Spécialité Terminale S S1 2010-2011 IE4 Nombres premiers

Spécialité Terminale S
S1 2010-2011
IE4 Nombres premiers entre eux – Théorèmes de Bézout, Gauss et Fermat
Exercice 1 :
/7
On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux.
On pose S = x + y et P = xy.
1) a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S
b) En déduire que S et P sont premiers entre eux.
c) Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes (l’un pair et l’autre impair).
2) Déterminer les diviseurs positifs de 84.
3) Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que SP = 84.
4) Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes :
a + b = 84

avec d = PGCD(a ;b)
3
ab = d
On pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux.
Exercice 2 :
1) Déterminer un couple d’entiers relatifs (x ;y) vérifiant :
11x – 5y = 14.
2) Résoudre dans Z² l’équation 11x – 5y = 14.
3) Montrer qu’il existe un seul couple d’entiers relatifs (x ;y) tels que :
11x – 5y = 14 et 0 ≤ x ≤ 5.
/5
Exercice 3 :
1) Démontrer que, si le naturel n n’est pas un multiple de 7, alors n6 – 1 est un multiple de 7.
2) Démontrer que le produit n(n6 – 1) est divisible par 42 quelque soit l’entier naturel n.
3) Comment choisir n pour que ce produit soit divisible par 84 ?
/3
1
Spécialité Terminale S
S2 2010-2011
IE4 Nombres premiers entre eux – Théorèmes de Bézout, Gauss et Fermat
Exercice 1 :
/7
On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux.
On pose S = x + y et P = xy.
1) a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S
b) En déduire que S et P sont premiers entre eux.
c) Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes (l’un pair et l’autre impair).
2) Déterminer les diviseurs positifs de 70.
3) Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que SP = 70.
4) Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes :
a + b = 70

avec d = PGCD(a ;b)
3
ab = d
On pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux.
Exercice 2 :
1) Déterminer un couple d’entiers relatifs (x ;y) vérifiant :
13x – 3y = 11.
2) Résoudre dans Z² l’équation 13x – 3y = 11.
3) Montrer qu’il existe un seul couple d’entiers relatifs (x ;y) tels que :
13x – 3y = 11 et 0 ≤ x ≤ 3.
/5
Exercice 3 :
1) Démontrer que, si le naturel n n’est pas un multiple de 11, alors n10 – 1 est un multiple de 11.
2) Démontrer que le produit n(n10 – 1) est divisible par 66 quelque soit l’entier naturel n.
3) Comment choisir n pour que ce produit soit divisible par 132 ?
/3
2
Spécialité Terminale S
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IE4 Nombres premiers entre eux – Théorèmes de Bézout, Gauss et Fermat
CORRECTION
Exercice 1 :
/7
On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux.
On pose S = x + y et P = xy.
1) a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S
b) En déduire que S et P sont premiers entre eux.
c) Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes (l’un pair et l’autre impair).
2) Déterminer les diviseurs positifs de 84.
3) Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que SP = 84.
4) Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes :
a + b = 84

