Nouveaux programmes de première Probabilités et statistiques

Nouveaux programmes de première
Probabilités et statistiques
I. Statistiques descriptives
II. Probabilités
- Variables aléatoires discrètes
- Arbres
- Loi géométrique tronquée
- Loi binomiale
III. Échantillonnage
Ressources en ligne
Nouveaux programmes de première – Probabilités et statistiques
Octobre 2011
I. Statistiques descriptives, analyse de données
Seconde
Première
Objectif
synthétiser,représenter une série statistique
Objectif
comparaison de séries statistiques
Moyenne
Variance,
écart-type
Médiane, quartiles
Représentations graphiques :
histogramme,
nuage de points,
courbe de fréquences cumulées
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Diagramme en boîte
(sauf STI2D)
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II. Probabilités
II-1. De la seconde à la première
Seconde
Première
Objectif
modéliser une expérience
aléatoire dans le cadre
de l'équiprobabilité
Objectif
étudier un grand nombre
d'expériences identiques et indépendantes
Probabilité d'un événement
en situation d'équiprobabilité
Variable aléatoire discrète
p  A∪B p  A∩B= p  A p  B
Arbres pondérés
pas de probabilités conditionnelles
Arbres et tableaux
Loi géométrique tronquée,
loi binomiale
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II-2. Variable aléatoire discrète
Espérance
Démonstration (en S) :
E(aX+ b) = aE(X)+b
Loi d'une variable aléatoire discrète
(ES/L et S)
Variance, écart-type
(en S)
Démonstration :
V(aX)= a² V(X)
Lien avec les statistiques :
Interpréter l’espérance comme
valeur moyenne dans le cas
d’un grand
nombre de répétitions.
(extrait doc. accompagnement, p. 6)
Lancer d'un dé à 6 faces
Numéro de la face
1
2, 3, 4
5, 6
Valeur de X
1
2
4
p(X=xi)
1/6
3/6
2/6
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II-3. Arbres pondérés, répétitions indépendantes
Arbres
Répétitions d'expériences indépendantes
Objectif :
passer de l'arbre des issues à l'arbre pondéré
(doc. accompagnement p. 8 à 11)
Exemples :
tirer une boule puis lancer un dé
tirer une boule puis une carte
Répétition d'expériences identiques et indépendantes
Objectif : mettre en place la notion d'expériences identiques et indépendantes à plusieurs
issues ; réinvestir les arbres pondérés
Exemple : on fait tourner plusieurs fois une roue divisée en secteurs de couleurs différentes
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II-4.a) Loi géométrique tronquée (première S)
0<p<1
n entier non nul
1-p
E
L'expérience de Bernoulli de paramètre p est répétée au plus n fois.
p
S
Le lièvre et la tortue font une
course
Pour savoir qui avance, on
lance un dé :
- si le résultat est différent de
6, la tortue avance d'une case ;
- si le résultat est 6, le lièvre
gagne.
Qui a le plus de chances de gagner ?
Et si on change le nombre de cases ?
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Nb
cases
p(T ort ue gagne)
p(lièvre gagne)
1
5/6
0,83
1/6
0,17
2
25/36
0,69
11/36
0,31
3
125/216
soit 0,58
91/216
soit 0,42
4
625/1296
0,48 671/1296
0,52
5
3125/7776
0,4 4651/7776
0,6
Soit X la variable aléatoire définie par :
- X = 0 si aucun succès n’a été obtenu ;
- pour 1k n , X = k si le premier succès est obtenu à l’étape k.
p(X=0)=(1-p)n
p(X=k)=(1-p)k-1p
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II-4.b) Applications de la loi géométrique tronquée
Suites géométriques
- décroissance de la suite de terme général uk=p(1-p)k-1
- démontrer que la somme des p(X=k) vaut 1
Algorithme de simulation
- comment modéliser un succès de probabilité p ?
- en effectuant des simulations de n tirages pour un p fixé, déterminer n
de sorte que l'événement « zéro succès » devienne suffisamment rare.
Dérivation, étude de fonction
Utiliser la dérivée de f(x)=1+x+x²+...+xn
pour exprimer l'espérance de X :
1
E  X =  1−1np1− pn 
p
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II-5. Loi binomiale
II-5.a) Définition
X est le nombre de succès dans la répétition de n expériences
de Bernoulli de paramètre p.
Pour k entre 0 et n :

k
n −k
p  X =k = n p 1− p
k
Suggestions d'approche :
- se limiter à n=4 pour découvrir la loi ;
- calculer p(X=0) et p(X=n) ;
- calculer p(X=1) et p(X=n-1) : compter les chemins
comprenant l'unique succès / échec.
k 
Si n est un entier naturel et si k est un entier compris entre 0 et n, on note n et on lit « k parmi n »
le nombre de chemins qui réalisent exactement k succès dans l’arbre à n niveaux, associé à un
schéma de Bernoulli. Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.
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II-5.b) Coefficients binomiaux
k succès à choisir
E
E
Pas de factorielles !
n
n+1
E
E
S
E
S
S
S
S
E
S
E
E
S
S
E
S
k+1 succès à choisir
Combien de chemins à k+1 succès
dans un arbre de taille n+1 ?
 
