Dénombrement I. Ensembles finis II. Cardinal de quelques ensembles

Gaudino, casier 5
version N1.1
Dénombrement
P.C.S.I. 834
I.
Ensembles finis
I.1.
Définition
Lycée Masséna
définition 1. Un ensemble non-vide E est dit fini lorsqu’il existe n ∈ N∗ tel que J1, nK et E sont en bijection. n alors
appelé cardinal de E, noté #A, |A| ou encore card(A).
L’ensemble vide est dit fini de cardinal 0.
Unicité du cardinal.
I.2.
Sous-partie
Théorème 1. Soit F un ensemble fini, et E ⊂ F . E est alors fini, et card(E) ≤ card(F ).
On a de plus card(E) = card(F ) si et seulement si E = F .
I.3.
Lien avec les fonctions
Soient E et F deux ensembles finis.
Théorème 2.
1. Il existe une bijection de E dans F si et seulement si card(E) = card(F ).
2. Il existe une injection de E dans F si et seulement si card(E) ≤ card(F ).
3. Il existe une surjection de E dans F si et seulement si card(E) ≥ card(F ).
Théorème 3. Soit E et F deux ensembles finis de même cardinal, et f une fonction de E vers F . On a :
f est bijective ⇐⇒ f est injective ⇐⇒ f est surjective
Remarques sur les cas où un ensemble est infini.
II.
Cardinal de quelques ensembles
E et F sont deux ensembles finis, de cardinaux respectifs n = card(F ) et p = card(E).
II.1.
Réunion
Théorème 4. Si E et F sont deux ensembles finis alors E ∪ F aussi et
card(E ∪ F ) = card(E) + card(F ) − card(E ∩ F )
preuve en s’appuyant sur le lemme du cas disjoint (preuve par bijection).
Application au cardinal d’un complémentaire, d’une réunion finie disjointe.
Théorème 5. Soient E et F sont deux ensembles finis. card(E ∪ F ) = card(E) + card(F ) si et seulement si E et F
sont disjoints.
II.2.
Produit cartésien
Théorème 6. Si E et F sont deux ensembles finis alors E × F aussi et
card(E × F ) = card(E) × card(F ) = np
preuve par réunion disjointe. Cas des produits cartésiens de plusieurs ensembles, des puissances cartésiennes.
remarque sur la notation E × F . Application aux couples, aux x-uplets.
II.3.
II.3.1.
Fonctions
fonctions quelconques
Théorème 7. Si E et F sont deux ensembles finis alors l’ensemble des fonctions de E vers F , noté F E ou F(E, F ),
est fini et
card(F E ) = card(F )card(E) = np
preuve par le nombre de graphes, preuve intuitive, lien avec les tirages avec remise de boules discernables. p-uplets.
1
II.3.2.
injections
définition 2. Si E et F sont deux ensembles finis (avec n = card(F ) et p = card(E)) alors on note Apn le nombre
d’injections de E dans F .
Théorème 8. L’ensemble des injections de E dans F est fini et de cardinal :
Si p ≤ n : Apn
Si p > n : Apn
n!
= n(n − 1) · · · (n − (p − 1)) =
{z
} (n − p)!
|
p termes
= 0
preuve intuitive, lien avec les tirages sans remise de boules discernables, lien avec les p-uplets de nombres distincts.
II.3.3.
bijections
Théorème 9. Si E et F sont deux ensembles finis de même cardinal n alors l’ensemble des bijections de E vers
F est fini de cardinal n!.
preuve par les injections, lien avec les permutations.
II.3.4.
surjections
C’est beaucoup plus dur !
II.4.
P(E)
Théorème 10. Si E est un ensemble fini alors P(E) est un ensemble fini de cardinal card(P(E)) = 2card(E) .
preuve intuitive et par les fonctions caractéristiques.
III.
Coefficients binômiaux
III.1.
Définition
définition 3. Soit E ⊂ F . Le nombre de sous-parties E à p éléments d’un ensemble F à n éléments est noté
n
p
ou Cnp (on parle aussi de combinaisons).
III.2.
Relations
n
n
n
n
n
= 0 si p > n.
= 1.
= 1.
=
si 0 ≤ p ≤ n.
p
p
n−p
0
n n−1
n−1
n
=
+
pour n ≥ 1 et n − 1 ≥ p ≥ 1, et aussi pour n ≥ 1 et p ≥ 1.
triangle de Pascal :
p
p
p−1
III.3.
Formule
Théorème 11. Si 0 ≤ p ≤ n, alors
n
n!
=
.
p
p!(n − p)!
preuve intuitive, lien avec les tirages sans remise sans ordre.
n
n!
preuve par récurrence sur n en utilisant le triangle de Pascal : la propriété P(n) étant ∀p ≤ n,
=
.
p
p!(n − p)!
III.4.
P(F ) bis
Pour a = b = 1, on retrouve le card(P(F )) en utilisant le binôme de Newton :
card(P(F )) =
n X
n
k=0
k
2
= (1 + 1)n = 2n