Probabilités - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1
Espaces probabilisés finis
Dans tout ce chapitre l’univers observable Ω ou espace des états sera un ensemble fini. En deuxième année,
Ω pourra être dénombrable.
1 Le langage des probabilités
Comme Ω est fini, un évènement est une partie de Ω. Un évènement élémentaire est un singleton de Ω.
On dit qu’un évènement Aest réalisé s’il existe ω∈Ω tel que ω∈A. On note A, l’évènement contraire de A.
Si Aet Bsont deux évènements tels que A⊂B, la réalisation de Aimplique celle de B. Des évènements sont
dits incompatibles s’ils ne peuvent être réalisés simultanément. Un système complet d’évènements de Ω est une
partition de Ω. Le couple (Ω,P(Ω)) est un espace probabilisable.
2 Espaces probabilisés
On considère une expérience aléatoire dont l’univers est Ω. On va attribuer à chaque évènement élémentaire
un nombre positif qui mesure le «degré de vraisemblance» de cet évènement.
1. Notion de probabilité :
Définition 1 (Probabilité sur un univers fini) Une probabilité Psur Ωfini est une application de
P(Ω) à valeurs positives telle que P(Ω) = 1 et additive i.e.
si Aet Bsont incompatibles, on a P(A∪B) = P(A) + P(B).
Un espace probabilisable muni d’une probabilité est un espace probabilisé.
Proposition 2 (Propriétés d’une probabilité) Soit Pun probabilité sur Ω. On a :
• Si A1,...,Ansont 2 à 2 disjoints, on a :
P(A1∪...∪An) = P(A1) + ···+P(An).
•P(A) = 1 −P(A), P (∅) = 0
•P(A\B) = P(A)−P(A∩B)
• Croissance : A⊂B⇒P(A)6P(B)
• Formule du crible :
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
Remarque : il faut connaître la formule du crible pour 3 évènements.
2. Construction de probabilités :
Pour définir une probabilité Psur un univers fini Ω = {w1,··· , wn}, il faut et il suffit d’attribuer une
probabilité pi(un réel positif) à chaque évènement élémentaire {wi}de sorte que Pn
i=1 pi= 1. Dans ce
cas, pour tout évènement A, on a :
P(A) =
n
X
i=1
wi∈A
pi=X
w∈Ω
P({w})1A(w).
3. L’équiprobabilité : c’est lorqu’on munit (Ω,P(Ω)) de la probabilité uniforme, c’est à dire de l’unique
probabilité pour laquelle tous les évènements élémentaires ont la même probabilité, dans ce cas P(A) =
Card A
Card Ω .
Les calculs de probabilité se ramènent alors à des calculs de dénombrement.

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3 Probabilités conditionnelles
1. Définition :
Définition 3 si Aest un évènement de l’espace probabilisé (Ω,P(Ω), P )et si P(A)6= 0, la probabilité de
Bsachant Aest
PA(B) = P(A∩B)
P(A).
Proposition 4 L’application PAest une probabilité sur (Ω,P(Ω)).
2. Formule des probabilités composées : le plus souvent , on calculera P(A∩B) à partir de PA(B) et
de P(B) grâce à la formule P(A∩B) = P(A)PA(B) (avec P(A)6= 0). Cette formule se généralise.
Proposition 5 Soit A1, . . . , Andes évènements tels que P(A1∩...∩An−1)6= 0, alors
P(A1∩...∩An−1) = P(A1)PA1(A2). . . PA1∩...∩An−1(An).
3. Formule des probabilités totales :
Proposition 6 si A1,...,Anest un système complet d’évènements non négligeables (P(Ai)6= 0),
P(B) =
n
X
i=1
P(B∩Ai) =
n
X
i=1
P(Ai)PAi(B).
4. Formule de Bayes ou de probabilité du passé : cette formule permet de calculer la probabilité
d’un évènement passé sachant le présent. Vous devez absolument savoir retrouver cette formule : si
Best un évènement (du présent) avec P(B)6= 0 et si A1,...,Anest un système complet avec P(Aj)6= 0
(évènement passé) pour un certain j, alors
PB(Aj) = P(B∩Aj)
P(B)=P(Aj)PAj(B)
Pn
i=1 P(Ai)PAi(B).
5. Notion d’arbre de probabilités et règles : un arbre comporte des branches et des noeuds.
(a) La somme des probabilités marquées sur des branches qui partent d’un même noeud vaut 1.
(b) La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités marqués sur ses branches (formule des
probas composées).
(c) La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évè-
nement (formule des probas totales).
4 Indépendance d’évènements
1. Indépendance de deux évènements :
Définition 7 Deux évènements Aet Bsont dits indépendants si P(A∩B) = P(A)P(B)(on voit donc
que la notion d’indépendance dépend du choix de la probabilité).
Remarques :
• si P(A)6= 0 c’est équivalent à PA(B) = P(B) (la réalisation de An’influe pas sur la réalisation de
B).
•Attention : ne pas confondre évènements indépendants et incompatibles.
Proposition 8 si Aet Bsont indépendants les évènements Aet B,Aet B,Aet Bsont indépendants.
2. Indépendance d’une famille d’évènements :

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Définition 9 Des évènements A1,...,Ansont dits mutuellement indépendants si pour toute partie Ide
J1, nK, on a :
P(∩i∈IAi) = Y
i∈I
P(Ai).
Proposition 10 Des évènements mutuellement indépendants sont 2 à 2 indépendants mais la réciproque
est fausse.
Proposition 11 Si les évènements A1,...,Ansont mutuellement indépendants (resp. 2 à 2 indépen-
dants), alors les évènements Bi=Aiou Aisont mutuellement indépendants (resp. 2 à 2 indépendants).
Remarque : situation d’indépendance : répétition de manière «indépendante» d’une même expérience :
on lance nfois une pièce équilibrée, ou des tirages avec remise, ou des joueurs sans psychologie ou qui ne
fatiguent pas..