3ème séance
III) PRIMALITÉ
NOMBRES PREMIERS
Définition. Un entier p est premier s’il admet exactement deux diviseurs .
Exemples. 0 et 1 ne sont pas premiers . 2 est le seul nombre premier pair .
TEST DE PRIMALITÉ
Lemme. Tout entier non premier admet au moins un diviseur premier, à savoir son
plus petit diviseur autre que
.
Si
n
n’est pas premier, l’ensemble de ses diviseurs strictement supérieurs à
contient au moins un élément, à savoir
. Désignons par
le plus petits de
ces diviseurs . On suppose que
n’est pas premier . Alors
admet un diviseur
tel que
1
. Puisque
divise
et
divise
, on a
divise
ce qui
est impossible car
est le plus petit diviseur de
strictement supérieur à
Propriété. Si un entier, noté n , n’est divisible par aucun entier compris entre 2 et
la racine carrée
de n , alors n est premier .
Si
n’est pas premier, le lemme permet d’affirmer qu’il admet un diviseur
premier
qui est son plus petit diviseur ( autre que
) :
avec
1
Alors
2
≤
c’est-à-dire
2
et 2
≤ ≤ . Cela implique donc que
est divisible par au moins un nombre premier
tel que 2
≤ ≤ .
D’où le résultat par contraposition .
Les nombres suivants sont-ils premiers : 251 ? 341 ? 1023 ?
Les nombres premiers inférieurs à
sont 2, 3, 5, 7, 11, 13 . 251 n’est divisible
par aucun d’eux donc 251 est un nombre premier . Par ailleurs 341 ( multiple de
11 ) et 1023 ( multiple de 3 ) ne sont pas premiers .
LA SUITE DES NOMBRES PREMIERS
Propriété. Il existe une infinité de nombres premiers .
On suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers
,
, … ,
.
On considère le nombre
1 2
. Cet entier est supérieur ou égal à
,
il admet donc au moins un diviseur premier
de l’ensemble
1 2
; ;...;
.
Cet entier
divise
et divise
1 2
, donc il divise
1 2
n
a p p p
.
Contradiction . Il existe donc une infinité de nombres premiers .
DÉCOMPOSITION EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS
Propriété. Tout entier est premier ou un produit de nombres premiers .
Notation. En pratique, un entier s’écrit
1 2
1 2
...
× × ×
avec
,
, … ,
des nombres premiers et
,
, … ,
des entiers non nuls .
Exemple.
Propriété. La décomposition en produits de facteurs premiers de tout entier est ,
à l’ordre près des facteurs, unique .
Propriété. L’entier a divise l’entier b si et seulement si tout facteur figurant dans la
décomposition de a apparaît dans celle de b avec un exposant supérieur ou égal .
EXERCICE
déterminer si un nombre premier
Existe-t-il des valeurs de n, entier naturel non nul, telles que
a n n n
soit un entier naturel premier ?
a n n
( car a est un trinôme qui s’annule pour
n
et
n
)
Si
, on a
n
et
n
. Dans ce cas a n’est pas premier .