TS spécialité - Divisibilité, Primalité et Congruences dans Z

3ème séance
III) PRIMALITÉ
NOMBRES PREMIERS
Définition. Un entier p est premier s’il admet exactement deux diviseurs .
Exemples. 0 et 1 ne sont pas premiers . 2 est le seul nombre premier pair .
TEST DE PRIMALITÉ
Lemme. Tout entier non premier admet au moins un diviseur premier, à savoir son
plus petit diviseur autre que
1
.
Si
2
n
≥
n’est pas premier, l’ensemble de ses diviseurs strictement supérieurs à
1
contient au moins un élément, à savoir
n
. Désignons par
p
le plus petits de
ces diviseurs . On suppose que
p
n’est pas premier . Alors
p
admet un diviseur
d
tel que
1
d p
< <
. Puisque
d
divise
p
et
p
divise
n
, on a
d
divise
n
ce qui
est impossible car
p
est le plus petit diviseur de
n
strictement supérieur à
1
Propriété. Si un entier, noté n , n’est divisible par aucun entier compris entre 2 et
la racine carrée
n
de n , alors n est premier .
Si
n
n’est pas premier, le lemme permet d’affirmer qu’il admet un diviseur
premier
p
qui est son plus petit diviseur ( autre que
1
) :
n pq
=
avec
1
p q
< ≤
Alors
2
p pq
≤
c’est-à-dire
2
p n
≤
et 2
p n
≤ ≤ . Cela implique donc que
n
est divisible par au moins un nombre premier
p
tel que 2
p n
≤ ≤ .
D’où le résultat par contraposition .
Les nombres suivants sont-ils premiers : 251 ? 341 ? 1023 ?
Les nombres premiers inférieurs à
251
sont 2, 3, 5, 7, 11, 13 . 251 n’est divisible
par aucun d’eux donc 251 est un nombre premier . Par ailleurs 341 ( multiple de
11 ) et 1023 ( multiple de 3 ) ne sont pas premiers .
LA SUITE DES NOMBRES PREMIERS
Propriété. Il existe une infinité de nombres premiers .
On suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers
1
p
,
2
p
, … ,
n
p
.
On considère le nombre
1 2
1 ...
n
a p p p
= +
. Cet entier est supérieur ou égal à
2
,
il admet donc au moins un diviseur premier
p
de l’ensemble
{
}
1 2
; ;...;
n
p p p
.
Cet entier
p
divise
a
et divise
1 2
...
n
p p p
, donc il divise
1 2
... 1
n
a p p p
− =
.
Contradiction . Il existe donc une infinité de nombres premiers .
DÉCOMPOSITION EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS
Propriété. Tout entier est premier ou un produit de nombres premiers .
Notation. En pratique, un entier s’écrit
1 2
1 2
...
r
r
p p p
α α α
× × ×
avec
1
p
,
2
p
, … ,
r
p
des nombres premiers et
1
α
,
2
α
, … ,
r
α
des entiers non nuls .
Exemple.
3 2
72 2 3
= ×
Propriété. La décomposition en produits de facteurs premiers de tout entier est ,
à l’ordre près des facteurs, unique .
Propriété. L’entier a divise l’entier b si et seulement si tout facteur figurant dans la
décomposition de a apparaît dans celle de b avec un exposant supérieur ou égal .
EXERCICE
→
déterminer si un nombre premier
Existe-t-il des valeurs de n, entier naturel non nul, telles que
3 2
a n n n
= × + +
soit un entier naturel premier ?
(
)
(
)
1 2
a n n
= + +
( car a est un trinôme qui s’annule pour
1
n
= −
et
2
n
= −
)
Si
1
n
≥
, on a
1 2
n
+ ≥
et
2 3
n
+ ≥
. Dans ce cas a n’est pas premier .

EXERCICE
→
déterminer tous les diviseurs d’un entier
Combien de diviseurs le nombre 1050 possède-t-il dans Գ ? dans Ժ ?
Puisque
2
1050 2 3 5 7
= × × ×
, les diviseurs naturels de 1050 sont tous les entiers
naturels de la forme
2 3 5 7
a b c d
×××
avec
{
}
0 ;1
a ∈
,
{
}
0 ;1
b ∈
,
{
}
0 ;1 ; 2
c ∈
et
{
}
0 ;1
d ∈
. Au total, cela fait
2 2 3 2 24
× × × =
diviseurs dans Գ ( cf. arbre )
Puisque les diviseurs ( dans Գ ) de 1050 s’écrivent
d
±
où
d
est un diviseur
naturel de 1050, on peut affirmer que 1050 possède 48 diviseurs ( dans Ժ ) .
EXERCICE 115.
La somme S en question est de la forme ( pour un certain k dans )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 2 3 2 5 2 7 2 9 5 2 5
k k k k k k
+ + + + + + + + + = +
Elle ne peut être un nombre premier car
(
)
2 5 5
k
+ ≥
.
Plus généralement
(
)
(
)
(
)
(
)
' 2 1 2 3 ... 2 2 1 2
S k k k n n k n
= + + + + + + − = +
n’est pas un nombre premier car
2
n
≥
et
2 2
k n
+ ≥
.
EXERCICE 121.
L’entier
2 3
a b
n =
possède dans exactement
(
)
(
)
1 1
a b
+ +
diviseurs .
On a
2 1
12 2 3
a b
n
+ +
=
donc le nombre de diviseurs de
12
n
est
(
)
(
)
3 2
a b
+ +
.
La condition « n est tel que
12
n
a deux fois plus de diviseurs que n » se traduit
par
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2 1 1
a b a b
+ + = + +
soit
(
)
1 4
b a
− =
. Les couples
(
)
;
a b
possibles sont
(
)
5 ;1
,
(
)
3; 2
et
(
)
2; 4
. D’où
{
}
32 ; 72 ; 324
n ∈
.
EXERCICE 124.
Un arbre permet de dénombrer toutes les possibilités . Les diviseurs naturels de N
sont les entiers de la forme
1 2
1 2
...
r
r
p p p
β β β
× × ×
où, pour tout i,
{
}
0 ;1;...;
i i
β α
∈
.
Au total, on obtient
(
)
(
)
(
)
1 2
1 1 ... 1
r
α α α
+ + +
diviseurs .
Si un entier N admet un nombre impair de diviseurs positifs, tous les
(
)
1
i
α
+
sont
impairs et donc tous les entiers
i
α
sont pairs . Ainsi, N est un carré parfait .