Notions de petitesse, géométrie des espaces de Banach et

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Num´ero d’ordre : 3803
Th`ese pr´esent´ee `a l’Universit´e de Bordeaux 1
Ecole Doctorale de Math´ematiques et Informatique de Bordeaux
par MOREAU Pierre
Pour obtenir le grade de de Docteur de Math´ematiques
Notions de petitesse, g´eom´etrie des espaces
de Banach et hypercyclicit´e
Th`ese dirig´ee par ESTERLE Jean et MATHERON Etienne
Soutenue le 15/06/2009
Jury :
DEVILLE Robert, Professeur d’Universit´e, Universit´e de Bordeaux 1
ESTERLE Jean, Professeur d’Universit´e, Universit´e de Bordeaux 1
KUPIN Stanislav, Maˆıtre de Conf´erences, Universit´e Aix-Marseille 1
LANCIEN Gilles, Professeur d’Universit´e, Universit´e de Franche-Comt´e
LEFEVRE Pascal, Professeur d’Universit´e, Universit´e d’Artois
MATHERON Etienne, Professeur d’Universit´e, Universit´e d’Artois

Table des mati`eres
1 Notions de petitesse 7
1.1 Haar-n´egligeabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Bor´eliens non Haar-n´egligeables et non compactivores . . . . . . . . . . . 15
1.3 Gauss-n´egligeabilit´e et σ-porosit´e ...................... 18
1.3.1 Gauss-n´egligeabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 σ-porosit´e ............................... 21
1.4 Complexit´e .................................. 22
1.4.1 G´en´eralit´es .............................. 22
1.4.2 Complexit´e des ferm´es Gauss-n´egligeables . . . . . . . . . . . . . 23
2 Le th´eor`eme de Matouskova-Stegall 27
2.1 Preuvede(2) ................................. 28
2.2 Preuvede(1) ................................. 33
3 Haar-n´egligeabilit´e et bases de Schauder 37
3.1 Rappels sur les Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Cˆone contenant un translat´e de tout compact . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Haar-n´egligeabilit´e du cˆone positif associ´e`a une base de Schauder . . . . 45
3.3.1 Condition suffisante de Haar-n´egligeabilit´e . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.2 Conditions n´ecessaires de non-Haar n´egligeabilit´e, application aux
basessym´etriques........................... 46
3.3.3 c0-saturation ............................. 49
3.3.4 Unexemple .............................. 56
3.4 Structure des quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Mesures gaussiennes et cˆones positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Notions de petitesse et Hypercyclicit´e 70
4.1 Hypercyclicit´e................................. 70
4.2 Shifts `a poids non σ-poreux hypercycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Un crit`ere de σ-porosit´e ........................... 75
4.4 Haar-n´egligeabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
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Introduction
Il existe de nombreuses notions de petitesse en analyse, la plus classique d’entre
elles ´etant la petitesse au sens de Baire : une partie est petite au sens de Baire si elle est
incluse dans le compl´ementaire d’un Gδdense. Cette notion caract´erise un comportement
global, elle ne permet pas de quantifier la taille des ensembles. Ceci peut ˆetre accompli en
dimension finie grˆace `a la mesure de Lebesgue et peut s’´etendre aux espaces localement
compacts grˆace aux mesures de Haar, c’est `a dire les mesures bor´eliennes invariantes
par translation ; “ˆetre de mesure de Haar nulle” est donc une autre notion naturelle de
petitesse. Dans un espace qui n’est pas localement compact, l’absence de mesure de Haar
ne permet pas d’utiliser cette notion.
En I972, Christensen a introduit ([C]) la notion de Haar-n´egligeabilit´e dans les groupes
ab´eliens polonais (compl`etement m´etrisables et s´eparables) : une partie bor´elienne d’un
tel groupe est dite Haar-n´egligeable s’il existe une mesure de probabilit´e qui s’annule sur
cette partie et sur tous ses translat´es. On dit alors d’une telle mesure qu’elle est une me-
sure test pour la partie. Cette notion co¨ıncide, quand le groupe est localement compact,
avec celle de ”mesure de Haar nulle”. La Haar-n´egligeabilit´e a servi dans l’´etude de la
diff´erentiablilit´e des fonctions lipschitzienne et en classification non-lin´eaire des espaces de
Banach, on trouvera dans les chapitres 6 et 7 de [BL] beaucoup d’informations `a ce sujet.
