Modules et anneaux principaux (TD6)

Modules et anneaux principaux (TD6)
FIMFA Algèbre 2 (Tony Ly), Avril 2013
Exercice 1
Trouver les facteurs invariants du Z-module
Z/4Z ⊕ Z/8Z ⊕ Z/6Z ⊕ Z/18Z ⊕ Z/7Z.
Exercice 2
Soient n ≥ 1 un entier et f un endomorphisme de Zn de déterminant non nul. Montrer que l'indice
de l'image de f dans Zn est égal à la valeur absolue du déterminant de f .
Exercice 3
Soit A un anneau commutatif unitaire intègre tel que tout idéal de A est de type ni. Montrer que
A est principal si et seulement si tout module de type ni sans torsion sur A est libre.
Exercice 4
Soient K un corps, n ≥ 1 un entier et P ∈ K[X] un polynôme unitaire de degré n. On note p
la fonction partition, qui à un entier i ≥ 1 associe le nombre de façons distinctes de représenter i
comme somme d'entiers.
a) Exprimer, en fonction de la décomposition en facteurs irréductibles de P , le nombre de classes
de similitude de matrices de Mn (K) ayant P pour polynôme caractéristique.
b) Expliciter le résultat pour P = X 2 (X − 1)3 (X + 1).
Exercice 5 (Lemme de Schur)
Soit A un anneau commutatif unitaire. Un A-module est dit simple s'il est non nul et ne possède
pas de sous-module propre non trivial.
a) Prouver que tout module simple est isomorphe à un A/M où M est un idéal maximal de A.
b) Montrer que tout morphisme f : M1 → M2 entre deux A-modules simples est soit nul, soit
un isomorphisme.
c) En déduire que l'anneau d'endomorphismes d'un module simple est une algèbre à division.
Exercice 6
Donner des exemples :
1) d'un anneau A et d'une famille libre à n éléments de An qui n'est pas une base de An ;
2) d'une famille génératrice minimale de An qui n'est pas une base ;
3) d'un sous-module qui n'a pas de supplémentaire ;
4) d'un sous-module d'un module libre qui n'est pas libre ;
5) d'un Z-module qui n'a pas de famille génératrice minimale.
Exercice 7
Soient A un anneau commutatif unitaire et M, N deux modules libres sur A. Soit ϕ : M → N une
application linéaire injective.
V
V
V
a) Montrer que d ϕ : d M → d N est injective pour tout d ≥ 1.
b) Supposons M = Am et N = An . En déduire que l'on a n ≥ m.
Soit ψ : An → An une application linéaire.
c) Montrer que ψ est injective si et seulement si det ψ n'est pas diviseur de zéro dans A.
1
Exercice 8 (Théorème des deux carrés)
On considère l'anneau Z[i] des entiers de Gauss.
a) Rappeler pourquoi Z[i] est euclidien.
Soient M un Z-module de type ni et supposons l'existence d'un endomorphisme J de M vériant
J 2 = −1.
b) Munir M d'une structure de Z[i]-module de type ni.
Supposons M libre en tant que Z-module.
c) Montrer que M est libre en tant que Z[i]-module.
d) Montrer que le rang de M sur Z est pair,
disons égal
à 2r, et qu'il existe une base du Z-module
M dans laquelle la matrice de J est
0 −Ir
Ir
0
.
Soit x = a + ib un élément non nul de Z[i].
e) Montrer que Z[i]/(x) est ni, de cardinal a2 + b2 .
Soient p un nombre premier impair et Σ = {a2 + b2 | a, b ∈ N}.
f) En munissant Z/pZ d'une structure de Z[i]-module, montrer que p est dans Σ si et seulement
si p est congru à 1 modulo 4.
Exercice 9
Soient A un anneau commutatif unitaire et X un ensemble. On note AX le A-module des fonctions
de X dans A et A(X) son sous-module des fonctions à support ni.
a) Dénir une application bilinéaire naturelle ( , ) : AX × A(X) → A.
∼
b) Montrer que ( , ) induit un isomorphisme de A-modules AX −
→ HomA (A(X) , A).
c) Montrer que ( , ) induit une injection φ : A(X) ,→ HomA (AX , A).
ψ: E →
ZN .
ϕ 7→ ϕ(δi,j )j i
d) En considérant les images par ϕ de suites de la forme (2n an )n et (3n bn )n , montrer que tout
élément ϕ ∈ E qui s'annule sur Z(N) est identiquement nul.
e) En regardant les images de suites de la forme (2in )n , montrer que ψ a image dans Z(N) .
f) En déduire que φ est un isomorphisme de Z-modules.
g) Conclure que ZN n'est pas un Z-module libre.
On suppose A = Z et X = N. On note E = HomZ (ZN , Z) et on dénit
Exercice 10
Soient A un anneau commutatif unitaire et M un A-module.
a) Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
(i) pour toute suite exacte E1 → E2 → E3 , la suite M ⊗A E1 → M ⊗A E2 → M ⊗A E3 est
exacte ;
(ii) pour toute suite exacte 0 → E1 → E2 → E3 → 0, la suite 0 → M ⊗A E1 → M ⊗A E2 →
M ⊗A E3 → 0 est exacte ;
(iii) pour toute suite exacte 0 → E1 → E2 , la suite 0 → M ⊗A E1 → M ⊗A E2 est exacte.
Lorsque ces conditions sont satisfaites, on dit que M est un A-module plat.
b) Supposons A intègre. Montrer que si M est plat sur A alors M est sans torsion.
Soient k un corps, A1 = k[X, Y ] et M1 l'idéal (X, Y ) de A1 .
c) Montrer qu'il existe une application A1 -bilinéaire f : M1 × M1 → A1 /M1 telle que f (X, Y ) −
f (Y, X) soit non nul.
d) En déduire que M1 est sans torsion mais n'est pas plat sur A1 .
Soient A2 = k[T 2 , T 3 ] ⊆ k[T ] et M2 l'idéal (T 2 , T 3 ) de A2 .
e) Montrer que M2 est sans torsion mais n'est pas plat sur A2 .
2