avec d = PGCD(a ;b)
3
ab = d
On pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux.
1) a) Soit d = PGCD(x ;S)
d | x et d | x + y ; donc d | x + y – x ; soit d |y
d | x et d | y donc d = 1 car PGCD(x ;y) = 1
PGCD(x ;S) = 1 donc x et S sont premiers entre eux.
De même, on pose d’= PGCD(y,S)
d’ | y et d’ | x + y ; donc d’ | x + y – y ; soit d’ | x
d’ | x et d’ | y donc d’ = 1 car PGCD(x ;y) = 1
PGCD(y ;S) = 1 donc y et S sont premiers entre eux.
b) PGCD(x ;S) = 1 et PGCD(y ;S) = 1 PGCD(xy ;S) = 1
Donc S et P sont premiers entre eux.
En effet, si PGCD(x ;S) = 1 alors selon le théorème de Bézout, il existe u et v entiers tels que xu
+ Sv = 1.
De même, si PGCD(x ;S) = 1 alors selon le théorème de Bézout, il existe u’ et v’ entiers tels que
yu’ + Sv’ = 1.
En multipliant membre à membre ces deux égalités, on obtient :
(xu + Sv)(yu’ + Sv’) = 1
Soit, en développant le membre de gauche :
xyuu’ + S(xuv’ + vyu’ + Svv’) = 1
uu’ et xuv’ + vyu’ + Svv’ sont des entiers, donc, selon le théorème de Bézout, xy et S sont
premiers entre eux.
c) Raisonnons par disjonction des cas selon les parités possibles de x et y.
x et y ne sont pas pairs car sinon PGCD(x ;y) ≥ 2.
Si x et y sont impairs, alors x + y est pair et xy est impair.
Si x et y sont de parités différentes, alors x + y est impair et xy est pair.
Dans tous les cas, P et S sont de parités différentes.
2) Les diviseurs positifs de 84 sont :
1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 7 - 12 - 14 - 21 - 28 - 42 – 84.
3) Les produits d’entiers naturels premiers entre eux égaux à 84 sont :
1×84 3×28 4×21 ou 7×12.
Si S = x + y et P = xy alors x ey y sont solutions de l’équation du second degré : X² - SX + P = 0.
3
Spécialité Terminale S
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IE4 Nombres premiers entre eux – Théorèmes de Bézout, Gauss et Fermat
CORRECTION
Donc le discriminant est T = S² - 4P.
Pour obtenir des solutions entières le discriminant doit être un carré parfait.
Etudions tous les cas possibles :
• S = 1 et P = 84 : impossible car S = x + y ≥ 2 car x et y sont non nuls.
• S = 84 et P = 1 : P = xy = 1 x = y = 1 et S = 2 ≠ 84
• S = 3 et P = 28 : T = 3² - 4×28 < 0
• S = 28 et P = 3 : T = 28² - 4×3 = 772 qui n’est pas un carré parfait.
• S = 4 et P = 21 : T = 4² - 4×21 < 0
• S = 21 et P = 4 : T = 21² - 4×4 = 425 qui n’est pas un carré parfait
• S = 7 et P = 12 : T = 7² - 4×12 = 1 = 1²
7+1
7–1
Les solutions sont alors x =
= 4 ou x =
= 3.
2
2
Les couples (x ;y) possibles sont donc (3 ;4) ou (4 ;3).
On vérifie que 3 et 4 sont bien premiers entre eux.
• S = 12 et P = 7 : T = 12² - 4×7 = 116 qui n’est pas un carré parfait
Conclusion : Les couples (x ;y) d’entiers naturels premiers entre eux vérifiant (x + y)xy = 84 sont
(3 ;4) et (4 ;3).
4) On pose a = dx et b = dy avec PGCD(x ;y) = 1
d(x + y) = 84
Le système s’écrit alors : 
xy = d
d doit être un diviseur de 84.
84

x+y=
d.
On a alors le système 
xy = d
84
En posant S =
et P = d on se ramène au problème de la question précédente.
d
On sait que ce système a des solutions entières pour P = 12.
84
= 7 = S.
Soit d = 12 ; on vérifie alors que
12
Les solutions en (x ;y) sont (3 ;4) et (4 ;3).
Les solutions en (a ;b) sont donc (3×12 ;4×12) = (36 ;48) et (48 ;36).
4
Spécialité Terminale S
S1 2010-2011
IE4 Nombres premiers entre eux – Théorèmes de Bézout, Gauss et Fermat
CORRECTION
Exercice 2 :
1) Déterminer un couple d’entiers relatifs (x ;y) vérifiant :
11x – 5y = 14.
2) Résoudre dans Z² l’équation 11x – 5y = 14.
3) Montrer qu’il existe un seul couple d’entiers relatifs (x ;y) tels que :
11x – 5y = 14 et 0 ≤ x ≤ 5.
/5
1) Le couple (1,2) est solution de l’égalité de Bézout correspondante : 11x – 5y = 1 car 11×1 - 5×2 = 1.
On en déduit que le couple (14 ;28) est une solution particulière de l’équation 11x – 5y = 14.
2) Soit (x ;y) un couple solution de l’équation, on a alors le système :
11x – 5y = 14

