Feuille2

Alg` ebre 2008-2009
Feuille 2
1. Soit pun nombre premier. a) Montrer que Z/pZest un anneau local, quel est son ideal
maximal? b) Soit kun corps et x. La mˆeme question pour k[x]/(xn), o`u k[x] est l’anneau des
polynˆomes en une variable x.
2. Soit A=k[x, y] et I= (x, y)⊂Al’id´eal engendr´e par x, y. Montrer que Iest sans torsion,
mais In’est pas libre en tant que A-module.
3. Soit kun corps et Eun k-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que f∈Endk(E) est
un diviseur de z´ero dans Endk(E) si et seulement si fn’est pas un isomorphisme.
4. Soit I⊂Aun id´eal dans un anneau A. Montrer que Matn(I)⊂Matn(A) est un id´eal bilat`ere
et Matn(A)/Matn(I)f→Matn(A/I).
5. Soit Aun anneau, I1, I2⊂Ades id´eaux. On dit que I1et I2sont premiers entre eux
si I1+I2=A. Supposons que I1et I2sont premiers entre eux et I1∩I2= 0. Etablir un
isomorphisme Af→(A/I1)×(A/I2) (Th´eor`eme des restes chinois).
6. Soit Aun anneau commutatif. Soit (p) le noyau de l’homomorphisme Z→Aqui envoie a
sur a·1. On dit que Aest de caracteristique p. Supposons p > 0.
a) Montrer que l’application A→A,x7→ xpest un homomorphisme d’anneaux.
b) Supposons que Aest un corps. Montrer que si p > 0 alors pest premier.
c) Supposons que Aest un corps fini a qelement. Montrer que sa caracteristique pest un
nombre premier et q=prpour certain r > 0.
7. Soit Aun anneau et N1⊂N2⊂N3trois A-modules `a gauche.
a) Montrer que (N3/N1)/(N2/N1)f→N3/N2.
b) Soit Mun A-module et M1, M2⊂Mles sous-modules. Montrer que
(M1+M2)/M2f→M1/(M1∩M2)
8. Soit
u=
010
001
000
in Mat3(Q). On pose
x=u0
0u2, y =0 1 0 0 ,
o`u 0 et 1 sont des matrices z´ero et l’unit´e dans Mat3(Q). Donc, x, y ∈Mat6(Q). V´erifier les
´equations x3= 0 = y2et yx =x2y.
Soit Rle sous-anneau de Mat6(Q) engendr´e par Q,xet y. Montrer que tout ´el´ement zde
Rest de la forme z=f(x) + g(x)y, o`u f(x) = ax2+bx +cet g(x) = a0x2+b0x+c0avec
a, b, c, a0, b0, c0∈Q. Montrer que
1

a) si c= 0 alors zest nilpotent;
b) si c6= 0 alors zest inversible.
9. Montrer que pour des entiers n, m > 0 on a (Z/nZ)⊗Z(Z/mZ)f→Z/dZ, o`u d=pgcd(n, m).
En particulier, ce produit tensoriel est nul su net msont premiers entre eux.
10. Soit Aun anneau commutatif. Pour un A-module Msur Anotons M∗= HomA(M, A),
c’est un A-module. Montrer que pour les A-modules libres de type fini on a les isomorphismes
canoniques
•HomA(E1, E2)⊗AHomA(V1, V2)f→HomA(E1⊗V1, E2⊗V2);
•EndA(E)⊗AEndA(V)f→EndA(E⊗V);
•E∗⊗Ff→HomA(E, F )
•E∗⊗F∗f→(E⊗F)∗
11. Soit Aun anneau commutatif et S⊂Aune partie multiplicatif. Montrer que si une suite des
A-modules 0 →M1→M2→M3→0 est exacte alors 0 →S−1M1→S−1M2→S−1M3→0
est aussi exacte.
12. Soit 0 →M1→M2→M3→0 une suite exacte des A-modules et Nun A-modules. Montrer
que la suite 0 →Hom(M3, N)→Hom(M2, N)f →Hom(M1, N) est exacte. Est-ce qu’elle est
toujours exacte `a droite, c.-`a-d., est-ce que fest toujours surjectif? Mˆeme question pour la suite
0→Hom(N, M1)→Hom(N, M2)→Hom(N, M3)
13. Soit Aun anneau commutatif. Etablir un isomorphisme A[x, y]f→A[x]⊗AA[y] pour les
anneaux des polynˆomes (c’est un isomorphisme des A-alg`ebres).
14. Soit Aun anneau commutatif, Miun A-module libre de rang ni. Montrer que M1⊗M2est
un A-module libre de rang n1n2.
15. Soit A=R[x]/(x2−2). Etablir un isomorphisme des C-alg`ebres A⊗RCf→C×C. Quelle
est la structure de l’anneau C⊗RC?
16. Soit Aun anneau et B=A[x1, . . . , xn] l’anneau des polynˆomes. Etablir un isomorphisme
des A-alg`ebres B[xn+1]f→A[x1, . . . , xn+1].
17. Soit Aun anneau commutative, Best une A-alg`ebre et I⊂A[x] un id´eal. Etablir les
isomorphismes A[x]⊗ABf→B[x] et (A[x]/I)⊗ABf→B[x]/˜ I, o`u ˜ Iest l’id´eal engendr´e par
σ(f(x)) pour f(x)∈I. Ici σ:A[x]→B[x] est l’application naturelle.
18. Soit kun corps et a, b ∈k. Soit A=k[x] et M=k[x]/(x−a). Soit S={f∈k[x]|f(b)6= 0}.
D´ecrire M⊗AS−1Aen tant que S−1A-module.
19. Soit kun corps et a∈k. Calculer le groupe d’´el´ements inversibles dans k[x, 1
x−a].
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20. Si 0 →M1→M2→M3→0 est une suite exacte des A-modules et Best une A-alg`ebre,
montrer que M1⊗B→M2⊗B→M3⊗B→0 est exacte.
21. Soit Mun A-module de type fini, Best une A-alg`ebre. Montrer que M⊗ABest un
B-module de type fini.
21. Donner un example d’un A-module Mavec un sous-module N⊂Mtel que il n’y a pas de
complementaire de Ndans M(c.a.d., un sous-module V⊂Mtel que V⊕N=M).
22. Soit Aun anneau local commutatif, Met Nles A-modules libres de rang n, m. Si f:M→N
est un homomorphisme surjectif des A-modules, alors il admet une section s:N→M(c.a.d.,
f◦s= id). En plus, Ker fest libre de rang n−met M= Im s⊕Ker f.
23. Soit Aun anneau local commutatif, Met Nles A-modules et f:M→Nun homomoprhisme
des A-modules. Alors, fest surjectif ssi M⊗Ak→N⊗Akl’est, o`u kest le corps r´esiduel.
24. Soit Aun anneau local commutatif, f:An→Anapplication A-lin´eaire donn´ee par une
matrice B∈Matn(A). Alors, fest un isomorphisme des A-modules ssi Best inversible ssi B
mod mest inversible. Ici m⊂Aest l’id´eal maximal.
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