CORRECTION : NOMBRES ENTIERS Exercice 1 : Est divisible par 5124 5121 5130 5120 5125 2 oui oui 4 oui oui 3 oui 9 5 oui oui oui oui oui Exercice 2 : Tous les nombres divisibles à la fois par 2 et par 9 sont :1530 ; 1332 ; 1134 ;1936 ; 1638 Exercice 3 : Je suis un nombre compris entre 700 et 800, je suis divisible par 17 et par 9. Qui suis-je ? 17x9= 153 153 x 5 = 765 . Je suis 765 Exercice 4 : Sans calculatrice prouver que a) : 1248 se termine par 48 donc est divisible par 4 et 1 + 2 + 4 + 8 = 18 donc 1248 est aussi divisible par 3 b) 2575 = 25 x 515 ; 2575 est divisible par 5 c) : 6 + 1 = 7 ; 671 = 11 x 61 ; 671 est divisible par 11 Exercice 5: Vérifier que : 740 = 5 x 148 Démontrer que si d est diviseur de 148 alors d est diviseur de 740. Si d diviseur148 , il existe k tel que 148 = k x d donc comme 740 = 5 x 148 740 = 5 x k x d donc d est diviseur de 740. Exercice 6 : 7320 = Avec la calculatrice, on a trouvé que 14,00229…… 522 7320 a) 14 < < 15 522 b) 14 x 522< 7320 < 15 x 522 7308< 7320 < 7830 c) .Le quotient de la division euclidienne de 7320 par 522 est 14 le reste est 7320 – 7308 = 12. Exercice 7 : a) L’égalité de la division euclidienne de 357 par 12 est 357 = 12 x 29 + 9 357 b b) L’écriture de sous la forme a + où a, b, c sont des entiers tels que c 12 357 = 29 + 9 0 < b < c est 12 12 Exercice 8 Calculer le PGCD des nombres suivants en utilisant l’algorithme d’Euclide : 837 et 1085 est 31 9615 et 518 sont premiers entre eux Exercice 9 : 3 =1 12 4 15 = 3 25 5 500 = 10 350 7 135 = 3 180 4 Exercice 10 : Rendre irréductible les fractions suivantes avec l’algorithme d’Euclide 2332 = 283 × 4 = 4 PGCD (47223 ;2332) = 283 donc 47223 283 × 81 81 30227 PGCD (36019 ;30227) = 1 donc est irréductible 36019 3172 = 61 × 52 = 52 PGCD (3172 ;915) = 61 donc 915 61 × 15 15 Exercice 11 : Déterminer si les nombres suivants sont premiers entre eux : PGCD (3357 ;485) = 1 donc 3357 et 485 sont premiers entre eux PGCD (1284 ;535) = 107 donc 1284 et 535 ne sont pas premiers entre eux. Exercice 12 : PGCD (2622 ;2530) = 46 • 2622 = 46x 57 2530 = 46 x 55 • 2622 = 23 x 114 2530 = 23 x 110 • 2622 = 2 x 1311 2530 = 2 x 1265 Donc il peut fabriquer : • Soit 46 paquets de 57 œufs en chocolat et 55 poissons • Soit 46 paquets de 114 œufs en chocolat et 110 poissons • Soit 46 paquets de 1311 œufs en chocolat et 1265 poissons Exercice 13 : a) PGCD (608;480) = 32 donc le nombre de page d’un cahier est 32. b) 480 = 32 x 15 et 608 = 32 x 19 donc l’un des livres est composé de 15 cahiers de 32 pages, l’autre est composé de 19 cahiers de 32 pages. Exercice 14 : Entiers 5 56 = 8 10 7 1 + 1 + 1 = 6 =1 2 3 6 6 ( − 3) 2 2 = 3 =3 Décimaux non entiers 9 = 3 = 1,5 4 2 10−7 Rationnels et non décimaux 2 3 Irrationnels (3 + 2 ) 7 10Π 2 = 11 + 6 2 Exercice 15 : a) 2 2 a +b = 2 2 2 2 ( ) ( 2 17 − 5 + 17 + 5 ) 2 a + b = 17 − 2 17 × 5 + 5 + 17 + 2 17 × 5 + 5 ab = ( 17 − 5 )( 17 + 5 ab = 17 − 5 = 12 a + b = 44 donc a² + b² et ab sont des entiers 2 2 2 2 b) a + b = a + b = a + b = 44 = 11 donc c’est un nombre rationnel. b a ab ab ab 12 3 )