11×14 - 5×28 = 14
Par soustraction membre à membre, on obtient : 11(x – 14) – 5(y – 28) = 0
Soit 11(x – 14) = 5(y – 28)
Donc 5 divise 11(x – 14).
Or 5 et 11 sont premiers entre eux ; donc, selon le théorème de Gauss, 5 divise x – 14.
Il existe donc k entier tel que x = 14 + 5k.
On a alors : 11×5k = 5(y – 28)
Soit : y = 28 + 11k
Les solutions entières de l’équation 11x – 5y = 14 sont les couples (14 + 5k ;28 + 11k) avec k entier
relatif.
Réciproquement, on vérifie que les couples de la forme (14 + 5k ;28 + 11k) avec k entier relatif
vérifient bien l’équation.
3) 0 ≤ x ≤ 5 0 ≤ 14 + 5k ≤ 5 -14 ≤ 5k ≤ -9 k = -2
Le seul couple solution cherché est donc (4 ;6).
Exercice 3 :
1) Démontrer que, si le naturel n n’est pas un multiple de 7, alors n6 – 1 est un multiple de 7.
2) Démontrer que le produit n(n6 – 1) est divisible par 42 quelque soit l’entier naturel n.
3) Comment choisir n pour que ce produit soit divisible par 84 ?
/3
1) C’est une application directe du petit théorème de Fermat car 7 est premier et n n’étant un
multiple de 7, alors n7-1 Â 1 [7].
Donc n6 – 1 est divisible par 7.
2) La décomposition en produit de facteurs premiers de 42 est : 42 = 2×3×7.
n2 Â n [2] car 2 est premier.
n7 = (n²)3 × n Ân3 × n  n4  n²  n [2]
Donc n7 – n est divisible par 2.
n3 Â n [3] car 3 est premier.
n7 = (n3)2 × n Ân2 × n  n3  n [3]
Donc n7 – n est divisible par 3.
5
Spécialité Terminale S
S1 2010-2011
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CORRECTION
n7 Â n [7] car 7 est premier.
Donc n7 – n est divisible par 7.
2, 3 et 7 étant premiers entre eux on en déduit que n7 – n est divisible par 2×3×7 = 42.
Donc n(n6 – 1) est bien divisible par 42.
3) n7 – n étant divisible par 42, pour que n7 – n soit divisible par 84, il faut que n7 – n soit divisible
par 4.
Etudions tous les cas possibles de la division d’un entier par 4 :
• Si n  0 [4] alors n7 – n  0 [4]
• Si n  1 [4] alors n7 – n  0 [4]
• Si n  2 [4] alors n7 – n  126  2 [4]
• Si n  3 [4] alors n7 – n  2184  0 [4]
Conclusion : Pour que n(n6 – 1) soit divisible par 84, il faut que n soit de la forme n = 4k ou n = 4k +
1 ou n = 4k + 3 (avec k entier).
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Spécialité Terminale S
S2 2010-2011
IE4 Nombres premiers entre eux – Théorèmes de Bézout, Gauss et Fermat
CORRECTION
Exercice 1 :
/7
On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux.
On pose S = x + y et P = xy.
1) a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S
b) En déduire que S et P sont premiers entre eux.
c) Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes (l’un pair et l’autre impair).
2) Déterminer les diviseurs positifs de 70.
3) Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que SP = 70.
4) Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes :
a + b = 70

