Alg`ebre bilinéaire et analyse de Fourier, précis de cours. 1. Séries

Alg`ebre bilin´eaire et analyse de Fourier, pr´ecis de cours.
1. S´ eries num´ eriques.
D´efinition 1. Soit (un) une collection de nombres r´eels ou complexes,
index´es par les entiers naturels. Nous denotons par (Pn≥0un) (resp.
(Pn≥mun)) la suite de sommes partielles
sk=u0+u1+u2+. . . uk,
(resp.
sk=um+um+1 +. . . uk+m.)
Nous appelons cette suite la s´erie de terme g´en´erale un.
D´efinition 2. Soit (un)n≥mune suite infinie et consid´erons la s´erie
(Pn≥mun). Nous disons que la s´eries (Pn≥mun) admet comme limite
le nombre fini lsi la suite (sk)k≥0de sommes partielles converge vers l,
lim
0k→∞ sk=l.
Dans ce contexte, nous disons que lest la somme de la s´erie (Pn≥mun)
et nous ´ecrivons ∞
X
n≥m
un=l.
Remarque 1.1 (Lin´earit´e des s´eries).Soient (Pn≥mun) et (Pn≥mvn)
deux s´eries convergeantes r´eelles ou complexes, de limites uet vres-
pectivement. Alors pour tout λ, µ ∈C, la s´erie
(X
n≥m
λun+µvn)
est convergeante, avec limite λu +µv.
Lemme 1.2. Soit (Pn≥mun)une s´erie r´eelle dont toutes les termes
unsont positives. Pour tout k≥msoit skla somme partielle
sk=
k+m
X
m
un.
Il y a alors deux possibilit´es
(1) la suite (sk)k≥0converge vers une limite finie l. Autrement dit,
la s´eries (Pn≥mun)est convergente
(2) la suite de sommes partielles (sk)k≥0tend vers +∞.
D´efinition 3. Soit (Pn≥mun) une s´erie. On dit que (Pn≥mun) est
absolument convergeant si la s´erie (Pn≥m|un|) est convergeante.
Proposition 1.3. Toute s´erie absolument convergeante est conver-
geante.
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Corollaire 1.4. Soient (Pn≥mun),(Pn≥mvn)des s´eries `a termes po-
sitives. Alors :
(1) Si un≤vnpour tout net (Pn≥mvn)converge alors (Pn≥mun)
converge aussi.
(2) Si un∼n→∞ u0
nalors la s´erie (Pn≥mun)converge si et seule-
ment si la s´erie (Pn≥mvn)converge aussi.
Proposition 1.5 (Crit`ere de Riemann.).Pour tout nombre r´eel positif
s > 0la suite infinie
X
n≥1
1
ns!
diverge si s≤1et converge si s > 1.
2. Rappels d’alg` ebre lin´ eaire.
D´efinition 4. Un R-espace vectoriel est un ensemble Vmuni d’une loi
interne
V×V→V, (x, y)7→ x+y,
et d’une loi externe
R×V→V, (λ, x)7→ λ·x,
appel´ee parfois multiplication par un scalaire, satisfaisant aux pro-
pri´et´es suivantes :
(1) Il existe un ´el´ement 0V∈Vtel que 0V+x=x+ 0V=xpour
tout x∈V.
(2) x+ (y+z)=(x+y) + zpour tout x, y ∈V
(3) x+y=y+xpour tout x, y ∈V
(4) Pour tout x∈V, il existe un ´el´ement x0∈Vtel que x+x0=
x0+x= 0V.
Cet ´el´ement x0est alors unique, et est not´e −x.
(5) 1 ·x=xpour tout x∈M
(6) (λµ)·x=λ·(µ·x) pour tout λ, µ ∈R, x ∈V
(7) λ·(x+y) = λ·x+λ·ypour tout x, y ∈V, λ ∈R
(8) (λ+µ)·x=λ·x+µ·xpour tout x∈V, λ, µ ∈R.
