Topologie g´en´erale

2014/15 - Master 1 - M416 - Topologie
——
TD1 - Topologie g´ en´ erale
Exercice 1.
Soit Xun ensemble. Vérifier que l’ensemble vide et les complémentaires de parties finies de Xforment
une topologie sur X, appelée topologie cofinie.
Exercice 2. (Base pour une topologie)
Soit Xun ensemble. Une base pour une topologie sur X est un ensemble Bde parties de Xtel que
(i) pour tout x∈X, il existe B∈ B contenant x;
(ii) pour tous B1,B2∈ B et tout x∈B1∩B2, il existe B3∈ B tel que x∈B3⊂B1∩B2.
a. Montrer qu’une partie Ude Xest une réunion de d’éléments de Bsi et seulement si pour tout x∈U,
il existe B∈ B tel que x∈B⊂U.
b. Montrer que l’ensemble TBdes parties de Xvérifiant les conditions équivalentes de la question
précédente est une topologie sur X, appelée la topologie engendrée par B.
c. Verifier que Bengendre bien la topologie TB, i.e., que TBest la plus petite (au sens de l’inclusion)
topologie sur Xcontenant contenant B.
c. Montrer que l’ensemble des boules ouvertes d’espace métrique (X,d) est une base pour une topolo-
gie sur X. La topologie sur Xengendrée par cette base s’appelle la topologie induite par la distance d.
Exercice 3. (Base d’une topologie)
Soit Xun espace topologique. Une base pour la topologie de X est une base pour une topologie sur X
qui engendre la topologie de X.
a. Soit Bun ensemble d’ouverts de X. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Best une base pour la topologie de X;
(ii) pour tout ouvert Ude Xet tout x∈U, il existe B∈ B tel que x∈B⊂U;
(iii) les ouverts de Xsont les réunions d’ouverts dans B.
b. Soient X,Ydes espaces topologiques et Bune base pour la topologie de Y. Montrer qu’une applica-
tion f:X→Yest continue si et seulement si pout tout B∈ B,f−1(B) est un ouvert de X.
Exercice 4.
Soient Bl’ensemble des intervalles ouverts ]a,b[ et B′l’ensemble des intervalles demi-ouverts [a,b[,
où a,bsont des nombres réels tels que a<b. Montrer que Bet B′sont des bases pour une topologie
sur R. Comparer les topologies sur Rqu’elles engendrent.
Exercice 5. (Topologie produit)
Soient Xet Ydeux espaces topologiques. On munit X×Ydu la topologie produit, c’est-à-dire de la
topologie engendrée par la base B={U×V|Uouvert de X,Vouvert de Y}.
a. Verifier que Best bien une base pour une topologie sur X×Y.
b. Montrer que les projections p1:X×Y→Xet p2:X×Y→Ysont continues.
c. Montrer qu’une application f:Z→X×Y, où Zest un espace topologique, est continue si et
seulement si les deux applications p1f:Z→Xet p2f:Z→Ysont continues.
d. Il est faux de conjecturer qu’une application f:X×Y→Zest continue si elle est continue en chaque
variable séparément. Vérifier cela en considérant la fonction F:R×R→Rdéfinie par F(0,0) =0
et F(x,y)=xy/(x2+y2) si (x,y),(0,0).

Exercice 6. (Espaces topologiques séparés)
Un espace topologique est séparé si deux points distincts de l’espace admettent toujours des voisinages
ouverts disjoints.
a. Montrer qu’un espace topologique Xest séparé si et seulement si la diagonale ∆ = {(x,x)|x∈X}est
un fermé de X×X.
b. Montrer que le produit de deux espaces topologiques séparés est séparé.
c. Soit f:X→Yune application continue avec Yséparé. Montrer que le graphe de f, défini comme
l’ensemble ∆f={(x,f(x))|x∈X}, est un fermé de X×Y.
Exercice 7. (Topologie induite)
a. Soient Xun espace topologique, ayant Tpour topologie, et Aest une partie de X. Verifier que
TA={U∩A|U∈ T }
est une topologie sur A, appelée topologie induite sur Apar X. Un sous-espace topologique de Xest
une partie de Xmunie de la topologie induite par X.
b. Soient X,Ydes espaces topologiques, Aun sous-espace topologique de Xet Bun sous-espace
topologique de Y. Montrer que la topologie produit sur A×Bcoïncide avec la topologie induite
sur A×Bpar X×Y.
c. La boucle d’oreille hawaïenne est l’union C=∪n≥1Cndes cercles Cnde centre (1/n,0) et de rayon
1/n. On munit Cde la topologie induite par R2. Montrer que l’application f:C→C, définie par
f(x,y)=(nx,ny) pour (x,y)∈Cn, n’est pas continue.
Exercice 8. (Topologie de Zariski)
Soit P=C[x1,...,xn] l’anneau des polynômes à nvariables. A tout idéal Ide P, on associe l’ensemble
Z(I)={(a1,...,an)∈Cn|P(a1,...,an)=0 pour tout P∈I}.
a. Montrer que les ensembles Z(I) définissent l’ensemble des fermés d’une topologie sur Cn, appelée
topologie de Zariski.
b. Vérifier que pour n=1, la topologie de Zariski coïncide avec la topologie cofinie (voir l’exercice 1).
c. Montrer que B={BP|P∈ P}, où
BP=Cn\Z((P)) ={(a1,...,an)∈Cn|P(a1,...,an),0},
est une base d’ouverts de la topologie de Zariski.
d. Observer que la topologie de Zariski n’est pas séparée : deux ouverts non-vides se rencontrent obli-
gatoirement.
Exercice 9.
Montrer que les homéomorphismes f:R→Rsont les bijections monotones de Rdans R.
[Indication : utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer qu’une application continue
injective R→Rest monotone.]
Exercice 10.
Montrer qu’une application bijective continue n’est pas forcément un homéomorphisme.