avec d = PGCD(a ;b)
3
ab = d
On pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux.
1) a) Soit d = PGCD(x ;S)
d | x et d | x + y ; donc d | x + y – x ; soit d |y
d | x et d | y donc d = 1 car PGCD(x ;y) = 1
PGCD(x ;S) = 1 donc x et S sont premiers entre eux.
De même, on pose d’= PGCD(y,S)
d’ | y et d’ | x + y ; donc d’ | x + y – y ; soit d’ | x
d’ | x et d’ | y donc d’ = 1 car PGCD(x ;y) = 1
PGCD(y ;S) = 1 donc y et S sont premiers entre eux.
b) PGCD(x ;S) = 1 et PGCD(y ;S) = 1 PGCD(xy ;S) = 1
Donc S et P sont premiers entre eux.
En effet, si PGCD(x ;S) = 1 alors selon le théorème de Bézout, il existe u et v entiers tels que xu
+ Sv = 1.
De même, si PGCD(x ;S) = 1 alors selon le théorème de Bézout, il existe u’ et v’ entiers tels que
yu’ + Sv’ = 1.
En multipliant membre à membre ces deux égalités, on obtient :
(xu + Sv)(yu’ + Sv’) = 1
Soit, en développant le membre de gauche :
xyuu’ + S(xuv’ + vyu’ + Svv’) = 1
uu’ et xuv’ + vyu’ + Svv’ sont des entiers, donc, selon le théorème de Bézout, xy et S sont
premiers entre eux.
c) Raisonnons par disjonction des cas selon les parités possibles de x et y.
x et y ne sont pas pairs car sinon PGCD(x ;y) ≥ 2.
Si x et y sont impairs, alors x + y est pair et xy est impair.
Si x et y sont de parités différentes, alors x + y est impair et xy est pair.
Dans tous les cas, P et S sont de parités différentes.
2) Les diviseurs positifs de 70 sont :
1 - 2 - 5 - 7 - 10 - 14 - 35 – 70.
3) Les produits d’entiers naturels premiers entre eux égaux à 84 sont :
1×70 2×35 5×14 ou 7×10.
Si S = x + y et P = xy alors x ey y sont solutions de l’équation du second degré : X² - SX + P = 0.
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Spécialité Terminale S
S2 2010-2011
IE4 Nombres premiers entre eux – Théorèmes de Bézout, Gauss et Fermat
CORRECTION
Donc le discriminant est T = S² - 4P.
Pour obtenir des solutions entières le discriminant doit être un carré parfait.
Etudions tous les cas possibles :
• S = 1 et P = 70 : impossible car S = x + y ≥ 2 car x et y sont non nuls.
• S = 70 et P = 1 : P = xy = 1 x = y = 1 et S = 2 ≠ 84
• S = 2 et P = 35 : T = 2² - 4×35 < 0
• S = 35 et P = 2 : T = 35² - 4×2 = 1217 qui n’est pas un carré parfait.
• S = 5 et P = 14 : T = 5² - 4×14 < 0
• S = 14 et P = 5 : T = 14² - 4×5 = 176 qui n’est pas un carré parfait
• S = 7 et P = 10 : T = 7² - 4×10 = 9 = 3²
7+3
7–3
Les solutions sont alors x =
= 5 ou x =
= 2.
2
2
Les couples (x ;y) possibles sont donc (2 ;5) ou (5 ;2).
On vérifie que 2 et 5 sont bien premiers entre eux.
• S = 10 et P = 7 : T = 10² - 4×7 = 72 qui n’est pas un carré parfait
Conclusion : Les couples (x ;y) d’entiers naturels premiers entre eux dont vérifiant (x+y)xy = 70
sont (2 ;5) et (5 ;2) .
4) On pose a = dx et b = dy avec PGCD(x ;y) = 1
d(x + y) = 70
Le système s’écrit alors : 
xy = d
d doit être un diviseur de 70.
70

