5. Suites numériques

Maths 1es-1l mémo bac
5. Suites numériques
1. Suites numériques
Propriétés : Une suite ude nombres réels est une fonction dont la variable est un entier naturel n
(n∈N).
L’image de l’entier npar la suite uest notée un.undésigne le terme général de la suite u.
Principaux modes de génération d’une suite numérique (exemples) :
•Définition explicite : pour tout n∈Nun=n2(u0= 0, u1= 1, u2= 4, . . .) ;
•Définition récurrente :v0= 0 et pour tout n∈Nvn+1 =vn+ 2n1+ (v0= 0, v1= 1, v2= 4, . . .).
Variations d’une suite numérique
Définition : La suite uest :
•croissante si pour tout n∈N,un+1 >un;
•décroissante si pour tout n∈N,un+1 6un;
•constante ou stationnaire si pour tout n∈N,un+1 =un;
•monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.
Remarque :uest dite strictement croissante si pour tout n∈N,un+1 > un,strictement décroissante si
un+1 < unet strictement monotone si elle est strictement croissante ou bien strictement décroissante.
Exemples :•un=n2est strictement croissante, car un+1 −un= (n+ 1)2−n2= 2n+ 1 >1>0.
•vn+1 =vn+2n+1 (v0donné) est strictement croissante, car vn+1−vn=vn+2n+1−vn= 2n+1 >1>0.
•wn=1
n+ 1 est strictement décroissante, car wn+1 −wn=1
n+2 −1 n+1 =(n+1)−(n+2) (n+1)(n+2) =−1 (n+1)(n+2) <0.
2. Suites arithmétique
Définition : La suite uest arithmétique ssi uest définie pour tout n∈Npar un+1 =un+r, où r
est un réel donné, appelé raison de la suite, et u0est un réel fixé.
Propriétés : Si usuite arithmétique de raison r,
alors pour tous net p, entiers naturels : un=u0+nr et un=up+ (n−p)r.
Reconnaître une suite arithmétique :
•Si pour tout n∈N:un+1 −un=aconstant, alors uest une suite arithmétique de raison a.
•Si pour tout n∈N:un=an +b, alors uest une suite arithmétique de raison aet u0=b.
Remarque : On dit que l’évolution d’une suite arithmétique est linéaire.
Variations d’une suite arithmétique :
Théorème : Pour une suite arithmétique un=u0+nr :
•Si r > 0, alors uest strictement croissante ;
•Si r < 0, alors uest strictement décroissante ;
•Si r= 0, alors uest constante ou stationnaire.
3. Suites géométrique
Définition : La suite uest géométrique ssi uest définie pour tout n∈Npar un+1 =q×un, où qest
un réel donné, appelé raison de la suite, et u0est un réel fixé.
Propriétés : Si usuite géométrique de raison q,
alors pour tous net p, entiers naturels : un=u0×qnet un=up×q(n−p).
Reconnaître une suite géométrique :
•Si pour tout n∈N:un+1
un
=aconstant, alors uest une suite arithmétique de raison a.
•Si pour tout n∈N:un=a×bn, alors uest une suite arithmétique de raison bet u0=a.
Propriétés : Si usuite géométrique de raison qet ne s’annulant pas, alors pour tout entier nla
variation relative : un+1 −un
un
est constante.
Remarque : On dit que l’évolution d’une suite géométrique est exponentielle.
Variations d’une suite géométrique :
Théorème : Pour une suite géométrique un=u0×qn, avec u0>0 et q > 0 :
•Si q > 1, alors uest strictement croissante ;
•Si 0 < q < 1, alors uest strictement décroissante ;
•Si q= 1 = 0, alors uest constante ou stationnaire.
math4
bac v1.618