Premier type de chemin :
Il y a un succès à la fin.
Dans les n niveaux précédents,
il faut choisir k succès pour compléter.

Second type :
le chemin se finit par un échec.
Les k+1 succès sont donc
dans les n premières étapes
du chemin.
 
n1
k 1
n
k
n
k 1
Calcul pratique : calculatrice ou logiciel.
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II-5.c) Espérance, variance, écart-type
Conjectures sur E(X) et V(X)
Linéarité en n
E(X) est linéaire en p
V(X) est du second degré en p
Conjecture sur E(X) : toutes séries.
V(X) : formule admise en 1ères S et STI2D, hors programme en ES/L.
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III. Échantillonnage
III-1. De la seconde à la première
Seconde
Première
Objectif
faire une analyse critique d'un résultat
sensibiliser les élèves à la fluctuation
Objectif
avoir une attitude critique
vis à vis des résultats obtenus
Notion d'échantillon
Utilisation de la loi binomiale
pour une prise de décision
à partir d'une fréquence :
Intervalle de fluctuation
d'une fréquence au seuil de 95%
exploitation de l'intervalle de fluctuation
à un seuil donné pour rejeter ou non une hypothèse.
Réalisation d'une simulation
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III-2. Un exemple
En France :
105 garçons pour 100 filles à la
naissance
En Chine :
120 garçons pour 100 filles à la
naissance
Peut-on deviner la
nationalité de chacun des
deux médecins ci-contre ?
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III-3. Traitement en seconde
France
Probabilité d'un garçon à la naissance :
Chine
Probabilité d'un garçon à la naissance :
105
≈0,51
205
0,2 p0,8
Échantillon de taille :
120
≈0,55
220
0,2 p0,8
Échantillon de taille :
n=10025
n=10025
Intervalle de fluctuation au seuil de 95% :
Intervalle de fluctuation au seuil de 95% :
p=
[
]
105
1
105
1
−
;

≈[ 0,412 ; 0,612]
205  100 205  100
p=
[
]
120
1
120
1
−
;

≈[0,445 ; 0,645]
220  100 220  100
Cas de la maternité
Fréquence de garçons observée :
f=0,44
Au seuil de 95% :
non étonnant pour la France / étonnant pour la Chine.
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III-4. Traitement en première avec la loi binomiale
Hypothèse
44 garçons pour 100 naissance n'est pas étonnant, tant en France qu'en Chine.
Objectif
accepter ou non cette hypothèse, au seuil de 95%.
Définition des variables aléatoires
France
X = nombre de garçons sur 100 naissances,
avec une probabilité de 105/205
Chine
X = nombre de garçons sur 100 naissances,
avec une probabilité de 120/220
Définition
Soit un échantillon de taille n, et X la variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n,p).
Soit F=X/n la fréquence de réalisation de X.
L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de F est l’intervalle I=[a/n;b/n] avec :
- a est le plus petit entier tel que : P  X a0,025
- b est le plus petit entier tel que : P  X b0,975
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France
a=41
b=61
Intervalle de fluctuation au seuil de 95% pour l'échantillon de taille 100 : [0,41;0,61]
Échantillon testé : 0,44 appartient à [0,41;0,61]
La situation de cette maternité n'est pas étonnante pour la France, au seuil de 95%.
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Chine
a=45
b=64
Intervalle de fluctuation au seuil de 95% pour l'échantillon de taille 100 : [0,45;0,64]
Échantillon testé : 0,44 n'appartient pas à [0,45;0,64]
La situation de cette maternité est étonnante pour la Chine, au seuil de 95%,
ou au risque de 5%.
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III-5. Traitement en terminale avec la loi normale
Conditions : Xn suit B(n,p) ; alors Y n =
X n −np
converge vers Y, de loi N(0,1).
np1−
p

En pratique pour : n30, np5, n1− p5, Yn remplace Y.
Au seuil de 95% pour la loi normale : P −1,96Y n 1,96≈0,95
Correspond à : P
 [


]
Xn
p 1− p
p 1− p
∈ p−1,96
; p1,96
≈0,95
n
n
n
Dans notre cas :
la fréquence d'apparition d'un garçon X100/100 appartient à l'intervalle :
France : [0,414 ; 0,610]
Chine : [0,448 ; 0,643]
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Ressources en ligne
1. Documents ressources sur Eduscol
2. Les documents de la formation sur le Site académique de mathématiques
3. Des commentaires sur le programme par Claudine Schwartz, statisticienne :
http://www.statistix.fr/spip.php?article89
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