suite géométrique un = u0 × q n , avec u0 > 0 et q > 0 : • Si q > 1, alors u est strictement croissante ; • Si 0 < q < 1, alors u est strictement décroissante ; • Si q = 1 = 0, alors u est constante ou stationnaire. math4bac v1.618