Examen final - le 16/12/2013

L3 - Mathématiques 2013–2014
Topologie Générale
Examen final - le 16/12/2013 - corrigé
Question de cours. Soit Xun ensemble et Tun ensemble de parties de X. Rappeler
les axiomes qui font de Tune topologie.
Exercice 1.
On munit Rde sa topologie usuelle associée à la valeur absolue |·|.
1.1. Montrer que Rest homéomorphe à l’intervalle ]0,1[.
L’application f:R−→ ]0,1[ définie par f(x) = 1
πarctg x +1 2est continue, bijective,
d’inverse continu. Elle réalise un homéomorphisme entre Ret l’intervalle ]0,1[.
1.2. Une partie ouverte de Rpeut-elle admettre un maximum (justifier la réponse) ?
Par l’absurde. Soit Oun ouvert de Rqui admet un maximum en x∈O. Comme Oest
ouvert, il existe ε > 0tel que l’intervalle ]x−ε, x +ε[⊂O. Mais alors x<x+ε∈O.
Contradiction.
1.3. Montrer que l’ensemble C:= {(x, y)∈R2;x > y}est un connexe de R2.
Il est convexe donc connexe.
1.4. Soit f:R−→ Rune fonction continue et injective. On introduit la fonction
F:R2−→ Rdéfinie par F(x, y) = f(x)−f(y). En considérant F(C), montrer que fest
strictement monotone.
L’image de Cconnexe par Fcontinue est un connexe F(C)de R, donc un intervalle.
Cet intervalle ne peut pas contenir 0car sinon fne serait pas injective. On a donc
F(C)⊂R∗
+ou bien F(C)⊂R∗ −, ce qui équivaut à la stricte monotonie de f.
Exercice 2.
On munit Rde sa topologie usuelle associée à la valeur absolue | · |. Répondre sans
justification aux questions qui suivent.
2.1. Soit (X, T)un espace topologique, tel que toute fonction f:X−→ Rsoit continue.
Déterminer T.
Test la topologie discrète.

2.2. Soit (X, T)un espace topologique, et Aune partie de X. On considère la fonction
caractéristique χA:X−→ R(qui à x∈Aassocie 1, et qui à x6∈ Aassocie 0). On note
F(A)l’ensemble des points de Xen lesquels la fonction χAest continue. Exprimer F(A)
à l’aide d’opérations topologiques et ensemblistes telles que le passage à l’adhérence, à
l’intérieur, à la frontière, au complémentaire, · · ·
F(A) = X\F r(A).
2.3. Donner un exemple d’espace topologique (X, T)pour lequel la fonction caractéristique
χA:X−→ Rn’est continue en aucun point, ceci quel que soit le choix de A6∈ {∅, X}.
Par exemple, la topologie grossière.
2.4. On munit Nde la topologie dont les fermés sont les ensembles finis. On considère
f:N−→ N. Donner une condition impliquant la limite de fen +∞, permettant
d’affirmer que fest une application continue.
ftend vers +∞pour nqui tend vers +∞.
Problème.
Soit a∈]0,+∞[. On considère l’espace vectoriel (E, k · k∞)formé des fonctions continues
sur l’intervalle [0, a], à valeurs réelles, muni de la norme de la convergence uniforme.
Partie A. Soit T:E−→ Equi à f∈Eassocie la fonction T(f)définie via :
T(f)(x) := 1 + Zx
0
f(s)ds , ∀x∈[0, a].
3.A.1. Montrer que l’application Test Lipschitzienne pour un certain rapport k. Quelle
est la valeur minimale possible pour k?
Etant donnés fet gdans E, on a :
|T(f)(x)−T(g)(x)| ≤ Zx
0
|f(s)−g(s)|ds ≤ |x| k f−gk∞≤akf−gk∞.
Si f≡1,g≡0et x=a, on a égalité partout. Donc aest la valeur minimale recherchée.
3.A.2. On suppose a∈[0,1[. Montrer qu’il existe un élément unique f∈Evérifiant la
relation T(f) = f.
(E, k · k∞)est un espace de Banach. Pour a∈[0,1[, l’application Test contractante de
rapport <1. Le théorème du point fixe garantit l’existence d’un élément unique f∈E
vérifiant la relation T(f) = f.
3.A.3. On note f0la fonction nulle. On considère la suite des itérés de f0sous l’action de
T, à savoir Tn(f0)n∈N. En déterminer la limite.

Par récurrence, on obtient :
Tn(f0)(x) =
n−1
X
j=0
1
j!xj,∀n∈N∗,
qui converge uniformément vers expour nqui tend vers +∞.
Partie B. Dans cette partie, on prend a= 1 et on se donne g∈E. On considère
l’application ϕ:E−→ Rdéfinie par :
ϕ(f) := Z1
0
g(x)f(x)dx .
3.B.1. Montrer que ϕest une forme linéaire continue.
|ϕ(f)| ≤ Z1
0
|g(x)| |f(x)|dx ≤ k gkL1([0,1]) kfk∞.
3.B.2. On suppose que gest une fonction strictement positive. Calculer la norme |||ϕ||| de
ϕen fonction de g, et montrer que celle-ci est atteinte pour une certaine fonction fde
norme 1à déterminer.
Pour ˜ f=g/|g|qui est dans Esi gest une fonction strictement positive, on obtient :
k˜ fk∞= 1 ,|ϕ(˜ f)|=kgkL1([0,1]) =⇒ |||ϕ||| =kgkL1([0,1]) .
3.B.3. On suppose que gest la fonction qui à xfait correspondre x−(1/2). Calculer la
norme |||ϕ||| de ϕen fonction de g. Celle-ci peut-elle être atteinte ?
Pour n∈N∗, on introduit la fonction fn∈Eavec kfnk∞≤1définie par :
fn(x) = 
−1si 0≤x≤1
2−1 n,
n(x−1
2)si 1 2−1 n≤x≤1 2+1 n,
1si 1
2+1 n≤x≤1, .
.
On a :
ϕ(fn)≥Z1
2−1 n
0
|g(t)|dt +Z1
1
2+1 n
|g(t)|dt −2
n.
Pour nqui tend vers +∞, on récupère :
lim
n→+∞ϕ(fn)≥k gkL1([0,1]) ,
ce qui implique de nouveau :
|||ϕ||| =kgkL1([0,1]) .

Par contre, cette norme n’est pas atteinte car l’égalité :
|ϕ(f)|=|||ϕ||| =kgkL1([0,1]) ,kfk∞≤1,
implique f(t) = sgn g(t)qui n’est pas dans E(discontinuité en 1/2).
3.B.4. On note enla fonction monôme en(x) = xnrestreinte à [0,1]. On suppose que
ϕ(en) = 0 pour tout n∈N. En appliquant un résultat de densité du cours, qu’on demande
de citer et dont on vérifiera les hypothèses, montrer que ϕ≡0. En déduire que g≡0.
C’est le théorème de Stone-Weierstrass. Voir dans le cours ses hypothèses ainsi que leur
vérification dans le cas de l’algèbre Ades polynômes. Comme Aest dense dans E, du
fait de la continuité, l’application ϕvaut 0sur Etout entier et |||ϕ||| = 0. D’après ce qui
précède, la norme L1de gvaut zéro. Comme gest continue, cela implique g≡0.
Question bonus. Donner un exemple de forme linéaire non continue.
Sur E, changer la norme L∞en la norme L1. Puis considérer la forme linéaire qui à f
associe f(0).