Examen final - le 16/12/2013

L3 - Mathématiques
2013–2014
Topologie Générale
Examen final - le 16/12/2013 - corrigé
Question de cours. Soit X un ensemble et T un ensemble de parties de X. Rappeler
les axiomes qui font de T une topologie.
Exercice 1.
On munit R de sa topologie usuelle associée à la valeur absolue | · |.
1.1. Montrer que R est homéomorphe à l’intervalle ]0, 1[.
L’application f : R −→ ]0, 1[ définie par f (x) = π1 arctg x + 12 est continue, bijective,
d’inverse continu. Elle réalise un homéomorphisme entre R et l’intervalle ]0, 1[.
1.2. Une partie ouverte de R peut-elle admettre un maximum (justifier la réponse) ?
Par l’absurde. Soit O un ouvert de R qui admet un maximum en x ∈ O. Comme O est
ouvert, il existe ε > 0 tel que l’intervalle ]x − ε, x + ε[⊂ O. Mais alors x < x + ε ∈ O.
Contradiction.
1.3. Montrer que l’ensemble C := {(x, y) ∈ R2 ; x > y} est un connexe de R2 .
Il est convexe donc connexe.
1.4. Soit f : R −→ R une fonction continue et injective. On introduit la fonction
F : R2 −→ R définie par F (x, y) = f (x) − f (y). En considérant F (C), montrer que f est
strictement monotone.
L’image de C connexe par F continue est un connexe F (C) de R, donc un intervalle.
Cet intervalle ne peut pas contenir 0 car sinon f ne serait pas injective. On a donc
F (C) ⊂ R∗+ ou bien F (C) ⊂ R∗− , ce qui équivaut à la stricte monotonie de f .
Exercice 2.
On munit R de sa topologie usuelle associée à la valeur absolue | · |. Répondre sans
justification aux questions qui suivent.
2.1. Soit (X, T ) un espace topologique, tel que toute fonction f : X −→ R soit continue.
Déterminer T .
T est la topologie discrète.
2.2. Soit (X, T ) un espace topologique, et A une partie de X. On considère la fonction
caractéristique χA : X −→ R (qui à x ∈ A associe 1, et qui à x 6∈ A associe 0). On note
F(A) l’ensemble des points de X en lesquels la fonction χA est continue. Exprimer F(A)
à l’aide d’opérations topologiques et ensemblistes telles que le passage à l’adhérence, à
l’intérieur, à la frontière, au complémentaire, · · ·
F(A) = X \ F r(A).
2.3. Donner un exemple d’espace topologique (X, T ) pour lequel la fonction caractéristique
χA : X −→ R n’est continue en aucun point, ceci quel que soit le choix de A 6∈ {∅, X}.
Par exemple, la topologie grossière.
2.4. On munit N de la topologie dont les fermés sont les ensembles finis. On considère
f : N −→ N. Donner une condition impliquant la limite de f en +∞, permettant
d’affirmer que f est une application continue.
f tend vers +∞ pour n qui tend vers +∞.
Problème.
Soit a ∈ ]0, +∞[. On considère l’espace vectoriel (E, k · k∞ ) formé des fonctions continues
sur l’intervalle [0, a], à valeurs réelles, muni de la norme de la convergence uniforme.
Partie A. Soit T : E −→ E qui à f ∈ E associe la fonction T (f ) définie via :
Z x
T (f )(x) := 1 +
f (s) ds ,
∀ x ∈ [0, a] .
0
3.A.1. Montrer que l’application T est Lipschitzienne pour un certain rapport k. Quelle
est la valeur minimale possible pour k ?
Etant donnés f et g dans E, on a :
Z x
|T (f )(x) − T (g)(x)| ≤
|f (s) − g(s)| ds ≤ |x| k f − g k∞ ≤ a k f − g k∞ .
0
Si f ≡ 1, g ≡ 0 et x = a, on a égalité partout. Donc a est la valeur minimale recherchée.
3.A.2. On suppose a ∈ [0, 1[. Montrer qu’il existe un élément unique f ∈ E vérifiant la
relation T (f ) = f .
(E, k · k∞ ) est un espace de Banach. Pour a ∈ [0, 1[, l’application T est contractante de
rapport < 1. Le théorème du point fixe garantit l’existence d’un élément unique f ∈ E
vérifiant la relation T (f ) = f .
3.A.3. On note
f0 lafonction nulle. On considère la suite des itérés de f0 sous l’action de
T , à savoir T n (f0 ) n∈N . En déterminer la limite.
Par récurrence, on obtient :
T n (f0 )(x) =
n−1
X
j=0
1 j
x ,
j!
∀ n ∈ N∗ ,
qui converge uniformément vers ex pour n qui tend vers +∞.
Partie B. Dans cette partie, on prend a = 1 et on se donne g ∈ E. On considère
l’application ϕ : E −→ R définie par :
Z 1
ϕ(f ) :=
g(x) f (x) dx .
0
3.B.1. Montrer que ϕ est une forme linéaire continue.
Z 1
|g(x)| |f (x)| dx ≤ k g kL1 ([0,1]) k f k∞ .
|ϕ(f )| ≤
0
3.B.2. On suppose que g est une fonction strictement positive. Calculer la norme |||ϕ||| de
ϕ en fonction de g, et montrer que celle-ci est atteinte pour une certaine fonction f de
norme 1 à déterminer.
Pour f˜ = g/|g| qui est dans E si g est une fonction strictement positive, on obtient :
k f˜ k∞ = 1 ,
|ϕ(f˜)| = k g kL1 ([0,1])
|||ϕ||| =k g kL1 ([0,1]) .
=⇒
3.B.3. On suppose que g est la fonction qui à x fait correspondre x − (1/2). Calculer la
norme |||ϕ||| de ϕ en fonction de g. Celle-ci peut-elle être atteinte ?
Pour n ∈ N∗ , on introduit la fonction fn

