Mathématiques pour les Sciences Physiques
5°- Propriétés des applications linéaires symétriques
Soit hs une application symétrique (et donc linéaire) de E
3 dans
E3. Notons AS la matrice de hs dans une base orthonormée directe (e1,
e2, e3).
n AS=ASt où ASt est la matrice transposée de AS. Autrement dit, la
matrice de hs est symétrique : AS=
a q r
q a s
r s a
11
22
33
n Les valeurs propres de hs sont réelles.
n Il existe au moins une base orthonormée constituée de vecteurs
propres de hs. Dans cette base, la matrice de hs est diagonale :
λλλ
1
2
3
0 0
0 0
0 0
Remarque : quand on effectue la recherche des valeurs propres et des
vecteurs propres d’une application linéaire et que l’on exprime sa
matrice dans une base propre (c’est-à-dire une base constituée de
vecteurs propres), on dit que l’on diagonalise l’opérateur.
n enfin, si hs est une application linéaire symétrique définie positive,
c’est-à-dire si : ∀ u ∈ E3 , u⋅hs (u)>0
alors les valeurs propres de hs sont strictement positives.
6°- Propriétés des applications linéaires antisymétriques
Soit ha une application antisymétrique (et donc linéaire) de E
3
dans E
3. Notons
AA=aij la matrice de ha dans une base
orthonormée directe (e1, e2, e3).
L’antisymétrie de ha conduit à : ∀ i, ei⋅ha(ei)=- ei⋅ha(ei), soit aij=0
∀ i,j , ej⋅ha(ei)=- ei⋅ha(ej), soit aij=-aji