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2NANCY WALLACE
Exemple 2 : Les nombres 5, 7, 17, 73 n’ont aucun carr´e non nul dans Z/5Z,Z/7Z,
Z/17Z,Z/73Z. Donc apr`es d´emonstration da la deuxi`eme proposition, nous serons
certains que tout nombre ayant uniquement ces nombres dans sa d´ecomposition en
nombres premiers n’est pas un nombre parfait impair et ce peut importe sa puis-
sance. Il est ´egalement possible de construire un ensemble contenant une plus grande
quantit´e de tels nombres.
Euler a montr´e qu’un nombre parfait impair, n, s’il existe a une d´ecomposition en
nombre premier de la forme n=pα1
1pα2
2···pαk
kqβ, o`u les αi,1≤i≤ksont paires,
k≥2 et q≡β≡1 mod 4. Pour les personnes int´eress´ees, une preuve, fait par
l’auteure, de ceci est en annexe. Montrons donc le premier r´esultat annonc´e.
Th´eor`eme 1 : Si nest un nombre parfait impair de d´ecomposition en nombre
premier :
n=pα1
1...pαk
kqβ,o`u les αisont pairs, βest impair et q≡5 mod 8.
Alors il y a un nombre impair de pi,1≤i≤kqui ne sont pas carr´e dans Z/qZ.
Preuve : Remarquons d’abord que la somme 1 + q+... +qβest paire, car β+ 1
est pair, qest impair et qu’une somme d’un nombre pair de termes impairs est pair.
Puisque nest un nombre parfait impair, nous avons :
1 + q+... +qβ= 2pr1
1...prk
k,o`u ri≤αi.
Remarquons que la puissance de 2 doit ˆetre 1, car autrement nserait pair et nous
aurions une contradiction. De plus, 2pr1
1...prk
k≡1 mod q, alors en posant q= 8m+5,
nous avons, par le symbole de Legendre :
2
q= (−1)q2−1
8= (−1)(8m+5)2−1
8= (−1)8m2+10m+3 = ((−1)2)4m2+5m+1(−1) = −1.
Donc :
2pr1
1...prk
k
q!=2
qp1
qr1
...pk
qrk
= 1,car la formule est multiplicative,
=−p1
qr1
...pk
qrk
= 1,car 2
q=−1.
Alors en consid´erant seulement les puissances impaires nous avons :
pn1
qrn1
...pnt
qrnt
=pn1
q...pnt
q=−1, o`u {pnj}est une sous suite de {pj}