Remarque 2.1. Grosso modo, un R-espace vectoriel est un ensemble
dans lequel :
— on peut additionner des ´el´ements,
— on peut multiplier des ´el´ements par des scalaires r´eels,
— cette addition et cette multiplication satisfont les mˆemes r`egles
alg`ebriques que l’addition et multiplication habituelle dans R.
Dans un C-espace vectoriel il existe une multiplication par des scalaires
complexes.

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D´efinition 5. Soit Vun R-espace vectoriel. Un sous-espace vecto-
riel Wde Vest un sous-ensemble de W⊂Vnon vide, tel que
(1) pour tout w1, w2∈Wnous avons que w1+w2∈W
(2) pour tout w1∈Wet λ∈Rnous avons que λw1∈W
D´efinition 6. Soit Vun espace vectoriel r´eel. Une famille ordonn´ee
d’´el´ements de V,e= (e1, . . . , en) est une base (finie) pour Vsi pour
tout ´el´ement v∈Vil existe des uniques scalaires λ1, λ2, . . . , λntels que
v=λ1e1+λ2e2+. . . +λnen.
D´efinition 7. Avec les notations de la d´efinition 6, nous dirons que le
vecteur colonne 
λ1
λ2
.
.
.
λn
est le vecteur des coordonn´ees de vdans la base e.
D´efinition 8. Lorsqu’un espace vectoriel Vposs`ede une base finie on
dit que Vest de dimension finie. Toutes les bases de Vont alors le
mˆeme nombre d’´el´ements (nous admettrons ce th´eor`eme) : ce nombre
s’appelle la dimension de V.
Lemme 2.2. Soit Vun espace vectoriel de dimension net soit (e1, . . . , en)
une famille de nvecteurs dans V. Si la famille (e1, . . . , en)est libre
(c’est `a dire que Pλiei= 0V⇒λi= 0 ∀i) alors elle est une base.
D´efinition 9. Soit Vun espace vectoriel de dimension net soient
e= (e1, . . . , en) et f= (f1, . . . , fn) des bases de V. Soit Vile vecteur de
coordonn´es de fidans la base (e1, . . . , ed). Alors, la matrice de passage
de evers fest la matrice
P= (V1, . . . , V n).
Th´eor`eme 2.3. Soient e1et e2des bases de Vet soit vun ´el´ement
de V. Soient V1et V2les vecteurs de coordonn´es de vdans les bases
e1et e2. Soit Pla matrice de passage de B1vers B2. Alors
V1=P V 2
ou, de fa¸con ´equivalente
V2=P−1V1
D´efinition 10. Soient Vet V0deux R-espaces vectoriels.
Une application lin´eaire de Vdans V0est une application f:V→V0
v´erifiant
(1) f(v1+v2) = f(v1) + f(v2) pour tous v1, v2∈V
(2) f(λv) = λf(v) pour tous λ∈R, v ∈V

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D´efinition 11. Le noyau de f, not´e Ker(f), est l’ensemble
Ker(f) = {v∈V|f(v)=0}(⊆V).
C’est un sous-espace vectoriel de V.
D´efinition 12. L’image de f, not´ee Im(f), est l’ensemble
Im(f) = {f(v), v ∈V} ⊆ V0.
C’est un sous-espace vectoriel de V0.
Th´eor`eme 2.4. Soit f:V→Wune application lin´eaire. On suppose
que Vest de dimension finie. Alors on a que Im(f)est de dimension
infinie et
dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).
D´efinition 13. Etant donn´es deux entiers met nstrictement positifs,
une matrice `a mlignes et ncolonnes est un tableau rectangulaire de
r´eels A= (ai,j). L’indice de ligne iva de 1 `a m, l’indice de colonne j
va de 1 `a n.
A= (ai,j) = 
a1,1··· a1,j ··· a1,n
.
.
..
.
..
.
.
ai,1··· ai,j ··· ai,n
.
.
..
.
..
.
.
am,1··· am,j ··· am,n
.
Les entiers met nsont les dimensions de la matrice, ai,j est son coef-
ficient d’ordre (i, j).