x+y=
d.
On a alors le système 
xy = d
70
En posant S =
et P = d on se ramène au problème de la question précédente.
d
On sait que ce système a des solutions entières pour P = 10.
70
= 7 = S.
Soit d = 10 ; on vérifie alors que
10
Les solutions en (x ;y) sont (2 ;5) et (5 ;2).
Les solutions en (a ;b) sont donc (2×10 ;5×10) = (20 ;50) et (50 ;20).
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Spécialité Terminale S
S2 2010-2011
IE4 Nombres premiers entre eux – Théorèmes de Bézout, Gauss et Fermat
CORRECTION
Exercice 2 :
1) Déterminer un couple d’entiers relatifs (x ;y) vérifiant :
13x – 3y = 11.
2) Résoudre dans Z² l’équation 13x – 3y = 11.
3) Montrer qu’il existe un seul couple d’entiers relatifs (x ;y) tels que :
13x – 3y = 11 et 0 ≤ x ≤ 3.
/5
1) Le couple (1,4) est solution de l’égalité de Bézout correspondante : 13x – 3y = 1 car 13×1 - 3×4 = 1.
On en déduit que le couple (11 ;44) est une solution particulière de l’équation 13x – 3y = 11.
2) Soit (x ;y) un couple solution de l’équation, on a alors le système :
13x – 3y = 11

13×11 - 3×44 = 12
Par soustraction membre à membre, on obtient : 13(x – 11) – 3(y – 44) = 0
Soit 13(x – 11) = 3(y – 44)
Donc 3 divise 13(x – 11).
Or 3 et 13 sont premiers entre eux ; donc, selon le théorème de Gauss, 3 divise x – 11.
Il existe donc k entier tel que x = 11 + 3k.
On a alors : 13×3k = 3(y – 44)
Soit : y = 44 + 13k
Les solutions entières de l’équation 13x – 3y = 12 sont les couples (11 + 3k ;44 + 13k) avec k entier
relatif.
3) 0 ≤ x ≤ 3 0 ≤ 11 + 3k ≤ 3 -11 ≤ 3k ≤ -8 k = -3
Le seul couple solution cherché est donc (2 ;5).
Exercice 3 :
1) Démontrer que, si le naturel n n’est pas un multiple de 11, alors n10 – 1 est un multiple de 11.
2) Démontrer que le produit n(n10 – 1) est divisible par 66 quelque soit l’entier naturel n.
3) Comment choisir n pour que ce produit soit divisible par 132 ?
/3
1) C’est une application directe du petit théorème de Fermat car 11 est premier et n n’étant un
multiple de 11, alors n11-1 Â 1 [11].
Donc n6 – 1 est divisible par 7.
2)
La décomposition en produit de facteurs premiers de 66 est : 66 = 2×3×11.
2
n  n [2] car 2 est premier.
n11 = (n²)5 × n Ân5 × n  n6  (n²)3  n3  n2×n  n²  n [2]
Donc n11 – n est divisible par 2.
n3 Â n [3] car 3 est premier.
n11 = (n3)3 × n² Ân3 × n² Â n3 Â n [3]
Donc n11 – n est divisible par 3.
n11 Â n [11] car 11 est premier.
Donc n11 – n est divisible par 7.
9
Spécialité Terminale S
S2 2010-2011
IE4 Nombres premiers entre eux – Théorèmes de Bézout, Gauss et Fermat
CORRECTION
2, 3 et 11 étant premiers entre eux on en déduit que n11 – n est divisible par 2×3×11 = 66.
Donc n(n11 – 1) est bien divisible par 66.
3)
n11 – n étant divisible par 66, pour que n11 – n soit divisible par 132, il faut que n11 – n soit divisible
par 4.
Etudions tous les cas possibles de la division d’un entier par 4 :
•
Si n  0 [4] alors n11 – n  0 [4]
•
Si n  1 [4] alors n11 – n  0 [4]
•
Si n  2 [4] alors n11 – n  2046  2 [4]
•
Si n  3 [4] alors n11 – n  177144  0 [4]
Conclusion : Pour que n(n10 – 1) soit divisible par 132, il faut que n soit de la forme n = 4k ou n = 4k +
1 ou n = 4k + 3 (avec k entier).
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