 −1
n (x − 12 )
fn (x) =

1
On a :
1
1
−n
2
Z
ϕ(fn ) ≥
∈ E avec k fn k∞ ≤ 1 définie par :
si 0 ≤ x ≤ 12 − n1 ,
si 12 − n1 ≤ x ≤ 12 +
si 12 + n1 ≤ x ≤ 1 , .
Z
1
|g(t)| dt +
|g(t)| dt −
1
1
+n
2
0
1
n
Pour n qui tend vers +∞, on récupère :
lim ϕ(fn ) ≥k g kL1 ([0,1]) ,
n→+∞
ce qui implique de nouveau :
|||ϕ||| =k g kL1 ([0,1]) .
, .
2
.
n
Par contre, cette norme n’est pas atteinte car l’égalité :
|ϕ(f )| = |||ϕ||| = k g kL1 ([0,1]) ,
k f k∞ ≤ 1 ,
implique f (t) = sgn g(t) qui n’est pas dans E (discontinuité en 1/2).
3.B.4. On note en la fonction monôme en (x) = xn restreinte à [0, 1]. On suppose que
ϕ(en ) = 0 pour tout n ∈ N. En appliquant un résultat de densité du cours, qu’on demande
de citer et dont on vérifiera les hypothèses, montrer que ϕ ≡ 0. En déduire que g ≡ 0.
C’est le théorème de Stone-Weierstrass. Voir dans le cours ses hypothèses ainsi que leur
vérification dans le cas de l’algèbre A des polynômes. Comme A est dense dans E , du
fait de la continuité, l’application ϕ vaut 0 sur E tout entier et |||ϕ||| = 0. D’après ce qui
précède, la norme L1 de g vaut zéro. Comme g est continue, cela implique g ≡ 0.
Question bonus. Donner un exemple de forme linéaire non continue.
Sur E, changer la norme L∞ en la norme L1 . Puis considérer la forme linéaire qui à f
associe f (0).