D´efinition 14. ´ Etant donn´ee une matrice A= (ai,j) de Mm,n(R), sa
transpos´ee est la matrice de Mn,m(R) dont le coefficient d’ordre (j, i)
est ai,j.
Proposition 2.5. Soient m, n, p trois entiers strictement positifs. Soient
A= (ai,j)une matrice de Mm,n(R)et B= (bj,k)une matrice de
Mn,p(R). La transpos´ee du produit de Apar Best le produit de la
transpos´ee de Bpar la transpos´ee de A.
t(AB) = t
Bt A .
D´efinition 15. Soit nun entier strictement positif et Aune matrice
carr´ee `a nlignes et ncolonnes. On dit que Aest sym´etrique si pour
tous i, j = 1, . . . , n, ses coefficients d’ordre ai,j et aj,i sont ´egaux, ce qui
est ´equivalent `a dire que Aest ´egale `a sa transpos´ee.
Lemme 2.6. Soit M∈Mn(R)une matrice carr´ee n×n. Si pour tout
X, Y ∈Rnnous avons que tXMY = 0 alors M= 0.

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3. Formes bilin´ eaires.
D´efinition 16. Soient Vet V0deux R-espaces vectoriels, et soit ϕ:
V×V0→Rune application de V×V0dans R.
On dit que ϕ:V×V0→Rest une forme bilin´eaire si :
(1) pour tout v1, v2∈Vet v0∈V0nous avons que ϕ(v1+v2, v0) =
ϕ(v1, v) + ϕ(v2, v0)
(2) pour tout v∈Vet v0
1, v0 2∈V0nous avons que ϕ(v, v0 1+v0 2) =
ϕ(v, v0
1) + ϕ(v, v0 2)
(3) pour tout v∈V,v0∈V0et λ∈Rnous avons que ϕ(λv, v0) =
ϕ(v, λv0) = λϕ(v, v0).
Dans le cas ou V=V0, on dit que ϕ:V×V→Rest sym´etrique si
ϕ(y, x) = ϕ(x, y) pour tout x, y ∈V, et on dit que ϕ:V×V→Rest
antisym´etrique si ϕ(y, x) = −ϕ(x, y) pour tout x, y ∈V.
D´efinition 17. Soit Vun espace vectoriel sur Ret soit ϕ:V×V→R
une forme bilin´eaire sym´etrique. Alors la forme quadratique associ´ee `a
ϕ, not´ee qϕ, est la fonction
qϕ:V→R, qϕ(v) = ϕ(v, v).
Lemme 3.1. Soit Vun espace vectoriel, ϕune forme bilin´eaire sur
V×Vet qϕla forme quadratique associ´ee. Alors pour tout v, w ∈V
on a que
ϕ(v, w) = 1
2(qϕ(v+w)−qϕ(v)−qϕ(w))
qϕ(v+w) + qϕ(v−w) = 2(qϕ(v) + qϕ(w)).
Remarque 3.2. Ces formules sont les g´en´eralisations des r´elations
suivantes sur R:
2xy = (x+y)2−x2−y2.
(x+y)2+ (x−y)2= 2(x2+y2).
D´efinition 18. Soit Vun R-espace vectoriel de dimension finie n, soit
e= (e1, . . . , en) une base de V, et soit ϕ:V×V→Rune forme
bilin´eaire. La matrice repr´esentative de ϕdans la base eest la
matrice n×n,M, dont les coefficients sont donn´es par
Mi,j = (ϕ(ei, ej))1≤i,j≤n.
Lemme 3.3. Soit Vun espace vectoriel de dimension finie n. Soient
x, y ∈V, et soit e= (e1, . . . , en)une base de V. Finalement, soient
X=
x1
.
.
.
xn
et Y=
y1
.
.
.
yn
les vecteurs coordonn´ees de xet ydans la
base e(autrement dit x=
n
X
i=1
xiei, y =
n
X
i=1
yiei). Soit ϕ:V×V→R