Statistiques et Probabilités

Fiche de révision du DNB :
Statistiques et Probabilités
Statistiques
Exemple :
On a relevé les 24 notes obtenues par des élèves de 3ème lors d'un devoir noté
sur 10 de mathématiques :
1;8;7;6;9;3;4;6;8;6;4;5;6;5;4;3;6;9;8;6;5;8;6;6
Fréquence :
La fréquence associée à la note 6 est :
→
La fréquence d'une valeur d'une série est donnée par
le quotient de l'effectif de cette valeur par
l’effectif total (nombre de valeurs de la série).
Cette même fréquence, en pourcentage, est : →
Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1.
Moyenne
La moyenne d'une série est donnée par le quotient de → m=
la somme de toutes les valeurs de la série par
l’effectif total (nombre de valeurs de la série).
Moyenne pondérée
La moyenne pondérée d'une série est donnée par le
quotient de la somme des produits de chaque valeur
par son effectif par l’effectif total (nombre de
valeurs de la série).
Cas particulier :
Les données peuvent être triées dans un tableau :
Note
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Effectif
→ m=
Autre forme de tri :
Intervalle
Quand on travaille avec des intervalles (ou classes),
on prend pour représentant le milieu de l'intervalle
(centre de la classe).
[0;2[
[2;4[
[4;6[
[6;8[
[8;10[
Effectif
→ m=
Étendue
→
Médiane
Effectifs cumulés croissants (ECC) pour déterminer Me , Q1 et Q3
L'étendue d'une série statistique est la différence
entre la plus grande et la plus petite petite valeur de
la série.
Une série statistique étant rangée dans l'ordre
croissant, on appelle médiane, notée Me, la valeur
qui partage cette série ordonnée en deux séries de
même effectif.
Si la série compte un nombre pair de termes, Me est
la demi-somme des deux termes « centraux ».
Si la série compte un nombre impair de termes, Me
est égale au terme « central »
Quartiles Q1 et Q3
Note
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ECC
→ Me :
Interprétation :
→ Q1 :
Le premier quartile d'une série, noté Q1 , est la plus
petite valeur de la série pour laquelle au moins 25%
(ou un quart) des valeurs de la série sont inférieures
ou égales à Q1 .
Le troisième quartile d'une série, noté Q3 , est la
plus petite valeur de la série pour laquelle au moins
75% (ou 3 quarts) des valeurs de la série sont
inférieures ou égales à Q 3 .
Interprétation :
→ Q3 :
Interprétation :
Diagramme en boîte pour
représenter la série étudiée :
J.Kenner
Probabilité
Exemple :
On considère un jeu de 32 cartes. On tire au hasard une carte de ce jeu.
Issues, Événements
Chaque résultat possible d'une expérience est une
issue.
Une expérience est dite aléatoire lorsqu'on ne
connaît pas à l'avance quelle issue va être réalisée.
Il y a →
Un événement qui peut se réaliser est constitué
d'une ou plusieurs issues.
L'événement A : « Obtenir un trèfle » est constitué de →
issues.
L'événement B : « Obtenir la dame de cœur » est constitué de →
issue.
Probabilité
On a simulé cette expérience 1000 fois. On obtient le graphique ci-dessous :
Lorsqu'on répète un très grand nombre de fois une
expérience aléatoire dans les mêmes conditions, la
fréquence de réalisation d'un événement E se
stabilise en se rapprochant d'une valeur fixe.
Cette valeur, notée p(E), est la probabilité de
l'événement E.
Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
Événement certain, événement impossible
- La probabilité d'un événement qui se réalise à coup
sûr, événement certain, est égale à 1.
- La probabilité d'un événement qui ne peut pas se
réaliser, événement impossible, est égale à 0.
issues possibles dans cette expérience.
La probabilité d'obtenir l'as de cœur est :
Quelle formule a permis de simuler le tirage d'une carte ?
→C:«
C est un événement certain et p ( C ) =1 .
→D:«
D est un événement impossible et p ( D) =0 .
Équiprobabilité
Si, dans une expérience, toutes les issues possibles
ont la même probabilité de se réaliser, il y a
équiprobabilité.
Dans le cas où il y a équiprobabilité, la probabilité
d'un événement E est :
p(E)=
Nombre d'issues favorables à E
Nombre d'issues possibles
Ici, toutes les issues ont la même probabilité :
1
32
→ p ( A) =
→ p ( B )=
Événements incompatibles
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent L'événement E : « Obtenir le 7 de pic » est incompatible avec l'événement A.
pas se réaliser simultanément.
Quelle est la probabilité de réaliser l'événement
F : « Obtenir un trèfle ou le 7 de pic » ?
- Si deux événements A et B sont incompatibles, la
probabilité de l'événement « réaliser l'événement A
ou l'événement B », est égale à p ( A) + p ( B ) .
- la somme des probabilités de chaque issue d'une
expérience aléatoire est égale à 1.
Événement contraire :
L'événement contraire de A est l'événement qui se
réalise quand A n'est pas réalisé.
On le note « non A ».
On a p(A)+p(non A)=1
Conséquence : p(non A)=1-p(A).
Expérience à deux étapes :
Les expériences à deux étapes sont représentées
par un arbre pondéré.
Pour obtenir la probabilité d'une issue, il suffit de
faire le produit des probabilités des branches qui
mènent à cette issue.
→ p ( F ) =p ( AouE ) =
→ L'événement contraire de A est : «
→ On a p(non A)=
→ De même p(non B)=
Exemple :
On considère un jeu de 32 cartes. On tire au hasard une carte de ce jeu puis,
après avoir remis la carte dans le jeu, on tire au hasard une autre carte.
Quelle est la probabilité d'obtenir un
trèfle au deuxième tirage ?
J.Kenner