Il est plus ´etonnant de voir que la Haar-n´egligeabilit´e permet d’obtenir des informa-
tions sur la g´eom´etrie des espaces de Banach. On doit cette approche `a Matouskova et
Stegall qui, dans les articles [MS] et [M3], ont li´e la r´eflexivit´e d’un espace de Banach `a
la Haar-n´egligeabilit´e de ses parties convexes, ferm´ees et d’int´erieur vide. Les principaux
r´esultats sur ce sujet peuvent ˆetre regroup´es dans l’´enonc´e suivant :
Soit X un espace de Banach s´eparable.
1. Si X est r´eflexif alors toute partie convexe, ferm´ee et d’int´erieur vide de X est
Haar-n´egligeable.
2. Si X est non r´eflexif, il existe une partie convexe, ferm´ee et d’int´erieur vide de X
qui contient un translat´e de toute partie compacte de X.
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TABLE DES MATI ` ERES 4
En particulier, X est r´eflexif si et seulement si toute partie convexe, ferm´ee et d’int´erieur
vide de X est Haar-n´egligeable.
Le premier chapitre de cette th`ese est consacr´ee `a la pr´esentation g´en´erale de cer-
taines notions de petitesse. Dans la section 1.1, on donnera une pr´esentation d´etaill´ee
de la Haar-n´egligeabilit´e, notamment du fait que contenir un translat´e de tout compact
entraˆıne la non Haar-n´egligeabilit´e, et on discutera de la r´eciproque dans la section 1.2.
Dans la section 1.3, on pr´esentera bri`evement deux autres notions de petitesse : la σ-
porosit´e et la Gauss-n´egligeabilit´e. Enfin, nous montrerons dans 1.4 que dans un espace
de Banach s´eparable X, l’espace des parties ferm´ees Gauss-n´egligeables (i.e. n´egligeables
pour toute mesure Gausienne non-d´eg´en´er´ee sur X) est une partie non-bor´elienne dans
l’espace des parties ferm´ees de X.
Le second chapitre de cette th`ese est consacr´ee `a la d´emonstration du th´eor`eme de
Matouskova et Stegall. Il y a dans cette d´emonstration un type particulier de convexe
ferm´e et d’int´erieur vide qui joue un rˆole clef : le cˆone positif associ´e`a une base de
Schauder. Il est alors naturel de se demander quelles sont les bases de Schauder `a cˆone
Haar-n´egligeable et ce que cela entraˆıne pour la structure de l’espace de Banach. Ces
questions seront trait´ees dans le troisi`eme chapitre.
Avant de commencer `a traiter ces questions, nous donnerons dans 3.1 les principales
d´efinitions et propri´et´es des bases de Schauder, ainsi que la liste des r´esultats d´ej`a connus
sur la Haar-n´egligeabilit´e du cˆone, notamment que le cˆone positif de la base canonique
de lpest Haar-n´egligeable pour p≥1. Tous ces r´esultats seront g´en´eralis´es dans 3.2 et
3.3. Il y a deux approches pour tester la Haar-n´egligeabilit´e d’une partie : soit mon-
trer qu’elle contient un translat´e de tout compact et dans ce cas cette partie n’est pas
Haar-n´egligeable, soit construire une mesure test, ce qui implique la Haar-n´egligeabilit´e
de cette partie ; c’est ce qui sera fait respectivement dans 3.2 et 3.3.
