Dénombrement I. Ensembles finis II. Cardinal de quelques ensembles

Gaudino, casier 5 version N1.1
P.C.S.I. 834 Dénombrement Lycée Masséna
I. Ensembles finis
I.1. Définition
d´ efinition 1. Un ensemble non-vide Eest dit fini lorsqu’il existe n∈N∗tel que J1, nKet Esont en bijection. nalors
appelé cardinal de E, noté #A,|A|ou encore card(A).
L’ensemble vide est dit fini de cardinal 0.
Unicité du cardinal.
I.2. Sous-partie
Th´ eor` eme 1. Soit Fun ensemble fini, et E⊂F.Eest alors fini, et card(E)≤card(F).
On a de plus card(E) = card(F)si et seulement si E=F.
I.3. Lien avec les fonctions
Soient Eet Fdeux ensembles finis.
Th´ eor` eme 2. 1. Il existe une bijection de Edans Fsi et seulement si card(E) = card(F).
2. Il existe une injection de Edans Fsi et seulement si card(E)≤card(F).
3. Il existe une surjection de Edans Fsi et seulement si card(E)≥card(F).
Th´ eor` eme 3. Soit Eet Fdeux ensembles finis de même cardinal, et fune fonction de Evers F. On a :
fest bijective ⇐⇒ fest injective ⇐⇒ fest surjective
Remarques sur les cas où un ensemble est infini.
II. Cardinal de quelques ensembles
Eet Fsont deux ensembles finis, de cardinaux respectifs n= card(F) et p= card(E).
II.1. Réunion
Th´ eor` eme 4. Si Eet Fsont deux ensembles finis alors E∪Faussi et
card(E∪F) = card(E) + card(F)−card(E∩F)
preuve en s’appuyant sur le lemme du cas disjoint (preuve par bijection).
Application au cardinal d’un complémentaire, d’une réunion finie disjointe.
Th´ eor` eme 5. Soient Eet Fsont deux ensembles finis. card(E∪F) = card(E) + card(F)si et seulement si Eet F
sont disjoints.
II.2. Produit cartésien
Th´ eor` eme 6. Si Eet Fsont deux ensembles finis alors E×Faussi et
card(E×F) = card(E)×card(F) = np
preuve par réunion disjointe. Cas des produits cartésiens de plusieurs ensembles, des puissances cartésiennes.
remarque sur la notation E×F. Application aux couples, aux x-uplets.
II.3. Fonctions
II.3.1. fonctions quelconques
Th´ eor` eme 7. Si Eet Fsont deux ensembles finis alors l’ensemble des fonctions de Evers F, noté FEou F(E, F ),
est fini et
card(FE) = card(F)card(E)=np
preuve par le nombre de graphes, preuve intuitive, lien avec les tirages avec remise de boules discernables. p-uplets.
1

II.3.2. injections
d´ efinition 2. Si Eet Fsont deux ensembles finis (avec n= card(F)et p= card(E)) alors on note Ap
nle nombre
d’injections de Edans F.
Th´ eor` eme 8. L’ensemble des injections de Edans Fest fini et de cardinal :
Si p≤n:Ap
n=n(n−1) · · · (n−(p−1))
| {z }
ptermes
=n!
(n−p)!
Si p>n:Ap
n= 0
preuve intuitive, lien avec les tirages sans remise de boules discernables, lien avec les p-uplets de nombres distincts.
II.3.3. bijections
Th´ eor` eme 9. Si Eet Fsont deux ensembles finis de même cardinal nalors l’ensemble des bijections de Evers
Fest fini de cardinal n!.
preuve par les injections, lien avec les permutations.
II.3.4. surjections
C’est beaucoup plus dur !
II.4. P(E)
Th´ eor` eme 10. Si Eest un ensemble fini alors P(E)est un ensemble fini de cardinal card(P(E)) = 2card(E).
preuve intuitive et par les fonctions caractéristiques.
III. Coefficients binômiaux
III.1. Définition
d´ efinition 3. Soit E⊂F. Le nombre de sous-parties Eàpéléments d’un ensemble Fànéléments est noté n
p
ou Cp
n(on parle aussi de combinaisons).
III.2. Relations
n
p= 0 si p>n.n n= 1. n 0= 1. n p=n n−psi 0 ≤p≤n.
triangle de Pascal : n
p=n−1 p+n−1 p−1pour n≥1 et n−1≥p≥1, et aussi pour n≥1 et p≥1.
III.3. Formule
Th´ eor` eme 11. Si 0≤p≤n, alors n
p=n! p!(n−p)!.
preuve intuitive, lien avec les tirages sans remise sans ordre.
preuve par récurrence sur nen utilisant le triangle de Pascal : la propriété P(n) étant ∀p≤n, n
p=n! p!(n−p)!.
III.4. P(F)bis
Pour a=b= 1, on retrouve le card(P(F)) en utilisant le binôme de Newton :
card(P(F)) =
n
X
k=0 n
k= (1 + 1)n= 2n
2