Nous ´etablirons dans 3.2 une condition n´ecessaire et suffisante pour que le cˆone
contienne un translat´e de tout compact, condition qui implique que la base canonique
de c0est la seule base de Schauder inconditionnelle et normalis´ee dont le cˆone contient
un translat´e de tout compact. Il existe n´eanmoins d’autres bases, non inconditionnelles,
qui v´erifient ceci et nous en verrons un exemple. Ce r´esultat, dans le cas des bases incon-
ditionnelles, ne laisse que deux possibilit´es pour la Haar-n´egligeabilit´e du cˆone : soit la
base canonique est la seule base de Schauder inconditionnelle et normalis´ee dont le cˆone
n’est pas Haar-n´egligeable, soit il existe une base de Schauder inconditionnelle et nor-
malis´ee dont le cˆone n’est pas Haar-n´egligeable mais qui ne contient pas un translat´e de
tout compact. Ces deux possibilit´es ont leur int´erˆet : la premi`ere parce qu’elle donnerait
une caract´erisation surprenante de la base canonique de c0, ce que les r´esultats suivants

TABLE DES MATI ` ERES 5
laissent esp´erer, la seconde parce qu’on obtiendrait ainsi un exemple naturel de convexe
ferm´e et d’int´erieur vide qui n’est pas Haar-n´egligeable et ne contient pas un translat´e
de tout compact.
La partie 3.3 traite des bases inconditionnelles et contient deux r´esultats principaux
qui g´en´eralisent les r´esultats pr´esent´es dans 3.1. Le premier est une condition suffisante
pour que le cˆone soit Haar-n´egligeable : s’il existe une bloc-base de la base de Schauder
dont le cˆone est Haar-n´egligeable dans l’espace qu’elle engendre, alors le cˆone positif de la
base de Schauder est Haar-n´egligeable. Cette condition donne une premi`ere information
sur la structure de l’espace de Banach sous-jacent. En effet un r´esultat classique de James
indique qu’il n’y a que deux possibilit´es pour une base de Schauder inconditionnelle : soit
elle engendre un espace r´eflexif, soit elle contient la base canonique de l1et/ou c0comme
bloc-base. Ceci implique donc que si le cˆone est n’est pas Haar-n´egligeable, l’espace de
Banach sous-jacent contient une copie isomorphe de c0.
Ceci est pr´ecis´e par le deuxi`eme r´esultat qui est cette fois une condition n´ecessaire : si
le cˆone positif n’est pas Haar-n´egligeable, on peut extraire de toute bloc-base (et mˆeme
“uniform´ement”) une sous-suite ´equivalente `a la base canonique de c0; on en d´eduit que
la base canonique de c0est la seule base de Schauder sym´etrique dont le cˆone est n’est pas
Haar-n´egligeable. Ceci peut ˆetre vu comme une “sorte” de c0-saturation, en particulier
l’espace de Banach sous-jacent s’´ecrit comme une somme topologique de copie isomorphe
de c0. Nous verrons ´egalement que cela entraˆıne la c0-saturation de l’espace au sens clas-
sique du terme. N´eanmoins, cette derni`ere c0-saturation uniforme n’est pas suffisante :
nous terminerons la section 3.3 en construisant un espace de Banach muni d’une base de
Schauder v´erifiant cette condition mais dont le cˆone positif est Haar-n´egligeable.
La section 3.4 est d´edi´ee `a l’´etude des quotients d’un espace de Banach muni d’une
base de Schauder inconditionnelle dont le cˆone n’est pas Haar-n´egligeable. Rappelons
qu’un espace de Banach est dit c0-satur´e si tout sous-espace ferm´e de dimension infinie
contient une copie isomorphe de c0. Odell montre dans [O] que tous les quotients de
l’espace de Schreier sont c0-satur´es et pose la question de savoir si c’est encore vrai pour
tout espace de Banach c0-satur´e muni d’une base de Schauder inconditionnelle. Leung
[L], puis de fa¸con plus g´en´erale Gasparis [G], y r´epondent par la n´egative en construisant
des contre-exemples. Nous verrons que la c0-saturation uniforme ´etablie dans 3.3 passe au
quotient, le cˆone positif associ´es aux bases de Schauder construites par Leung et Gasparis
est donc encore une fois Haar-n´egligeable. Nous verrons enfin qu’elle est “presque” une
propri´et´e des trois espaces.
Dans la section 3.5, nous ´etudierons `a quelles conditions une mesure gaussienne, i.e.
la loi d’une s´erie presque-sˆurement convergente de variables al´eatoires de loi normale uni-
dimensionnelles, est une mesure test du cˆone positif d’une base de Schauder. Le premier